镇江市2015届高三上学期期末考试数学试题

1、2015 镇江一模卷第 1 页，共 13 页江苏省镇江市江苏省镇江市 20152015 届高三上学期期末考试数学试题届高三上学期期末考试数学试题 2015 年 2 月1记复数 zabi(i 为虚数单位，a，bR)的共轭复数为abi若 z2i，则的代数形式为- z- z2_2设全集 UZ，集合 M1，2，P2，1，0，1，2，则UM_3某校共有师生 1600 人，其中教师有 1000 人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为 80的样本，则抽取学生的人数为_4在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线1(a0，b0)的一个焦点到一条渐近线的距离是焦距的x2a2y2b2，则该双曲线的渐近线的

2、方程是_145在平面直角坐标系 xOy 中，设向量 a(2x1，1)，b(2，x1)若 ab，则 x 的值为_6执行如图流程图，若输入 a20，b ，则输出值 a 为_127设 ， 是两个平面，m，n 是两条直线，给出下列四个命题：若 mn，n，则 m；若 m，n，m，n，则 ；若 ，m，n，则 mn；若若 ，m，n，nm，则 n其中正确命题的序号为_8设 m，n 分别为连续两次投掷骰子得到的点数，在平面直角坐标系 xOy 中，若向量 a(m，n)，向量b(1，1)，则“向量 a，b 的夹角为锐角”的概率是_9设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S37，S663，则 a7a8a9的值为_

3、10在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 过点 P(1，2)且与圆 C：x2y22 相交于 A，B 两点若ABC 的面积为 1，则直线 l 的方程为_11若一个钝角三角形的三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为 m，则实数 m 的取值范围是_12设函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)xlnx，则不等式 f(x)e(其中 e 是自然对数的底数)的解集为_13在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y (x0)与曲线 ylnx 的公切线(公共的切线)的条数为_ 1x14若正数 x，y 满足 1，则的最小值为_ 1x 1y 4xx1 9yy1二、解答题：本

4、大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤15(本小题满分 14 分)设ABC 的面积为 S，若S，AB AC 2(1)求 sinA 的值；(2)若|3，|2，求 sinB 的值AB AB AC 3 开始 N Y 结束 输出 aaab输入 a，b ab(第 6 题)2015 镇江一模卷第 2 页，共 13 页2015 镇江一模卷第 3 页，共 13 页16(本小题满分 14 分)如图，在四面体 ABCD 中，已知BCD 是正三角形，A

5、B平面 BCD，ABBCa，E 为棱 BC 的中点，F 在棱 AC 上，且 AF3FC(1)求四面体 ABCD 的体积；(2)求证：AC平面 DEF；(3)若 M 为棱 DB 的中点，N 在棱 AC 上，且 CN CA， 38求证：MN平面 DEF17(本小题满分 15 分)某飞机失联，经卫星侦查，其最后出现在小岛 O 附近现派出四艘搜救船 A，B，C，D，为方便联络，船 A，B 始终在以小岛 O 为圆心，1 百海里为半径的圆上，船 A，B，C，D 构成正方形编队展开搜索，小岛 O 在正方形编队外(如图所示)设小岛 O 到直线 AB 的距离为 x(百海里)，AOB，船 D 到小岛O 的距离为

6、d(百海里)(1)请分别求 d 关于 x， 的函数关系式 dg(x)，df()；(2)当 A，B 两艘船之间的距离多大时，搜救范围最大(即 d 最大)18(本小题满分 15 分)已知椭圆1(ab0)的右焦点 F(1，0)，离心率为，过 F 作两条互相垂直的弦 AB，CD， x2a2 y2b2 22设 AB，CD 的中点分别为 M，N(1)求椭圆的方程；(2)证明：直线 MN 必过定点，并求出此定点坐标；(3)若弦 AB，CD 的斜率均存在，求FMN 面积的最大值 19(本小题满分 16 分)已知函数 f(x)4x2x，实数 s，t 满足 f(s)f(t)0，设 a2s2t，b2st(1)求函数

7、 f(x)在区间1，1上的取值范围；(2)求函数关系式 bg(a)，并求函数 g(a)的定义域；(3)求 8s8t的取值范围20(本小题满分 16 分)数列an中，已知 a11，在 a1，a2之间插入 1 个数，在 a2，a3之间插入 2 个数，在 a3，a4之间插入3 个数，在 an，an1之间插入 n 个数，使得所有插入的数和数列an中的所有项按原有顺序构成一个正项等差数列bn(1)若 a419，求bn的通项公式；(2)设数列bn的前 n 项和为 Sn，且满足bn(， 为常数)，求an的通项公式2SnOABCDdxE(第 17 题)ABCDF(第 18 题)yOxNMADBCFENM(第

