线性代数与概率统计作业完整版

1、一.问答题n阶行列式D中划去aij所在的第i行和第j列的元素后，剩下的元素按原来相对位置所组成的(n-1 )阶行列式，称为的余子式，记为1. 叙述n阶行列式的余子式和代数余子式的定义，并写出二者之间的关系。 答淀义：在Mij，即2.叙述矩阵的秩的定义。 答：定义：设A为矩阵。阵A的秩，记作(秩)=r或R(A)=r。如果A中不为零的子式最高阶为r,即存在r阶子式不为零，而任何 叶1阶子式皆为零，则称r为矩a1,11a1,j4bba1卄bba1 nbai丄1ai,jai,j十ai 4nai +,11aHt,j -4hhai也十hhai -1,nhan,1an,j4an,j-h an ,nXM ij

2、称为a的代数余子式，记为Aij,即Mjj =Aij =(-1 jMij(-1尸3 .齐次线性方程组的基础解系是什么？必 +&必 +.+a1nXn =0答：定义：设T是2""22卷+ .七2片=0的所有解的集合，若T中存在一组非零解V1,V2,.,Vs，满足(1) 小2,，V线性无关;(2) 任意vT，都可用v1,v2,., vs，线性表出则称v1,v2,., vs，是此方程组的一个基础解系4.试写出条件概率的定义。答：条件概率的定义：在事件 B发生的条件下事件a发生的概率定义为 卩朋)=鵲(p(b)a0)5. 试写出全概率公式和贝叶斯公式这两个定理。答：定理1 (全

3、概率公式)设事件Ai,A2,An构成完备事件组，且P(A )：o(i =1,2,n )，则对任意事件B有nP(B)=2 P(A)P(B|Ai)。i3特别地，当n=2时，全概率公式为P(B) = P(A)P(B |A) + P(A)P(B |A).定理2 (贝叶斯公式)设事件Ai,A2,A，构成完备事件组，PA )：0(i =12. n),，则对任意事件B(P(B)：0)，有P(Ak | b)=.卩(人円引乓)(1,2厂,n ) z Pa p(bi a)i 4.填空题1 .行列式D =1-1-111-1+2. 设A, B均为3阶矩阵，且|A|=|B|= -3，则-2AB 1X1 +a12X2 +

4、 + a1nXn =03. 如果齐次线性方程组$21人中比以2十中比必=0的系数行列式|D|H0 ,那么它有唯一零 解.an1X1 +an2X2 +annXn =04 .用消元法解线性方程组 从=b，其增广矩阵A经初等行变换后，化为阶梯阵At00L0-52003-3仁4t0则 (1)当s=0,(2)当 s=0, t=0 时，有无穷多解；(3)当sM 0是任意实数时,AX =b有唯一解。n_m N-JM CnCN为样本均值;C mC5设有N件产品，其中有M件次品，若从N件产品中任意抽取n件，则抽到的n件中检有m(m<M )件次品的概率为P=_ CmC6. 随机变量数学期望的性质有(1) E

5、(aX +b) = aE(X hb (a, b 为常数);(2) 设有两个任意的随机变量 X, 丫，它们的期望E(X),E( Y)存在，则有E(X+ Y) = E(X+E( Y )。(3) 设Xi,X2是相关独立的两个随机变量，且各自的期望均存在，则有E(XiX2)=E(Xi)E(X2)。7. 设(Xi，X2，Xn)为总体X的一个容量为n的样本，则称统计量 1 n(1) X =-S Xin i4-z (xX L为样本方差。n i -48. 由概率的加法公式知，(1)对任意两个事件A, B,有P(A+B) =_P(A)+ P(B )-P(AB L；(2)如果事件A, B互不相容，则三.计算题1.

