相似三角形易出题、易错题(附参考答案)

1、相似三角形易出、易错题一解答题（共30小题）1如图，在ABC中，DEBC，EFAB，求证：ADEEFC2如图，梯形ABCD中，ABCD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G（1）求证：CDFBGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EFCD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长3如图，点D，E在BC上，且FDAB，FEAC求证：ABCFDE4如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BFAE于F，试说明：ABFEAD5已知：如图所示，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点（1）求

2、证：BE=CD；AMN是等腰三角形；（2）在图的基础上，将ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图中延长ED交线段BC于点P求证：PBDAMN6如图，在4×3的正方形方格中，ABC和DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上（1）填空：ABC=_°，BC=_；（2）判断ABC与DEC是否相似，并证明你的结论7如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以

3、2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由8如图，在ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论9已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：ADMMCP10如图，已知梯形ABCD中，ADBC，AD=2，AB=BC

4、=8，CD=10（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿BADC方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿CDA方向，向点A运动，过点Q作QEBC于点E若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒问：当点P在BA上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三

5、角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由11已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与BDC相似？12如图，在ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，PBQ与ABC相似13如图，ACB=ADC=90°

6、，AC=，AD=2问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似14如图在ABC中，C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与CBA相似？15如图所示，梯形ABCD中，ADBC，A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似16如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速

7、度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似17如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？18阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案（1）所需的测量工具是：_；（2）请在下图中画出测量示意图

8、；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x19问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与O相切于点M请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情提示：如图3，景灯的影长等于线

9、段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）20阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC21如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3（1）如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之

10、间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论22已知：如图，ABCADE，AB=15，AC=9，BD=5求AE23已知：如图RtABCRtBDC，若AB=3，AC=4（1）求BD、CD的长；（2）过B作BEDC于E，求BE的长24（1）已知，且3x+4z2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它

11、们的周长参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1解答：证明：DEBC，DEFC，AED=C又EFAB，EFAD，A=FECADEEFC2解答：（1）证明：梯形ABCD，ABCD，CDF=FGB，DCF=GBF，（2分）CDFBGF（3分）（2）解：由（1）CDFBGF，又F是BC的中点，BF=FC，CDFBGF，DF=GF，CD=BG，（6分）ABDCEF，F为BC中点，E为AD中点，EF是DAG的中位线，2EF=AG=AB+BGBG=2EFAB=2×46=2，CD=BG=2cm（8分）3解答：证明：FDAB，FEAC，B=FDE，C=FED，ABCFDE4解答：证明：矩形ABCD

12、中，ABCD，D=90°，（2分）BAF=AED（4分）BFAE，AFB=90°AFB=D（5分ABFEAD（6分）5解答：（1）证明：BAC=DAE，BAE=CAD，AB=AC，AD=AE，ABEACD，BE=CD由ABEACD，得ABE=ACD，BE=CD，M、N分别是BE，CD的中点，BM=CN又AB=AC，ABMACNAM=AN，即AMN为等腰三角形（2）解：（1）中的两个结论仍然成立（3）证明：在图中正确画出线段PD，由（1）同理可证ABMACN，CAN=BAMBAC=MAN又BAC=DAE，MAN=DAE=BACAMN，ADE和ABC都是顶角相等的等腰三角形PB

13、D和AMN都为顶角相等的等腰三角形，PBD=AMN，PDB=ANM，PBDAMN6如图，在4×3的正方形方格中，ABC和DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上（1）填空：ABC=135°°，BC=；（2）判断ABC与DEC是否相似，并证明你的结论解答：解：（1）ABC=135°，BC=；（2）相似；BC=，EC=；，；又ABC=CED=135°，ABCDEC7：解：（1）设经过x秒后，AMN的面积等于矩形ABCD面积的，则有：（62x）x=×3×6，即x23x+2=0，（2分）解方程，得x1=1，x2=2，（3分）经检验

14、，可知x1=1，x2=2符合题意，所以经过1秒或2秒后，AMN的面积等于矩形ABCD面积的（4分）（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与ACD相似，由矩形ABCD，可得CDA=MAN=90°，因此有或（5分）即，或（6分）解，得t=；解，得t=（7分）经检验，t=或t=都符合题意，所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与ACD相似（88解答：解：（1）ABMP，QMAC，四边形APMQ是平行四边形，B=PMC，C=QMBAB=AC，B=C，PMC=QMBBQ=QM，PM=PC四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=

15、AB+AC=2a（2）PMAB，PCMACB，QMAC，BMQBCA；（3）当点M中BC的中点时，四边形APMQ是菱形，点M是BC的中点，ABMP，QMAC，QM，PM是三角形ABC的中位线AB=AC，QM=PM=AB=AC又由（1）知四边形APMQ是平行四边形，平行四边形APMQ是菱形9解答：证明：正方形ABCD，M为CD中点，CM=MD=ADBP=3PC，PC=BC=AD=CMPCM=ADM=90°，MCPADM10解答：解：（1）过D作DHAB交BC于H点，ADBH，DHAB，四边形ABHD是平行四边形DH=AB=8；BH=AD=2CH=82=6CD=10，DH2+CH2=CD

