曲线积分与曲面积分复习课好ppt课件

1、曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分复习复习 课课 主要内容主要内容 例题例题 各种积分之间的联络各种积分之间的联络一、主要内容一、主要内容1 1、曲线积分、曲线积分1 1概念概念 LdsMf)(第一类第一类第二类第二类 LdxMf,)( LdyMf,)( LdzMf)(2 2两类曲线积分的联络两类曲线积分的联络 sddst0ds)cos,cos,(cos ),(dzdydx 3 3计算计算直接计算法直接计算法第一类：从小参数到大参数；第一类：从小参数到大参数；第二类：从起点参数到终点参数。第二类：从起点参数到终点参数。化为对化为对L L的定位参数的定积分。的定位参数的定积分。留意：留意：先化

2、简；先化简；间接计算法间接计算法用两类曲线积分的联络；用两类曲线积分的联络；用用GreenGreen公式及其推论、公式及其推论、StokesStokes公式公式. .第二类与定向有关。第二类与定向有关。 LQdyPdxIxQyP xQyP 0 LQdyPdxI ),(),(00yxyxQdyPdxI闭合闭合非闭非闭闭合闭合 DdxdyyPxQI)(非闭非闭补充曲线再用公式补充曲线再用公式根本根本方法方法ttytytxQtxtytxPId)()(),()()(),(: )()(ttyytxx2 2、曲面积分、曲面积分1 1概念概念 dSMf)(第一类第一类第二类第二类.)( dxdyMf2 2两

3、类曲面积分的联络两类曲面积分的联络,)( dydzMf ,)(dzdxMf SddSn0dS)cos,cos,(cos ),(dxdydzdxdydz 3 3计算计算直接计算法直接计算法第一类：化为对某两个直角坐标第一类：化为对某两个直角坐标 的定位参的定位参 数的二重积分；数的二重积分；第二类：将对第二类：将对x x、y y的曲面积分化为对的曲面积分化为对x x、y y的的二重积分。二重积分。留意：留意：先化简；先化简；间接计算法间接计算法用两类曲面积分的联络；用两类曲面积分的联络；用高斯公式。用高斯公式。第二类与定向有关。第二类与定向有关。3 3、GreenGreen公式、公式、Gauss

4、Gauss公式、公式、StokesStokes公式公式1 1建立了不同维数积分间的联络建立了不同维数积分间的联络留意：留意： 定向。定向。2 2公式及其推论在计算曲线积分、曲公式及其推论在计算曲线积分、曲面积分中的运用面积分中的运用留意：条件。留意：条件。例例 1 1 计计算算 LdyyxdxxyxI)()2(422, ,其其 中中L为为由由点点)0 , 0(O到到点点)1 , 1(A的的曲曲线线xy2sin . . 思绪思绪: LQdyPdxIxQyP xQyP 0 LQdyPdxI ),(),(00yxyxQdyPdxI闭合闭合非闭非闭闭合闭合 DdxdyyPxQI)(非闭非闭补充曲线再用

5、公式补充曲线再用公式二、例题二、例题解解xyP2 由于由于xxQ2 ,xQyP 有有xyo11A 104102)1(dyydxx故原式故原式.1523 例例 1 1 计计算算 LdyyxdxxyxI)()2(422, ,其其 中中L为为由由点点)0 , 0(O到到点点)1 , 1(A的的曲曲线线xy2sin . . 例例 2 2 计计算算 LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(, , L为为由由)0 ,(a到到)0 , 0(的的上上半半圆圆周周0,22 yaxyx. . 解解myeyPx cosyexQxcos xQyP 有有xyo)0 ,(aAMmxQyP 但但 AMOAOAOA

6、OALIdxdy)yPxQ(D 0 Ddxdym.82am 在在第第四四卦卦限限部部分分的的上上侧侧为为平平面面，其其中中求求1 C),( ,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例例3xyoz111 解解),1 , 1, 1( n的的法法向向量量为为.31cos,31cos,31cos ),(31xzyxfI dSzyx)(31 dS31方程方程.21 dSzzyxfyzyxf),(31),(231 所所截截部部分分外外侧侧被被平平面面为为锥锥面面求求2, 1, 222 zzyxzdxdyzxdzdxydydzI例例4解解 21220rd

7、rrd.215 xyDdxdyyx)(22dxdyzI 2对对称称性性41:22 yxDxy例例 5 5 求求yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 , , ：曲曲线线)31(01 yxyz绕绕 y 轴轴的的旋旋转转曲曲面面, , 法法向向量量与与y轴轴正正向向夹夹角角恒恒大大于于2 . . 解解221 xzy 旋转面方程为旋转面方程为 *I dvyyy)4418( *2)31(2dzdx dv zxDdzdx)(16 322 .34 xyzo132 *,)(lim)(10 niiiMfdMf .)()(, badxxfdMfbaR 上上区区间间.),()(,2 Ddyxfd

8、MfDR 上上区区域域三、三、 各种积分之间的联络各种积分之间的联络定积分定积分二重积分二重积分积分概念的联络积分概念的联络 dVzyxfdMfR),()(,3 上上区区域域.)()(,32 dsMfdMfRR 上上（有有向向）曲曲线线或或.),()(,3 SdSzyxfdMfSR 上上（有有向向）曲曲面面曲面积分曲面积分曲线积分曲线积分三重积分三重积分.),()( SdxdyzyxfdMf .)()( dxMfdMf 计算上的联络计算上的联络)(),(),()()(21面面积积元元素素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdVzyxf)()()

9、,(),(2121),(),( baLdxyxyxfdsyxf21)(,),( baLdxdxxyxfdxyxf)()(,),(投投影影元元素素,),( baDxdydzzyxfdx或或,),(),(),(21 yxzyxzDdzzyxfdxdyxy或或)(体积元素体积元素dV弧弧长长元元素素）（ds xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,),( xyDdxdyyxzyxfdxdyzyxR)(,(,),(其中其中dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( dsRQPRdzQdyPdxLL)coscoscos( )(面面积积元元素素dS)(投影元素投影元素dxdy实际上的联络实际上的联络1. 定积分与不定积分的联络定积分与不定积分的联络)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2. 二重积分与曲线积分的联络二重积分与曲线积分的联络)( )(的正向的正向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式3. 三重积分与曲面积分的联络三重积分与曲面积分的联络 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式4. 曲面积分与曲线积分的联络曲面积分