方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题

1、方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题一、选择题1.已知XI、X2是关于X的方程X2- ax-2=0的两根，下列结论一定正确的是(B. X1+X2>0A. xiMx【答案】A【解析】分析：A根据方程的系数结合根的判别式, 确；C. X1?X2> 0D. X1< 0, X2< 0可得出 > 0,由此即可得出XiM2，结论A正B、 根据根与系数的关系可得出xi+x2=a,C、 根据根与系数的关系可得出X1?X2= - 2，结论C错误;D、由xi?x2= - 2,可得出xi< 0, x2>0,结论 D错误. 综上即可得出结论.详解：Av = (- a) 2

2、- 4X i (- 2) =a2+8>0 ,- Xi 2，结论A正确；B、v Xi、X2是关于X的方程X2- ax - 2=0的两根，结合a的值不确定，可得出 B结论不一定正确;xi+x2=a,/ a的值不确定， B结论不一定正确；C、T XI、X2是关于X的方程X2- ax- 2=0的两根，-Xi?X2=- 2,结论 C错误；D、T X1?X2=- 2,-Xi< 0, X2> 0，结论 D 错误.故选A.点睛：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记 的实数根”是解题的关键.当厶> 0时，方程有两个不相等2 .从4 , 2 , i, 0, i, 2, 4, 6这八

3、个数中，随机抽一个数，记为a .若数a使关于X的一元二次方程 X22 a 4 X a20有实数解.且关于y的分式方程有整数解,则符合条件的a的值的和是()A. 6【答案】【解析】B.C.2D. 2【分析】由一元二次方程2a0有实数解，确定a的取值范围，由分式方程一有整数解,ya的值即可判断.33 二y i i【详解】2 2方程x 2 a 4 x a 0有实数解,=4(a-4)2-4a2? 0,解得a? 2满足条件的a的值为-4, -2, -1, 0, 1, 2a解得y=-+22 y有整数解 a=-4, 0, 2,综上所述，满足条件的 a的值为-4, 0, 2, 符合条件的a的值的和是-2 故选

4、：C【点睛】这个本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方 程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值,值叫分式方程的解.x22 x 10的两根，且7m2 14m a23n 5n m10 ,则a的值是（A.5【答案】A【解析】B. 5C.D. 9【分析】由一元二次方程的解及根与系数的关系可得出m22m 1,n2 2n1,m n 2,结合2 27m 14m a 3n 5n m10，可求出a的值，此题得解.【详解】解：m ,n是方程X22x1 =0的两根,2 m2m21, n 2n1,mn 2 .Q 7m2 14m a 3n25nm

5、10,即(7a )(32) 10,a5 .故选：A.【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，正 确求出a的值.4.方程2x2 3x 10的两根之和为（3A.-2【答案】A2B.-3C.3D.【解析】【分析】 据一元二次方程的根与系数的关系即可判断.【详解】 根据一元二次方程的根与系数的关系可得：两个根的和是:故选：A.【点睛】此题考查根与系数的关系，解题关键在于掌握若X1,X2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (aM0的两根时，X什x2=-b, X1X2a5.关于X的方程（a5)x24x 10有实数根，则a满足（）A. a 1【答案】AB. a 1

6、 且 aC.aD.【解析】【分析】分类讨论：当a=5时，原方程变形一元 的意义得到aM5时，根据判别式a>l且aM5时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的次方程，有一个实数解；当的范围.【详解】当a=5时,1原方程变形为-4x-1=0,解得x=-一 ;4= （-4） 2-4 （a-5） x（ -1）解得a>1即a>l且 a工5时，方程有两个实数当aM5时，根，所以a的取值范围为a>1故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 （ a工）的根的判别式 =b2-4ac:当> 0，方程有两个不相等的实数根；当 =0，方程有两个相等的实数

7、根；当 < 0,方程没有实数根.也考查 了一元二次方程的定义.6.已知X1、X2是一元二次方程X2 2x 0的两个实数根，下列结论错误 的是（）A. X1X22B. X1 2x10C. X1X22D. Xi X22【答案】D【解析】【分析】 根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系 逐一进行分析即可.【详解】X1、X2是一元二次方程 x2-2x=0的两个实数根,这里 a=1, b=-2, c=0,b2-4ac=(-2)2-4 X 1 X 0=4>0所以方程有两个不相等的实数根，即X1 X2，故A选项正确，不符合题意;2X10，故B选项正确，不符

