可分离变量的微分方程58104

1、第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程二、典型例题二、典型例题一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程分离变量，得：分离变量，得：,d)(d)(xxfyyg 设设 y= (x) 是方程是方程的解的解, , 则有恒等式：则有恒等式： ,d)(d)()(xxfxxxg 两边积分两边积分, , 得得 ,d)(d)()( xxfxxxg yygd)( ,d)(xxf 即：即： 设函数设函数 g(y) 和和 f(x) 是是 g(y) 和和 f(x) 的一个原函数的一个原函数 ,cxfyg )()(则有则有()()fxgyy 形如形如

2、 的方程，称为的方程，称为可分离变量可分离变量的微分方程的微分方程.可分离变量的微分方程的求解步骤可分离变量的微分方程的求解步骤(变量分离法变量分离法)：1、分离变量、分离变量,得得( )( )d ,g y dyf xx2、两边积分、两边积分,得得( )( )d ,g y dyf xx3、求出通解、求出通解.)()(cxfyg 微分方程的隐式通解微分方程的隐式通解例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2dd的通解的通解xyxy 解解分离变量分离变量 , 得得,d2dxxyy 两端积分两端积分 , 得得,d2d xxyy21ln yxc2xcey 即即二、典型例题二、典型例题.2为所求通解为所求

3、通解xcey 解得解得)(为任意常数为任意常数c例例 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xyey 解解分离变量分离变量,得得,dd2xeyexy 两端积分两端积分,得得,dd2 xeyexy1221ceexy 解得解得.22为所求通解为所求通解ceexy ceexy 22即即)(为任意常数为任意常数c.1)0(cos52的特解的特解满足初始条件满足初始条件求求例例 yxyy解解分离变量分离变量,得得,dcosd2xxyy 两端积分两端积分,得得,dcosd2 xxyycxy sin1解得解得,10 xy代代入入,1 c得得.1sin1 xy所求特解为所求特解为cxy sin1即即).(,

4、lnd702xyyxyxx求求设设例例 解解得得求导求导方程两边同时对方程两边同时对,x,dd12xyyyx 分离变量分离变量,dd22xxyy ,31113cxy 解得解得.33cxy 即即然后积分然后积分 :解解根据题意根据题意, ,有有)0(dd mtm00mmt (初始条件初始条件)对方程分离变量对方程分离变量, mmd,lnlnctm 得得即即tecm 利用初始条件利用初始条件, , 得得0mc 故所求铀的变化规律为故所求铀的变化规律为.0temm m0mto 然后积分然后积分:td)( 解解 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律 , 得得 tvmdd, 00 tv初始条件为初始条件为对

5、方程分离变量对方程分离变量 ,mtvkmgvdd 然后积分然后积分 :得得,)(ln1cmtvkgmk )0( vkgm此处此处利用初始条件利用初始条件, ,得得),(ln1gmkc 代入上式后化简代入上式后化简, 得特解得特解)1(tmkekgmv mg, vk 例例 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比成正比, ,并设降落伞离开跳伞塔时并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 )速度为速度为0,求求降落伞下落速度与时间的函数关系降落伞下落速度与时间的函数关系. . kmgv t 足够大时足够大时解解例例 某车间体积为某车间体积为12000立方米

6、立方米, 开始时空气开始时空气中含有中含有0.1%的的 co2 , 为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中co2的含量的含量, 用一台风量为每秒用一台风量为每秒2000立方米的鼓立方米的鼓风机通入含风机通入含0.03%的的co2的新鲜空气的新鲜空气, 同时以同同时以同样的风量将混合均匀的空气排出样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动问鼓风机开动6分钟后分钟后, 车间内车间内co2的百分比降低到多少的百分比降低到多少?设鼓风机开动后设鼓风机开动后t时刻时刻co2的含量为的含量为x(t)%在在 t , t +dt 内内,co2的通入量的通入量co2的排出量的排出量,03. 0d2000 t