8、16 题)2015 镇江一模卷第 4 页，共 13 页江苏省镇江市高三数学期末试题江苏省镇江市高三数学期末试题第第卷卷( (理科附加卷理科附加卷) )21 【选做题】本题包括 A，B，C，D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A(选修 41：几何证明选讲)如图，圆 O 与圆 P 相交于 A，B 两点，点 P 在圆 O 上，圆 O 的弦 BC 切圆 P 于点 B，线段 CP 及其延长线交圆 P 于 D，E 两点，过点 E 作 EFCE，交 CB 延长线于点 F若 CD2，CB2，求 EF 的长2B(选修 42：矩

9、阵与变换)已知矩阵 M，N，试求在平面直角坐标系 xOy 中的曲线 ysinx 在矩阵 MN 对应的1 00 212 00 1变换下所得曲线的方程C(选修 44：坐标系与参数方程)已知直线 l 的极坐标方程为 sin( )6以极点 O 为原点，极轴为 x 轴的正半轴，长度单位不变，3建立直角坐标系 xOy，圆 C 的参数方程为( 为参数，R)x10cos，y10sin)(1)请分别把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程，把圆 C 的参数方程化为普通方程；(2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长D(选修 45：不等式选讲)已知函数 f(x)|x1|x2|，若不等式|ab|ab|a|f(x)对任意

10、实数 a，b 都成立，求实数 x 的取值范围【必做题】第 22，23 题，每小题 10 分，计 20 分请把答案写在答题纸的指定区域内22(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A 为曲线 C：4x2y10 上的动点，定点 M(2，0)，若动点 T满足2，求动点 T 的轨迹方程 AT TM23(本小题满分 10 分)已知四棱锥 PABCD 的底面为直角梯形，ABCD，DAB90，PA底面 ABCD，且PAADDC AB1，M 是侧棱 PB 的中点12(1)证明：平面 PAD平面 PCD；(2)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值；(3)求平面 AMC 与平面 BMC 所成

11、二面角(锐角)的余弦值 OABCDFE(第 21A 题)PMACPBD(第 23 题)2015 镇江一模卷第 5 页，共 13 页江苏省镇江市高三数学期末考试参考答案江苏省镇江市高三数学期末考试参考答案第第卷卷一、填空题(每小题 5 分)题号答案试题出处知识点能力难度134i模考题改编 复数的运算，共轭复数运算易22，1，0教材题改编 集合的交集与补集运算易375教材题改编 分层抽样运算易4yx33教材题改编 双曲线的几何性质运算易51教材题改编 向量的数量积运算易6516教材题改编 算法流程图识图易7教材题改编 立体几何中的判定和性质定理空间想象中8512原创题概率问题，向量的夹角运算中94

12、48教材题改编 等比数列的性质，求和运算中10 x10，3x4y50 教材题改编 直线和圆的位置、点到直线的距离运算中11(2，)模考题改编 正弦定理，函数的图象与性质直觉、图形分析 较难12(，e)原创题函数的奇偶性、导数、单调性图象分析难131模考题改编 函数的导数，构造函数及函数图像转化，运算难1425模考题改编 基本不等式求最值转化难提示：11设ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，不妨设 ABC，所以 AC2B又 ABC，所以 B ，所以 AC由题知 C 为钝角，所以 C，所以 0A 由题知 m3232236sinCsinA ，又 0tanA，所以 m232cosA12sinA

13、sinA321tanA121312当 x0 时，f(x)xlnx，所以 f(x)lnx1当 0 x 时，f(x)0；当 x 时，f(x)0；当 x 时，1e1e1ef(x)0，所以，f(x)在区间(0， 上单调减，取值范围为区间 ，0)；在区间 ，)上单调增，1e1e1e取值范围为区间 ，)因为函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)0；在区间(，1e上单调增，取值范围为区间(， ；在区间 ，0)上单调减，取值范围为 ，0)，因此，1e1e1e1e不等式 f(x)ef(e)f(e)的解为 xe13设曲线 y (x0)与曲线 ylnx 的公切线与这两条曲线分别切于点 A(a， )，

