函数项级数习题课

1、第十三章一函数项级数习题课第十三章函数项级数习题课概念叙述1 .fn在D上一致收敛于0, N, nfn(X)f(X)2.储在D上不一致收敛于0, N, n0N, Xofno(Xo)f(X0)3.fn在数集D上一致收敛柯西准则0,N,m,N,有fn(X)fm(X)柯西准则0,N,nN,XD,p0)有fnp(X)fn(X)4 . fn在数集D上不一致收敛柯西准则0, N, m0,n。 N, X0 D使得卜n0(X0)fm0(X。)柯西准则00,N,n°N,X)D,P00使得卜n°P0(X3)fn0(X0)5.Un(X)在D上一致收敛于函数S(X) n 1部分和函数列S(x)在数

2、集D上一致收敛于函数S(x).:疑难解析与注意事项1 .为何要讨论函数列与函数项级数的一致收敛性?答：函数列理论中重要问题是fn X的性质(连续性，可积性，可导性)在极限过程中是否依旧保持？比如能否由函数列每项的连续性，判断出极限函数的连续性.又如极限函数的导数或积分，是否分别是函数列每项导数或积分的极限.对这些问题的讨论，只要求函数列在数集D上的收敛是不够的，必须对它在D上的收敛性提出更高的要求才行，这就是所要讨论的一致收敛性问题.由于函数项级数Un(x)的收敛性可以转化为n1相应部分和函数列Sn(x)的问题来讨论，因此研究函数项级数逐项求极限，逐项求导，逐项求积分时，要讨论函数项级数的一致

3、收敛性.2 .判断函数列fn在D上一致收敛有哪些方法？答：1)定义：fn在D上一致收敛于f0,N,nN,xD有|fn(X»f(x)；2)柯西准则：0,N,m,nN,xD,有|fn(X)fm(X)l,用于抽象的函数列的一致收敛性的判断；3)确界(最大值方法)：limsupfn(x)f(x)0；nxD4)估计方法(放大法)：|fn(x)f(x)|an0；5) fn(x)在D上一致收敛fn(x)在D上一致收敛n1于0.6) Dini-定理：条件1)闭区间切；2)连续性；3)关于n的单调性.设函数列fn(x)和函数f(x)都定义于闭区间a,b上，fn(x)在a,b上点态收敛于f(x),如果(

4、1) fn(x)在a,b连续；(2) f(x)在a,b连续；(3) fn(x)关于n单调，即对任意固定的xa,b,fn(x)是单调数列，则fn(x)在a,b上一致收敛于f(x).注除柯西准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点态收敛性计算出极限函数.注定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断.注Dini定理中，要验证的关键条件是关于n的单调性，定理中相应的条件为“对

5、任意固定的Xa,b,fn(x)作为数列关于n是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在N,当nN时”条件成立即可，但是，要注意N必须是与x无关的，即当nN时，对所有任意固定的xa,b，"(x)关于n单调，因此，此时的单调性也称为对n的单调性关于x一致成立.3 .判断函数列fn在D上不一致收敛有哪些方法？答：1)定义：00,N,n0N,x°D,使得fno(xo)f(xo)0；4 )柯西准则：00,N,办,/N,%D使得fno(xo)")0；5 )limsupfn(x)f(x)0;nxD6 )fn在D上连续，但极限函数

6、63;*在口上不连续则fn在D上不一致收敛.4,判断Un(x)在D上一致收敛于函数S(x)有哪些n1方法？答：1)定义：部分和函数列Sn(x)在数集D上一致收敛于函数S(x)；7 )柯西准则：0,N,使得当nN时，对一切xD和一切正整数p,都有Sp(x)S(x)即Unl(X)Un2(X)Unp(X)；3)limsupRn(x)limsupS(x)Sn(x)0；4)放大法：RnxSxSnxan0;5) m判别法；6)阿贝耳判别法；7)狄利克雷判别法.5.判断Un(x)在D上不一致收敛于函数S(x)有n1哪些方法？答：1)定义：部分和函数列Sn(x)在数集D上不一致收敛于函数S(x)；2) )柯西