16、2DHC=90°B=DHC=90°梯形ABCD是直角梯形SABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40（2）BP=CQ=t，AP=8t，DQ=10t，AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，8t+2+10t=t+8+tt=38当t=3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分第一种情况：0t8若PADQEC则ADP=CtanADP=tanC=，t=若PADCEQ则APD=CtanAPD=tanC=，=t=第二种情况：8t10，P、A、D三点不能组成三角形；第三种情况：10t12ADP为钝角三角形与RtCQE不相似；t=或t=时，PAD与CQE相似第一种情况：当

17、0t8时过Q点作QEBC，QHAB，垂足为E、HAP=8t，AD=2，PD=CE=t，QE=t，QH=BE=8t，BH=QE=tPH=tt=tPQ=，DQ=10t：DQ=DP，10t=，解得t=8秒：DQ=PQ，10t=，化简得：3t252t+180=0解得：t=，t=8（不合题意舍去）t=第二种情况：8t10时DP=DQ=10t当8t10时，以DQ为腰的等腰DPQ恒成立第三种情况：10t12时DP=DQ=t10当10t12时，以DQ为腰的等腰DPQ恒成立综上所述，t=或8t10或10t12时，以DQ为腰的等腰DPQ成立11解答解：设经x秒后，PBQBCD，由于PBQ=BCD=90°

18、，（1）当1=2时，有：，即；（2）当1=3时，有：，即，经过秒或2秒，PBQBCD12解答：解：设经过秒后t秒后，PBQ与ABC相似，则有AP=2t，BQ=4t，BP=102t，当PBQABC时，有BP：AB=BQ：BC，即（102t）：10=4t：20，解得t=2.5（s）（6分）当QBPABC时，有BQ：AB=BP：BC，即4t：10=（102t）：20，解得t=1所以，经过2.5s或1s时，PBQ与ABC相似（10分）解法二：设ts后，PBQ与ABC相似，则有，AP=2t，BQ=4t，BP=102t分两种情况：（1）当BP与AB对应时，有=，即=，解得t=2.5s（2）当BP与BC对应

19、时，有=，即=，解得t=1s所以经过1s或2.5s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与ABC相似13解答：解：AC=，AD=2，CD=要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当RtABCRtACD时，有=，AB=3；（2）当RtACBRtCDA时，有=，AB=3故当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似14解答：解：设经过x秒后，两三角形相似，则CQ=（82x）cm，CP=xcm，（1分）C=C=90°，当或时，两三角形相似（3分）（1）当时，x=；（4分）（2）当时，x=（5分）所以，经过秒或秒后，两三角形相似（6分）15解答：解：（1）若点A，P，D分别与点B，C，P对应，

20、即APDBCP，=，=，AP27AP+6=0，AP=1或AP=6，检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，=，又A=B=90°，APDBCP当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，又A=B=90°，APDBCP（2）若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即APDBPC=，=，AP=检验：当AP=时，由BP=，AD=2，BC=3，=，又A=B=90°，APDBPC因此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、6处16解答：解：以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似，所以ABCPAQ或ABCQAP，当ABCPAQ时，所以，解得：t=6；当ABC

21、QAP时，所以，解得：t=；当AQPBAC时，=，即=，所以t=；当AQPBCA时，=，即=，所以t=30（舍去）故当t=6或t=时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似17解答：解：MAC=MOP=90°，AMC=OMP，MACMOP，即，解得，MA=5米；同理，由NBDNOP，可求得NB=1.5米，小明的身影变短了51.5=3.5米18解答：解：（1）皮尺，标杆；（2）测量示意图如图所示；（3）如图，测得标杆DE=a，树和标杆的影长分别为AC=b，EF=c，DEFBAC，（7分）19解答：解：（1）由题意可知：BAC=EDF=90°，BCA=EFDABCDEF，即，（2分）DE=1200（cm）所以，学校旗杆的高度是12m（3分）（2）解法一：与类似得：，即，GN=208（4分）在RtNGH中，根据勾股定理得：NH2=1562+2082=2602，NH=260（5分）设O的半径为rcm，连接OM，NH切O于M，OMNH（6分）则OMN=HGN=90°，又ONM=HNG，OMNHGN，（7分），又ON=OK+KN=OK+（GNGK）=r+8，解得：r=12景灯灯罩的半径是12cm（8分）解法二：与类似得：，即，GN=208（4分）设O的半径为rcm，连接OM，NH切O于M，OMNH（5分