14、B(b，lnb)，其中 1x 1aa0由 y (x0)，得 y(x0)；由 ylnx，得 y (x0)，所以曲线 y (x0)在点 A 1x 1x2 1x 1x2015 镇江一模卷第 6 页，共 13 页处的切线的方程为 y (xa)，即 yx ；曲线 ylnx 在点 B 处的切线的方程为 1a 1a2 1a2 2aylnb (xb)，即 y xlnb1由题知消去 b，得 2ln(a) 10设 f(a)2ln(a) 1b 1b 2a 1(a0)因为 f(a)是单调减函数，且 f(1)30，f(e)2 10，所以 f(a)0 2a 2e e2e有唯一解，所以，两条曲线的公切线的条数为 114方法

15、一 因为 1，所以 xyxy，所以 1x 1y13xy4x9y13(xy)4x9y9x4y(9x4y)( )13 4xx1 9yy14xy4x9xy9yxy(xy)1 1x 1y又因为 x，y0，所以，0，所以13225，当且仅当 4yx 9xy 4yx 9xy 4xx1 9yy10，即 x ，y 时，取得最小值 25 4yx 9xy 53 52 4xx1 9yy1方法二 由 1，得 y(x1)，所以9x139(x1)1x1y xx14xx19yy1 4xx1 4x113225，当且仅当9(x1)0，即 x 4x153方法三 因为 x，y0， 1，所以，设 cos2， sin2，(0， )，所

16、以 1x 1y 1x 1y2()(sin2cos2) 4xx1 9yy1 41cos2 91sin2 4sin2 9cos2 4sin2 9cos21313225，当且仅当，即 cos2 sin2，即 9sin2cos2 4cos2sin2 9sin2cos2 4cos2sin2 32sin2 ，cos2 ，即 x ，y 时，取得最小值 25 25 35 53 52 4xx1 9yy1二、解答题15解：在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c(1)因为ABC 的面积为 S，且S， AB AC2所以 bccosA bcsinA， 2 分分2122015 镇江一模卷第 7 页，共 1

17、3 页所以 cosAsinA3 分分22又 sin2Acos2A1，所以 sin2A1 5 分分32因为 A(0，)，所以 sinA0，所以 sinA 6 分分63(2)方法一 因为|c3，|a2， 7 分分 AB AB AC CB3由正弦定理得：，即， 9 分分csinCasinA3sinC2 363所以 sinC22又因为 ca，则 CA，所以 C 为锐角，10 分分所以 C 11 分分4由(1)知 cosA33所以 sinBsin(AC)sin(A )sinAcos cosAsin12 分分444 14 分分632233222 3 66方法二 由|2，得222cosA12， AB AC3

18、 AB AC AB AC即 c2b22cbcosA12 8 分分由(1)知 cosA，又|c3，33 AB所以 9b223b12，即 b22b30，解得 b33336因为 b0，所以 b 10 分分36由正弦定理得：，即，所以 sinB 14 分分bsinBasinA2 3632 3 66【说明】本题是由模拟试题改编，考查三角形中的边角关系、向量的数量积运算，考查正弦定理，三角变换；考查学生的字母符号处理能力、运算能力能力、书写表达16解：(1)因为BCD 是正三角形，且 ABBCa，所以 SBCDa2 2 分分34因为 AB平面 BCD，所以 VABCD ABSBCDa3 5 分分13312

19、(2)在底面 ABC 中，(以下运用的定理不交代在同一平面中，扣 1 分)取 AC 的中点 H，连接 BH由 ABBC，得 BHAC由 AF3FC，得 F 为 CH 的中点又为 BC 的中点，所以 EFBH所以 EFAC 6 分分方法一 因为BCD 是正三角形，所以 DEBCADBCFEHMN2015 镇江一模卷第 8 页，共 13 页因为 AB平面 BCD，DE平面 BCD，所以 ABDE 7 分分又 AB，BC平面 ABC，ABBCB，所以 DE平面 ABC 8 分分又 AC平面 ABC，所以 DEAC又 ACEF，DE，EF平面 DEF，DEEFE，所以 AC平面 DEF 10 分分方法

20、二 因为 AB平面 BCD，AB平面 ABC，所以平面 ABC平面 BCD，交线为 BC7 分分又BCD 是正三角形，E 是 BC 的中点，所以 DEBC又 DE平面 BCD，所以 DE平面 ABC 8 分分又 DE 平面 DEF，所以平面 DEF平面 ABC，交线为 EF 又 ACEF，AC平面 ABC，所以 AC平面 DEF 10 分分( (注意：涉及到立体几何中的结论，缺少一个条件，扣注意：涉及到立体几何中的结论，缺少一个条件，扣 1 1 分，扣满该逻辑段得分为止分，扣满该逻辑段得分为止) )(3)方法一 连结 CM，交 DE 于点 O由题知 O 为BCD 的重心，所以 CO CM23连