7、准则：00,N,"N,x0D,Po0,使得4。1(x0)Un2(x0)Unp/x)03) limsup|R1(x)limsupS(x)&(x)|0；/nxDnxD4) Un(x)在D上连续)但S(x)在D上不连续；5) Un(x)在Da，b的端点处发散，则Un(x)在D上n1n1不一致收敛.即：设Un(x)在a,b内收敛，每个Unx在xb做左连续，若Un(b)发散，则Un(x)在a,b内非一致收敛；应用：在1,内不一致收敛，3当|x1时不一致收敛.6) Un(x)在D上不一致收敛于0)则Un(x在D上n1不一致收敛.三典型例题1 .讨论下列函数序列在所示区域内的一致收敛性.&

8、#163;xfnx2-,0x1nx(3) fn xn n 1x x ,0 x 1 (4) fn(x)nx(1 x)n ,0x1.解:(1)当 x0) fn x0) f(x) nim fn(x) 0；0,1) f(x)lim fn(x) limx c°)因此极限函数为fx因而| fn x0 2nx_2nx1f(x)|1n2x21n2x22n所以fnx在0x1上一致收敛.2 2)当x0fnx0f(x)limfn(x)0nf (x) lim fn(x)lim上 0,因此极限函1 n x数为fx0.因而|fnXf(X)|广L)1nx由基本不等式知,在nx1,即x取到最大值，1nxn7因此有n

9、x1limsupfn(x)f(x)limsup20,nx0,1nx0,11nx2所以fnx在0x1上不一致收敛.(3)当X。时,fnx0,f(x)limfn(x)0*当x1时,fnx0,f(x)nimfn(x)0；当0x1时)f(x)nimfn(x)nimxnxn10,因此极限函数为fx0.因而)|fnxf(x)|xnxn：令xxnx1则/_n1_nn(x)nxn1x,令(X)0)得x个故fnx在x9处取得最大值,n1n1故有|fnxf(x)|xnxn1|(n-)n1弋30,n1n1n1n.所以fnx在0x1上一致收敛.(4)当x0时)fnx0,f(x)ymfn(x)0；当X1当 x 1,fn

10、(x) 2 , f (x) lim fn(x) 2 .时)fnX0)f(X)limfn(X)0；当0x1时)f(x)limfn(x)ljmnx(1x)n0.贝U有1fn3f(x)|nx(1x)n)令(x)nx(1x)n)贝n1(x)n(1x)1(n1)x)令(x)0,得x则(x)在x，处达到最大值)n1n1因而nn1n1limsupfn(x)f(x)limsupnx(1x)lim(1)-0.nx0,1nx0,1nn1n1e'故fn(x)在0,1不一致收敛.2.讨论fn(x)二在下列区间上：1x1)0,a0a1)2)0,1)3)1,)4)a,a1是否一致收敛.n解：1)当x0,a时f(x

11、)limfn(x)lim0'nn1xn.因而nfn(x)f(x)xnan01x因此fn(x)J在0,a上一致收敛.1 xn2)当x0,1f(x)limfn(x)lim0)nn1xn因此，极限函数为fxyx由fn(x)二在1,x11x连续)但极限函数fx不连续)因此fn(x)工在1x上不一致收敛.3)i,f(x)limfn(x)nlimnnxn1xlimn0,10,11)因而fn(X)f(X)nx1xn11xn于是limnsupfn(x)f(x)lim.nx1,1supx1,1x因此fn(X)二在1,上不一致收敛.1xn4)当xa,f(x)limfn(x)limnnn1xlim一n11n

12、1x因而fn(X)f(X)n11xn11xn1nan0)因此fn(x)二在a，上一致收敛.1x3.讨论下列级数的一致收敛性.(1)n1o1x2x1x，；(2)n112Xxn,(3)2x1x2解（1）法1:看成交错级数，利用交错级数的余项估计式当x。时,Rn(x)22xx17T2n1"2"(1x)n1xn1,（利用不等式当x0时)|Rn(x)因此因此limsupR(x)2x2n10(1x)1_七在，上一致收敛.1x2法2:看成等比级数利用等比级数的余项（等比级数的和是首项/（1-公比）n 121 x22 n1 x2 x -1n 112x为等比级数,n21x .21 x2 x2