6、计算行列式P (A+B)242011121022=_ P(A)+ P(B111-9911-198-22111210-221-21102 '421-100-1-3102395201395,201=_201102395-12+ -2)2011029998201102039512-51-51 12丿12-5121-21205原行式列可=(-2600 +1400 600 )=18002.设 A =120L12-1-240-10314-11120L11-11-2,求(I -A)B 。f1000"1201 f 0-20-T-A)=01002-1-14=-221-400100-20-102

7、110001L1431-1-4-30解：（I(I -AB =0-20LT-222-4011-3711 r54 2-1-25015-3 L1-2901-4103.求矩阵251L4-5-8-7-135412422厂303的秩。解：A=f251L435412422广303124L5431522240133-7429-5-227-15-627-1560133100L0100L0-79004-5002-2000000所以，矩阵的秩为2 （化为三角阵的方法P44).一为一2X2 +X3 +4X4 =04.解齐次线性方程组2x1 +3X2 -4X3 -5X4 =0 x1 4x2 13x3 +14x4 =0為

8、 一 X2 7x3 + 5x4 = 0解：对系数矩阵施以初等变换:A=r-122-5-10-2-2r-10-2-1-2r-10-1-2-21053-13141L1与原方程组同解的方程组为:-10L0-12-6180L00L00L0卜-5x3 +2x4 =0X2 +x3 -3x4 =0所以：方程组的一般解为X11X2=5x3 中2x4（其中,=2x3 3x4x3,x4为自由未知量）5.试问人取何值时，齐次线性方程组卩为 +X2 + kX3 =02X2 -X3=0有非零解?IIn X22X3 =0解:系数行列式为:30 Z1 -1 -21 -1 -20 2-1=04 a+6=0 2-11-1-20

9、 2-100A +8所以，当扎=-8时，该齐交线性方程组有非零解。6.设有甲、乙两名射手，他们每次射击命中目标的概率分别是0。8和0。7。现两人同时向同一目标射击一次，试求：(1) 目标被命中的概率；(2) 若已知目标被命中，贝U它是甲命中的概率是多少？解：设A= 甲命中目标B=乙命中目标C=目标被命中。则C=A+B在这个问题中，A与B相互独立，而P(A) = 0.8, P(B)=0.7, 那么(1) 目标被命中的概率为P(C) =P(A + B) =P(A) + P(B) P(AB) =P(A) + P(B) P(A)P(B) = 0.8 + 0.7 0.8 0.7 = 0.94或者利用A与

10、B的相互独立性，有P(C) =1 - P(C )=1 - P(aUb )=1 - P(AB )=1 - P(aP(B )=1-0.2X 0.3 = 0.94(2)在已知目标被命中条件下，则它是甲命中的概率为P(A|cA巴丄也=竺卑。P(C )P(C) 0.94 477. 一袋中有m个白球，n个黑球，无放回地抽取两次，每次取一球，求:(1)在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的条件概率；(2)在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的条件概率。 第二次取到白球”。解：用A表示“第一次取到白球”，B表示(1)袋中原有m+n个球，其中m个白球。(2)袋中原有m+n个球，其中m个白球,第一次取到白

11、球后，袋中还有 m+n-1球，其中m-1个为白球。故pB|A)=山一1m+ n-1第一次取到黑球后，袋中还有 m+n-1球，其中m个为白球。故Pb|A)=m一m+ n-11118.某工厂生产一批商品，其中一等品点丄，每件一等品获利3元；二等品占-，每件二等品获利1元；次品占-，每件次品亏损2362元。求任取1件商品获利X的数学期望E(X)与方差D(X)。111解: ex =3x-+ix-+(-2”-=1.5236D(X )=E X E(X 號迄(XE(X )"(|上 + (一十2 + £沢 + 号9.设某仪器总长度X为两个部件长度之和，即 X=X+X2，且已知它们的分布列分别为Xi2412X267PkO.3O.5O.2PkO.4O.6求：(1)E(Xi+X2)；(2)E(XiX2)；(3)D(Xi+X2)。 解：因为 EX, =2x0.3+4x0.5+12x0.2 =5EX2 =6天0.4+70.6=6.6故( 1) E(Xi +X2)=E(Xi)+E(X2)=5+6.6 =11.6(2) E(XiX2)=E(Xi)E(X2 ) = 5