求两条异面直线之间距离的两个公式

1、求两条异面直线之间距离的两 个公式作者:日期:求两条异面直线之间距离的两个公式王文彬（抚州一中 江西344000 ）本文介绍求异面直线距离的两个简捷公式，以及如何定量地确定异面直线公垂线的方法.1公式一如图1 , /| S厶是异面直线/ 'u平面 , /Ca = A ,厶在a内的射影为/ ,设Icl = B ,且厶仏与/所成的角分别为q , AB = ni，贝叽与厶之间的距离为d = JcSC，q + CSC' E -1(1)证明：设厶与厶的公垂线为MN ,如图1所示.过M作丄/于H ,由于厶在平面a内的射影为/，故MH丄平面a ,NM在a内的射影为册由MN丄人知在RZNH中B

2、N = BH cos G = AB - AH) cos 比=(/- AM cos q) cos a同理 AM = (/ - BN cos E) cos q联立解得2/H cos sin GBN =1-COS" q cost从而MH = AM sin q = "5? sin甲 q* I-cos'q cost 'NH = BN tan G =恥呼 s亦？比 l-cospcost ":.MN-=MH- + NH-= (cos-(9, sin' 0, sin' 0 + cos' 0, sin' tan' 0,)(1-

3、cos" q cos" a)HI-(sin" q sin"纵 cos" q +sin'* q sin" Q)iny sin" q sin" Q (cos" q sin" Q + sin' q) (1-cos" q cos" q)nrT*sin" q sin" 0 (sin" q +sin' Q - sin，q sin'q) (sin' q +sin' Q -sin" q sin'

4、Ojnr_ tjr sin" q sin' Q_sin" +sin"- sin" sin' esc? 8、+csc" -1即有公式(1 )成立运用公式(1 )求厶与4之间的距离时，无需知道它们公垂线的位置，但如果要确定公垂线的位置，则可根据公式(L1)和公式(1.2 )分别计算出AM和BN的值,进而确定公垂线2公式二如图2厶是异面直线,A7 , AH岛于H，与与厶所成的角分别为久& ,AH=m ,贝叽与厶之间的距离为宀尽! 证明：过A作"仏,设由/与厶确定的平面为5 , MN为厶与4公垂线，如图2所HM作MK丄

5、/于K ,连KN ,易知NK丄/ , AHNK为矩形.在 RfMfNH 中,MN =MH- - NH? = AH- + AM，- 2AH AM cos a - AK"=nr + AK- + MK? - 2m AM cos a - AK"=/tr + MK - 2m AM cos <z=“2篇cos a由于MN丄h，MN丄!,故MV丄平面AMK ,从而ZNMK=9（AMK- = NK- MN- = nr - MN-,代入上式并解出MN就是公式(2).另外，AM =驾=曲三理，将（2 ）代入得sin& sin0必竺晋(2.1sin" 0又HN = AK

6、= AM cos 0 /将上式代入得m cos cos a z r c、HN =r-( 2.2 )sin' 0公式（1 ）（ 2 ）可以帮助我们定量地确定公垂线MN的位置.3公式的应用【例1】四棱锥S-ABCD中底面是边长为1的正方形，SD丄底面AC , 5D = 2 .£F分别是SABC的中点,求异面直线EF与BD的距离,并确定【解】取AD的中点G ,连EG. GF ,设GFcBD = O ,因SD丄底面AC ,易知EG丄面AC , EF在底面内的射影为GF ,线的述6= ZEFG = 45°. q = ZBOF = 45° ,! 7)- -?”2C d

7、AR代入公式可得EF与的距离¥设EF与3D的公垂线为MN ,其中M wEF、NwBD ,将q同与山的值代入公式（1.1 ）和（1.2 ）可分别求得, ON=g0oB11EF = 41.03 = ,故有FM =-EFQN = -OB ,由此不难作出公垂线MN.263【例2】如图4, ABC - AQC是直三棱柱，其中ZACB = 120° , AC = /3 , CB = 2冬,硝=2。,求异面直线与cq的距离，并确定公垂线的位置.【解】连c耳贝 U CB = JCC： + CE = J(2弟)2 + (2 =2 屁AB' = AC- + BC- -2AB- BCcos 120 = 21 , AB=AA+AB =(2>/7)'+21 =49 , AC与 AB】所成的角是ZCABi，设为a，则又M与CG所成的角为ZA/5 ,设为&,贝加&=如=翅根据公式(2), ABi与CG的距离为i卜籍设与CG的公垂线为MN , M eA