定积分概念与性质

1、第一节定积分概念与性质教学目的：使学生了解定积分概念，掌握定积分的性质。一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积曲边梯形：设函数y=f(x)在区间a,b上非负、连续.由直线X/、X、y及曲线y=f ( x)所 围成的图形称为曲边梯形 *其中曲线弧称为曲边.求曲边梯形的面积的近似值：将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形、每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替、每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积、则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值.具体方法是：在区间a、b中任意插入若干个分点ae0X1X2； X X X XnCXnb把a、b分成n个小区间XX Xn 丄 Xn r,X X X r Dxn

2、 = Xn 訣.，把曲边梯形分成n个窄曲边梯形.在每个小区间X0 ,刈 J X. X2 J X2 r X3、X 它们的长度依次为D1 = X 1X0r D X2= X 2-X1经过每一个分点作平行于y轴的直线段Xi丄*Xi上任取一点Xi,以XiX为底、f2 X X X(Xi)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i=1*、n)、把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值、即nA甘(X 1)DX1+f ( X 2)DX2 + X X X + f ( X n )DXn =送 f(q)Ax .iz1求曲边梯形的面积的精确值：显然、分点越多、每个小曲边梯形越窄、所求得的曲边梯形面积

3、 A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值、因此.要求曲边梯形面积 A的精确值、只需无限地增加分点、使每个小曲边梯 形的宽度趋于零.记-使每个小曲边梯形的宽度趋于零.相当于k=maxDxi Q X2 X X X QXn、于是、上述增加分点令XT0 .所以曲边梯形的面积为nA=LimSf(q)纵./T i Ti、T2上t的连续函数、且v(t)30、计算Dt i、在每个小的时间间隔Dt i内、物体运动2.变速直线运动的路程设物体作直线运动、已知速度vm(t)是时间间隔在这段时间内物体所经过的路程S .求近似路程：我们把时间间隔T1、T2分成n个小的时间间隔看成是均速的、其速度近似为物体在时间间隔D

4、ti内某点Xi的速度v(t i)、物体在时间间隔Dti内运动的距离近似为 DS= v(t i) Dti .把物体在每一小的时间间隔Dti内运动的距离加起来作为物体在时间间隔T1 、T2内所经过的路程 S的近似值.具体做法是：在时间间隔T1 、T2内任意插入若干个分点XT 1t 1：t 2X X把T1 J2分成n个小段t0 J1 J t1 J2、X各小段时间的长依次为Dt11_t0 Dt22_t1 X4* t n tX DtIn=T2n =t相应地、在各段时间内物体经过的路程依次为DS1 DS2 XXX DSn44I在时间间隔t i丄i上任取一个时刻Ti (t ijTit i) 以P时刻的速度V

5、(Ti)来代替t i厶 t i上各个时刻的速度*得到部分路程DSi的近似值、即DSi= V ( Ti) D t i (i 2、X X X r n).于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S的近似值、即求精确值：记A =maxD t 1、Dt 2 X X X ft n、当H时.取上述和式的极限.即得变速直线运动的 路程nSTimSvqi./Hoi设函数y=f(x)在区间a、b上非负、连续.求直线x=a、x龙、y=0 及曲线y=f ( X)所围成的曲边梯形的面积.(1) 用分点a=X0X1X2c X X XXn_jXn=b把区间a*b分成n个小区间： Xo r Xl J Xl r

6、X2 J X2r X3 r X X X JXnXn,记 CXXi XJ ( 1 . 2, X X X r n).(2) 任取X i迂Xi、Xi.以Xi亠Xi为底的小曲边梯形的面积可近似为2 . X X X .n)；所求曲边梯形面积A的近似值为nA 是2 f()Ax -irn 记A=maxDiQx2 X X X Qxn *所以曲边梯形面积的精确值为nA=i也送 f(2xi i#设物体作直线运动、已知速度V=v(t)是时间间隔T_T 2上t的连续函数、且v(t)30、计算在这段时间内物体所经过的路程 S .(1) 用分点 Tl=t 0t 1t 2X X X t ntn=T2 把时间间隔T1 T2分