8、合题意;XiX22，故C选项正确，不符合题意;1XiX2故D选项错误，符合题意,【点睛】本题考查了X，则可列方程为（A. 30 1 X43.2B.30 110.8C. 30 1243.2D.30 121 X 43.2【答案】【解析】【分析】关于增长率问题，一般用增长后的量 率为X，然后根据已知可以得出方程.【详解】=增长前的量X （ 1+增长率），旅游人次的年平均增长设旅游人次的年平均增长率为那么根据题意得：30 1 XX ,243.2.故选：C.【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a (1+X)2=b,故选D.元二次方程的根的判别式，根的意义，根与系数的

9、关系等，熟练掌握相关知 识是解题的关键.7.我市郊区大力发展全域旅游产业，打造了大来岗风景区、敖其湾赫哲族风景区等精品旅游项目，郊区全年旅游人数逐年增加，据统计，2016年为30万人次，2018年为43.2万人次.设旅游人次的年平均增长率为a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量.&聪聪、明明、伶伶、俐俐四人共同探究代数式2x2 3x 5的值的情况他们做了如下分工，聪聪负责找值为 0时X的值，明明负责找值为 4时X的值，伶伶负责找最小值，俐俐 负责找最大值，几分钟，各自通报探究的结论，其中正确的是(x，使 2x21 时，2X2(1)聪聪认为找不到实数(2 )明明认为只有当(3)伶

10、伶发现2x23x5有最小值;3x 5的值为0 ；3x 5的值为4;4 )俐俐发现2x23x5有最大值A.( 1)( 2)【答案】B【解析】【分析】B.(1)( 3)C.( 1)( 4)D.( 1)( 2)( 4)3解一元二次方程，根据判别式即可判断(1)( 2),将式子2X2 - 3x+5 配方为 2 (X-)4312+，根据平方的非负性即可判断(3)( 4).8【详解】解：(1) 2x2-3x+5= 0, = 32- 4X 2X0，方程无实数根，故聪聪找不到实数x,使2x2-3x+5的值为0正确，符合题意，1(2) 2x2- 3x+5= 4，解得X1 = 1，X2= 1，方程有两个不相等的实

11、数根，故明明认为只有2当x= 1时，2x2 - 3x+5的值为4错误，不符合题意，3 31(3) 2x2-3x+5= 2 (x-) 2+ 4 8C /3、2 31 31 2 (X - ) 2 + >,488 2x2 - 3x+5有最小值，故伶伶发现 2« - 3x+5有最小值正确，符合题意，(4)由(3)可知2x2 -3x+5没有最大值，故俐俐发现2x2 -3x+5有最大值错误，不符合题意，故选：B.【点睛】本题考查解一元二次方程和配方法的应用，掌握一元二次方程求根公式和配方法是解决本题的关键.9. 下列各式的变形中，正确的是()2 1A. X2 8x 1 0配方变为(X 4)

12、2 1 B. x (x2 x) - 1 xC. 2x2 10x 9 0 配方变为(2x 5)2 16 D. ( x y)( x y) x2 y2【答案】D【解析】【分析】A、C选项，利用配方法的步骤进行计算即可, 断.B、D选项为根据整式的除法和乘法即可判【详解】A选项，x2-8x-1=0利用配方法得,x2-8x+16-16=1 整理得B选项,2整式的除法，x xC选项,2x2+10x+9=0将x2系数化为1得,x2x(x5x1)(x-4) 2=17,选项错误1，选项错误x 10,利用配方法得x2 5x 25 253，整理得,442-，故该选项错误;4D选项，易观察到两多项式中存在相同项及互为

13、相反数项，满足平方差公式，其中相同项 为-X, y与-y互为相反数，即有(-x-y)( -x+y)=x2-y2，正确故选：D.【点睛】此题主要考查一元二次方程中配方法的运算及整式除法，平方差公式，掌握整式混合运算 的法则及配方法的步骤是解题的关键.此题为基础题型，比较简单.10. 徐工集团某机械制造厂制造某种产品，原来每件产品的成本是100元，由于提高生产技术，所以连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元则平均每次降低成本的百分率是 ()A. 8.5%【答案】D【解析】B. 9%C 9.5%D. 10%【分析】设平均每次降低成本的百分率为 x的话，经过第一次下降，成本变为 100 (1-X)

14、元，再经 过一次下降后成本变为 100 (1-x)( 1-x)元，根据两次降低后的成本是 81元列方程求解 即可.【详解】解：设平均每次降低成本的百分率为X,根据题意得100 (1-x)( 1-x) =81,解得x=0.1或1.9 (不合题意，舍去)即 x=10%故选D.11. 某商品原售价225元，经过连续两次降价后售价为196元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是()A. 225(1 x)2=1962C. 225(1 x)= 196【答案】 AB. 196(1- X)2= 2252D. 196(- X )= 225解析】分析】X( 1-降低的百分率)=225,可先表示出第