7、),(d2000txt co2的改变量的改变量= co2的通入量的通入量 co2的排出量的排出量03. 0d2000d12000 tx),(d2000txt ),03. 0(61dd xtx,03. 061tcex , 1 . 0|0 tx,07. 0 c,07. 003. 061tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分钟后分钟后, 车间内车间内co2的百分比降低到的百分比降低到0.056%.分离变量法步骤分离变量法步骤:1.分离变量分离变量;2.两端积分两端积分隐式通解隐式通解.三、小结三、小结若是求特解，还需根据初值条件定常数若是求特解，还需根据初值条件定常数 . .(

8、1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. .常用的方法常用的方法: :1) 根据几何关系列方程根据几何关系列方程, ,2) 根据物理规律列方程根据物理规律列方程, ,3) 根据微量分析平衡关系列方程根据微量分析平衡关系列方程. .(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定初值条件利用反映事物个性的特殊状态确定初值条件. .(3) 求通解求通解, , 并根据初值条件确定特解并根据初值条件确定特解. . 3. 解解微分方程应用题的方法和步骤微分方程应用题的方法和步骤思考与练习思考与练习求方程的通解求方程的通解 :提示提示:)sin()sin(yxyx

9、y 方程变形为方程变形为yxysincos2 cxy sin22tanln一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: 1、0dtansecdtansec22 yxyxyx； 2、0d)(d)( yeexeeyyxxyx； 3、0dd)1(32 xxyy. 二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: 1、xxyyyxdsincosdsincos ,40 xy； 2、0dsin)1(dcos yyexyx, ,40 xy. . 练练 习习 题题三、质量三、质量克克为为1的质点受外力作用作直线运动的质点受外力作用作直线运动, ,这外力这外力和时间成正

10、比和时间成正比, ,和质点运动的速度成反比和质点运动的速度成反比. .在在10 t秒时秒时, ,速度等于速度等于秒秒厘米厘米/50, ,外力为外力为2/4秒秒厘厘米米克克 , ,问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? ?四、 小船从河边四、 小船从河边处处点点 0出发驶向对岸出发驶向对岸( (两岸为平行直线两岸为平行直线).).设设a船速为船速为, ,船行方向始终与河岸垂直船行方向始终与河岸垂直, ,设河宽设河宽h为为, ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比的乘积成正比( (比例比例k系数为系数为).

11、).求小船的航行路求小船的航行路线线 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、cyx tantan； 2 2、ceeyx )1)(1(； 3 3、cxy 433)1(4. .二、二、1 1、xycoscos2 ； 2 2、yexcos221 . .三、三、3 .269 v厘米厘米/ /秒秒. .四、取四、取 0 0 为原点为原点, ,河岸朝顺水方向为河岸朝顺水方向为轴轴x, ,轴轴y指向对指向对 岸岸, ,则所求航线为则所求航线为)312(32yyhakx . .例例 9 有高为有高为 1 m 的半球形容器的半球形容器 , 水从它的底部水从它的底部小孔流出小孔流出 , 小孔横截面积为小孔横截

12、面积为 1 cm2 (如图如图). 开始时开始时容器内盛满了水容器内盛满了水 , 求水从小孔流出过程中容器里求水从小孔流出过程中容器里水面的高度水面的高度 h (水面与孔口中心间的距离水面与孔口中心间的距离) 随时间随时间t 的变化规律的变化规律 .解解由力学知识得由力学知识得,水从孔口流水从孔口流出的流量为出的流量为,262. 0ddghstvq 流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度cm100horhdhh )1(,d262. 0dtghv 设在微小的时间间隔设在微小的时间间隔,d,ttt 水面的高度由水面的高度由 h 降至降至 h+dh ,dd2hrv 则则,200)100(100222hhhr )2(,d)200(d2hhhv 比较比较(1)和和(2)得得