7、成 间段：to*tl J tl*t2 * X X Xtntn*记 Dti =titi 二(i =1 * 2、X X(i=1.2XXX r n);所求路程S的近似值为n个小时V( Ti)Dti任取応t i亠t i *在时间段t i亠t i 内物体所经过的路程可近似为nS 乏送 v(Ti)Ati .i 记A=maxDiQt2X X X Qtn，所求路程的精确值为二、定积分定义抛开上述问题的具体意义*抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括*就抽象出下述定积分的定义.定义 设函数f (x)在a * b上有界 在a * b中任意插入若干个分点a $0C X1C X2C X X X Xn丄cxnb,

8、把区间a . b分成n个小区间X0、X1 J X1 ”2、X X各小段区间的长依次为X QXn 二Xn 小.XVXi Xi)、作函数值f (Xi)与小区间长度 Dx的DX1*1 以0 QX2承21 X X在每个小区间Xi.Xi上任取一个点 X i ( 乘积f ( X i) Dxi ( i =1 . 2 X X X , n) r 并作出和n Sf(q)Axi .i =1记几=maxDx1Qx2 X X X Qxn *如果不论对a.b怎样分法*也不论在小区间xifXi上点 Xi怎样取法.只要当).t0时和S总趋于确定的极限I *这时我们称这个极限I为函数f(X)在 区间a . b上的定积分r记作a

9、f (x)dxjf(x)dx=lim0f()纠./rri 4其中f ( X)叫做被积函数 / ( x)dx叫做被积表达式叫做积分变量、a叫做积分下限 上 叫做 积分上限Ja、b叫做积分区间.定义 设函数f (X)在a*b上有界、用分点a=XovXicX2v x x x vXn_ivXn=b把 a、b分成 n 个小区间：xor xi J xi r X2 , x x x , Xnj, Xn.记 CxxXi二(i =1, 2 x x x m .任 X i 忘Xi亠 Xi ( i =1、2 x x x、n)、作和记Z=maxDi. Db 时、a f (x)dx=b f(X)dX .性质1函数的和(差)

10、的定积分等于它们的定积分的和(差)即bbbaf(x)g(x)dx = af(x)dxag(x)dx .证明：af(x)g(x)dx =liqZf&)g(q)&inn=1口 送 f(q)&iim 送 g(q)卫xAT?0 i 4i性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面即bbakf(x)dx=k a f(x)dx .这是因为性质积分之和即fkf (x)dx =烬艺 kf (：)& =kl密送 f (4)x1 =k ff (x)dx .3如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定f (x)dx = a f (x)dx + C f (x)dx .这个性质表明定积分对于积分区

11、间具有可加性.值得注意的是不论 a b C的相对位置如何总有等式ff (x)dx = jf (x)dx + C f(x)dx成立.例如，当abc时，由于af(x)dx= af(x)dx+bf(x)dx、于是有af (x)dx= a f(x)dx- jf (x)dx = jf (x)dx + C f(x)dx .所以性质性质推论4如果在区间a b上f ( x) o1则 aidx = fdx=b-a .5如果在区间a * b上f ( X)30 r则 af(x)dx30(ab).1 如果在区间a * b上f ( X) g(x)则 af(x)dxag(x)dx(a呦.这是因为g ( x) -f ( X

12、) 30、从而ag(x)dx-af(x)dx = ag(x)-f(x)dx曲、ff (x)dxag(x)dx .推论21 if（x）dxiiif（x）idx（ab）.这是因为 _| f ( x)| f ( x) | f ( x)|、所以bbba|f(x)|dx af(x)dxG|f (x)|dx、 lff(x)dxSb|f(x)|dx| .性质6 设M及m分别是函数f（x）在区间a r b上的最大值及最小值、则bm(ba)兰f(x)dxM(b-a)(ab),证明因为m f ( x) M、所以mdx a f(x)dx Mdx 、从而m(bT)ff(x)dxM(b-a).性质7 （定积分中值定理）