21、结 OF因为 CN CA，所以 CF CN，所以 MNOF11 分分3823因为 MN平面 DEF，OF平面 DEF，所以 MN平面 DEF 14 分分 /方法二 取 EB 的中点 K，连结 KM，KN因为 M 是 DB 的中点，所以 KMDE又 KM平面 DEF，DE平面 DEF，所以 KM平面 DEF11 分分 /因为 CN CA，所以 FN CA，NH CA，即 N 是 FH 的中点，所以 KNEF381818又 KN平面 DEF，EF平面 DEF，所以 KN平面 DEF /因为 KM，KN平面 MKN，KMKNK，所以平面 MKN平面 DEF又 MN平面 MKN，所以 MN平面 DEF

22、 14 分分【说明】本题是由模考题改编，考查锥体体积、垂直的判定、平行的判定；考查空间想象能力和识图能力，规范化书写表达能力17解：(1)因为OAB，所以 AEOAcoscos，OEsin，所以 ADAB2AE2cos2分分延长 OE，交 CD 于点 G，则 G 是 CD 的中点，且 OGCD在OGD 中，根据勾股定理，得OD2OG2GD2(OEAD)2AE2(OEAD)2AE23 分分(sin2cos)2cos24cos24cossin1，0， )2所以 f()OD，0， )(定义域 1 分)5 分分4cos24cossin12若小岛 O 到 AB 的距离为 x，则 AB2， 6 分分1x2

23、所以 g(x)OD 8 分分(xAD)2(f(AB,2)2，x0，1)(定义域 1 分) 10 分分4x24x1x25(2)由(1)知 OD24cos24cossin12(1cos2)2sin212(cos2sin2)32sin(2 )3，0， ) 11 分分242当 0， )时，2 ，)，所以，当 2 ，即 时，OD2取得最大值 32，244544282ADBCFEHMONK2015 镇江一模卷第 9 页，共 13 页从而 OD 取得最大值1 12 分分2此时 AB2cos 2(百海里) 13 分分81cos422 2答：当 A，B 间距离 100海里时，搜救范围最大 14 分分 2 2【说

24、明】本题是原创题，考查余弦定理，三角恒等变换，数学建模的能力，选择合适的模型求最值的问题18解：(1)由题知 c1， ，解得 a，c1，从而 b1(每个每个 1 分分)3 分分ca222所以椭圆的方程为y21 4 分分x22(2)当 AB 的斜率存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)由联立，消去 y，得(12k2)x24k2x2k220 5 分分因为16k44(12k2)(2k22)4(2k22)0，所以 x1x2，4k212k2所以 x0 (x1x2)，从而 y0k(x01)， 6 分分122k212k2k12k2故 M

25、(，)2k212k2k12k2因为 ABCD，所以 CD 的斜率为 ，所以将 M 的坐标中 k 换成 ，得1k1kN(，) 8 分分22k2k2k2若，得 k1，此时直线 MN 斜率不存在， ，2k212k222k2212k223即直线 MN 过点 P( ，0)23下证动直线 MN 过定点 P( ，0) 9 分分23方法一方法一 当，即 k1 时，直线 MN 的斜率为2k212k222k2kMN ，k(3k23)2k4232kk21所以直线 MN 的方程为 y (x)， 10 分分k2k232kk2122k2令 y0，得 x 212k223k212k223所以，直线 MN 过定点 P( ，0)

26、 11 分分23方法二方法二 当，即 k1 时，( ，)，( ，)2k212k2212k2 PM2k212k223k12k2 PN22k223k2k2由于 ( )()( )( )( )2k212k223k2k2k12k222k2232k212k223k2k2k12k222k2232015 镇江一模卷第 10 页，共 13 页0，2k(k21)3(12k2)(2k2)2k(1k2)3(12k2)(2k2)所以与共线，即 P，M，N 共线，所以直线 MN 过定点 P( ，0) 11 分分 PM PN23当 AB 的斜率不存在或为 0 时，对应的 CD 的斜率为 0 或不存在，此时，直线 MN 即为

27、 x 轴，显然过定点 P( ，0)23综上，直线 MN 过定点 P( ，0) 12 分分23(3)由第(2)题可知直线 MN 过定点 P( ，0)，所以FMN 的面积23SFMNSFPMSFPN | |1213k12k21213k2k2 12|k|(k21)(12k2)(2k2)12|k|1|k|2(k2f(1,k2)5)13 分分令 t|k|，所以 t22，当且仅当|k|，即|k|1 时，t2，1|k|1|k|所以 SFMN ，t2，) 14 分分12t2t21设 f(t) ，tR，则 f(t) ，tR12t2t211212t2(2t21)2当 t2，)时，因为 f(t)0，所以 f(t)单