15、一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格 把相应数值代入即可求解详解】第一次降价后的价格为225X( 1-X),第二次降价后的价格为225X( 1 - X) X( 1 - X),则 225( 1- x)2=196.故选 A.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题.若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为X,则经过两次变化后的数量关系为a (1 ±<) 2=b.12 . 目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经 济困难学生 389 元，今年上半年发放了 438 元.设每半年发放的资助金额的平均增长率为X,则下面列出的方程中正确的

16、是(A. 4381+x) 2=389B389( 1+x) 2=438C389【答案】【解析】1+2x) =438BD438(1+2x)=389分析】 详解】解：因为每半年发放的资助金额的平均增长率为去年上半年发放给每个经济困难学生 389 元，X,去年下半年发放给每个经济困难学生 389 (1+ X)元，则今年上半年发放给每个经济困难学生389 (1 + X)(1 + X)= 389(1 + x)2元.据此,由题设今年上半年发放了 438 元,列出方程： 389( 1+X) 2=438. 故选 B.2213.两个不相等的实数 m, n满足m 6m 5,n 6n 5，则mn的值为()A6 【答案

17、】 D【解析】B-6C5D-5【分析】根据题意得到 m，n 可看作方程 x2-6x-5=0 的两根，然后根据根与系数的关系求解即可详解】两个不相等的实数 m, n满足m2 6m 520, n 6n 50,m , n可看作方程 x2-6x-5=0的两根, mn=-5故选：D.【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系:X1,x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a却的两根时，x1 x214.已知b24ac是一元二次方程axbx0 a 0的一个实数根，贝U ab的取值范围为()1A. ab -8【答案】BB. ab 18C.D. ab -4【解析】【分析】设u=Jb2 4ac，利用求根公式

18、得到关于的两个一元二次方程,并且这两个方程都有实根，所以由判别式大于或等于0即可得到ab<1 .【详解】因为方程有实数解，故 b2-4ac >0由题意有：b Jb2 4ac b2 4ac或b加4ac2a则有 2au2-u+b=0 或 2au2+u+b=0,( a 工0 ,因为以上关于u的两个一元二次方程有实数解， 所以两个方程的判别式都大于或等于0,即得到2a1-8ab>0,b24ac，设u= 4ac，所以abw】.8故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 ( a工,a,b區埜(b2-4ac邛.2ab, c为常数)的求根公式:x=2019年销售额A. 8

19、(1 - x)= 5.12C. 8 (1 - x) 2= 5.1215. 深圳沙井某服装厂 2017年销售额为8亿元，受中美贸易战影响，估计 降为5.12亿元，设平均每年下降的百分比为X,可列方程为()B. 8 (1+x) 2= 5.12D. 5.12 (1+x) 2= 8【答案】 C【解析】【分析】一般用降低后的量=降低前的量x（ 1-降低率）， 价格是（1-X），第二次降价后的价格是（1-X） 【详解】设平均每次降价的百分比为 X, 则根据题意可得出方程为： 8（1- X） 2= 5.12； 故选 C.【点睛】本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为降低前的价格设为 1,则第一次降价后

20、的2,可得出方程.a,变化后的量为 b平均变化率为 X,则经过两次变化后的数量关系为a （1±X 2=b （当增长时中间的 “±号选“ +,”当降低时中间的“±号”选 “-”）.16. 方程X2- 9X+14= 0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A. 11【答案】 B【解析】B16C 11 或 16D.不能确定【分析】先利用因式分解法解方程求出 X的值，再分情况讨论求解可得.【详解】/X2- 9x+14= 0,（ X-2）（ X-7）= 0,贝y X- 2 = 0 或 X- 7 = 0,解得X= 2或X= 7,当等腰三角形的腰长为2,底边

21、长为7,此时2+2乙不能构成三角形，舍去；当等腰三角形的腰长为7,底边长为2,此时周长为7+7+2= 16 ,故选： B.【点睛】此题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因 式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.)D. 417. 关于X的方程（2-a）x2+5x-3=0有实数解，则整数a的最大值是（A. 1B. 2C. 3【答案】 D【解析】【分析】由于关于X的方程（2-a） x2+5x-3=0有实数根，分情况讨论： 当2-a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根； 当2-a工0即a M2时，此时方程为一

22、元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是个非负数，由此可以确定整数a的最大值.【详解】解：关于x的方程（2-a）x2+5x-3=0有实数根，当2-a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根； 当2-a MO即a M2时，此时方程为一元二次方程， 如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数， =25+12（2-a）%,49解之得aw,12整数a的最大值是4.故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程与根的判别式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的性质与 根的判别式.)C. 2x2 x 1 = 0D. 2x2 x+1 = 018. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（A. x2 2x= 0B. x