13、x212 x2 1102n因止匕limsupIR(x)0nxD因此( n 121 x22 n1 x在，上一致收敛.（2）因为因此n 112 x n1.limsupRn (x)limsup -3 lim-n x Dn x D x n 1n在，上一致收敛.n21(3) Rn(x)x2n11x1,11x2121x因止匕limsupR(x)1nxDn1因此，二在，上不一致收敛.1X2注：交错级数的莱布尼兹判别法：若anan10,n1,2,liman0,则父错级数1n1an收n=1敛)且和Sa、余项图1k1akan1.kn14.讨论下列级数的一致收敛性.(1)(xnxn1),0x1；(2)n0xn(1X

14、)2,X0,1;n0(3)(1)n(xnxn1),0x1；(4)n02nx、xe,x(0,).n0n1解：(1)由于Sn(x)(xkxk1)1x;因此k01,0x1S(x)nimSn(x)0,x1)而S(x)在0,1上不连续.于是(xnxn1)在0,1上不一n0致收敛.(2)法1：因为Sn(x)n1xk(1x)2=(1x)(1xn),故k0S(x)limSn(x)1x,nx0,1.因而|Sn(x)S(x)|(1x)xngx(1x)xn贝Ug(x)nxn1(1口x)令gx0贝x)7nn1于是g x(1 x)xn 在处取最大值，因而lim sup S(x) Sn (x) = lim sup(1 x

15、)xn x 0,1n x 0,1n= limn(=0n 1 n 1n 彳x (10x)2 在 x0,1一致收敛.法2:un (x)记 un(x)nxn 1 (1 x)2xn(1 x)2)则2xn(1 x) xn 1(1x)n(n2)x故 un(xpjzh xn总处达到最大值，因而n、/n0u"(x)u"G)(1r(涓)2由M判别法可得,xn(1 x)2 xn 00,1一致收敛.(3)法 1：由于凡(x)1 |xn1 xn2|05 n .因n 27此(1)n(xn xn1) n 0在0,1上一致收敛.法 2：令 un(x)xnxn1 由于 | (k 01)k|1有界)而un

16、1 xun(x)xn (x 1)2 0,故un(x)对任意固定的x单调下降)且Unxxnxn1七0(n)即为3在0x1上一致收敛到零，故由狄利克雷判别法知Un(x)在。x1上一致收敛.(4)法1：记Un(x)x2enx,则Un(x)xenx2Un(x)在xn2处达到最大值)因而0 Un (x) Un (2) nz2 2en故x2enx在x(0,n0法2:利用用Taylor展开得,nx e1 nxRn(x), x 0,因而,故x2e nx在xn 022 nx xx e ' e2 x2 2. n x1 nx 2Rn(x)2 x-22n x2(0，) 一致收敛.5 .在0,1上定义函数列4n

17、2x,fn(x)4n2x4n,0,0 x12n1x n12n1 x n1计算其极限函数并讨论其一致收敛性.解显然)fn0)且对任意固定的X(0,1)则当n工时,总有fn(x)0因此limfn(x)0故极Xn'3艮函数为f(x)0.因而|fn(X)f(X)|fn(X),1lim fn(一) lim 2n n 2n n因此,由fn(X)在0,；增，在JU减，因此2n2nnlimsup|fn(X)f(x)|limsupfn(X)nX0,1nX0,1fn(X)在0,1上不一致收敛.6 .设f(x)定义于(a,b)令fn(X)nf(x)n(n1,2,)求证：fn(x)在(a,b)上一致收敛于f(

18、x).证：因为nfx1nfxnfx1nfxfxnnnf(x).limfn(x)lim-fx.nnn).I,、,1climsupfn(x)fxlim-0nXa,bnn1故fn(x)在(a,b)上一致收敛于f(x).7.设每一项nX都是a,b上的单调函数)如果n(x)在a,b的端点为绝对收敛,那么口在可上一致收敛.证明：不妨设nx单调递增，因此有绝对收敛)即a , n bb收敛,于是收敛，由M判别法知n(x)在a,b一，致收敛.8.设级数an收敛，证明n 1anlim - an .x 0 n 1 n n 1分析：本题实质上是证明极限和交换，即证求和可以而极限和求和可以交换的条件是an lim x 0 n 1 nan lim -x n 1 x 0 nann 1anx n 1 n致收敛.证因为an收敛，且与x无关, n 1则an在0, n 1上一致收敛，对每个