28、调减， 15 分分所以，当 t2 时，f(t)取得最大值 ，即 SFMN取得最大值 此时 k1 16 分分1919说明本题原创 考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质；考查函数最值、定点定值问题题型；考查变量代换法、函数思想、分类讨论思想、一般与特殊思想；考查运算能力、演绎论证(分析法证明)能力、直觉思维能力，猜想探究能力本题可以不妨设本题可以不妨设 k0，可直接对可直接对求导求导，判断单调性判断单调性k(k21)(12k2)(2k2)19解：(1)当 x1，1时，令 m2x，所以 m ，2， 1 分分12f(x)p(m)m2m因为 p(m)(m )2 在 ，2上为增函数， 2 分分121412所

29、以 f(x)minp(m)minp( ) ，f(x)maxp(m)maxp(2)2， 3 分分1214所以 f(x)的取值范围为区间 ，2 4 分分14(2)实数 s，t 满足 f(s)f(t)0，即 4s2s4t2t0，即(2s2t)222st(2s2t)0 6 分分而 a2s2t，b2st，故 a22ba0，所以 bg(a) (a2a) 7 分分12由题意得 a0，b0，所以 (a2a)0，故 a1， 8 分分122015 镇江一模卷第 11 页，共 13 页又 2s2t4s4t2，即 a，所以 a2，当且仅当 st 时，a2 9 分分 (2s2t2)2 a22综上，a 的取值范围为区间(

30、1，2 10 分分(3)8s8t(2s2t)( 4s2s2t4t)(2s2t)(2s2t2st)a(ab)a(a a2 a) a3 a2，a(1，2 12 分分12121232令 h(a) a3 a2，所以 h(a) a23a a(a2)，12323232当 a(1，2)时，h(a)0；当 a2 时，h(a)0， 14 分分所以，当 a(1，2时，h(a)单调增，h(a)(h(1)，h(2)因为 h(1)1，h(1)2，所以 8s8t的取值范围为区间(1，2 16 分分【说明】本题原创，考查二次函数、指数函数的单调性，考查基本不等式、导数的应用；考查换元法、划归思想；考查运算变形能力20解：(

31、1)设bn的公差为 d，由题知：数列bn的前几项为：b1a11，b2，b3a2，b4，b5，b6a3，b7，b8，b9，b10a419， 2 分分所以 a4是bn的第 10 项由 b10b19d，b11，4 分分得 d2，5 分分故数列bn的通项公式为 bn12(n1)2n1 6 分分(2)由bn(， 为常数)，得 2Sn(bn)2，2Sn即 2Snb 2bn2， 7 分分2 n当 n1 时，得 2122，当 n2 时，2Sn1b12bn12， 2 n由得 2bnb b12(bnbn1)(bnbn1)(bnbn12)，8 分分2 n2 n即 2bnd(bnbn12)d(2bnd2)，9 分分所

32、以 2(1d)bn2dd2，为常数，且恒成立方法一方法一 若 d0，则 bnb11代入，得 20，矛盾 10 分分所以 d0，所以 bn不为常数，所以解得 d1， 11 分分1d0，2dd20，)12代入式，得 12 分分14方法二方法二 即 2(1d)b1(n1)d2dd2，即 2(1d)dn2(1d)22dd2对2 恒成立，n分别令 n2，3，得解得 d1， 11 分分4(1d)d2(1d)22dd2，6(1d)d2(1d)22dd2，)12或者：2(1d)dn2(1d)22dd2是常数，即 2(1d)d0，得 d1当 d1 时，代入上式得 12代入式，得 12 分分14方法三方法三 由当

33、 n2 时，2bnd(bnbn12)，得当 n3 时，2bn1d(bn1bn22)由，得 2d2d2，所以 d1 或 02015 镇江一模卷第 12 页，共 13 页当 d0 时，bnb11代入，得 20，矛盾当 d1 时，代入式得 11 分分12代入式，得 12 分分14所以等差数列bn的首项为 b11，公差为 d1，则 bnn13 分分设an中的第 n 项为数列bn中的第 k 项，则 an前面共有an中的 n1 项，又插入了123(n1)项，则 kn1115 分分n(n1)2n(n1)2n(n1)2故 anbkk 16 分分n(n1)2【说明】本题是原创题，考查等差数列的性质、通项、求和、简单递推；考查一般与特殊思想、转化与划归思想；考查运算能力；考查分析探究能力第第卷理科附加卷卷理科附加卷21B解：MN，4 分分1 00 212