13、如果函数f （x）在闭区间a、b上连续r则在积分区间a、b上 至少存在一个点x 使下式成立：af(x)dx = f (ba).这个公式叫做积分中值公式 证明 由性质6m(b-a) ff (x)dxM(b-a)、各项除以b_a得mf f （x）dx M r再由连续函数的介值定理，在a、b上至少存在一点x 使于是两端乘以bv得中值公式ff(x)dx=f(b-a).积分中值公式的几何解释：应注意：不论ab、积分中值公式都成立.第二节微积分基本定理教学目的：使学生掌握变上限积分及其导数；使学生掌握牛顿一莱布尼兹公式（微积分基本定理，基本公式）一、变上限积分及其导数设函数f(x)在区间a、b上连续、并且

14、设x为a、b上的一点.我们肥函数f(x)在部分区间a r X上的定积分xaf(x)dx称为积分上限的函数.它是区间ab上的函数、记为(x)=ff(x)dx、或(X)af(t)dt .定理1如果函数f(X)在区间ab上连续 则函数(X) =af(x)dx在a、b上具有导数、并且它的导数为(X)吗 jXf(t)dt=f(x)(ax0、则同理可证(X) f(b)例1.(x)f (a)；若 x b、堰x0、则同理可证求下列函数的导数：X2y = sin(3t t )dt ;(2)03y = Jx tan(1 t )dt ;X3y = In(1+t)dt ;cosx 2(4)y 珥nxe dt。例2.计

15、算轨 f(X)dX ； ( 2)ddxd baf(t)dt ；(3) d0 .证明函数F(x)(t)dt f f(t)dt在(0 ,)内为单调增加函数.证明：dx-tf (t)dxf(x-dx f (t)df (x).故xf(x) 0 f (t)dt -f(X)(tf dtf(X)仏t) f(t)dt(f(t)dt)2x t) f ( t)0,所以(ff(t)dt)2按假设*当0 t x时f ( t)0 *(f(t)dt0、f(xT)f (t)dtA0、提示当x 0时t 1当时t0从而F(x)0 ( x0)、这就证明了F ( x)在(0、)内为单调增加函数.第三节定积分换元积分法与分部积分法教

16、学目的：使学生熟练掌握定积分换元积分法与分部积分法教学重点：定积分换元积分法一、换元积分法定理(1)假设函数f(x)在区间a、b上连续、函数x (t)满足条件：()a r (t)在.(或b ；.)上具有连续导数.且其值域不越出则有bEaf(x)dx=fW(t)(t)dt.这个公式叫做定积分的换元公式.证明由假设知/(x)在区间a、b上是连续、因而是可积的；f (或、)上也是连续的、因而是可积的.假设F(x)是f ( x)的一个原函数(t)(t)在区间、则a f (x)dxF(b)-F(a).另一方面r因为Ft(t)是f (t)(t)的一个原函数ff半(t)収(t)dtFt(F 、从而)-F()

17、(t) f (t)(t).所以 F(t)F(b) -F( a).因此1 计算 f Ja2 -x2dx (a0).0 Ja2 -x2dx 令 xRnt 辛 acost acostdt=a2 02 cos2 tdt =专 F (1 +cos2t)dt2-Ht中诃冷羽2提示Ja2 -x2 /a2 -a2 sin21 =a costdxa cos t0 当x a时t=例2计算一兀cos5xsin xdx .cos5 xsin xdx =-02 cos5 xd cosx令os J0t5dt = 0t5dt=6t60W -辽 55 cos5 xsin xdx =_ cos5 xd cosxHcos6 躺=

18、一1 cos6 -2 +1 cos6 0=6 .3 计算 rsin3x-sin5xdx .辽 J 辽 3f Jsin3x -sin5xdx= ( sin2 x|cosx|dxj 33=02 s in 2xcosxdx 叢 in 2xcosxdx2j 33=02 sin2xdsin x Jsin xd sinx24-sin2x2 -2sin 2 x養二2 -(2)丄4 r r5 5，5 , 3提示Tsin3 x-sin5x =Jsin3 x(1 -sin2x) =sin x|cosx|在0,今上 |cos x|cos x在专，兀上 |cos x| cos x例4计算04捺春dx .t2 _1解(

19、捺詁三q宁tdt幻(t2+3)dt弓申3+3朮冷(号枸“彳七沪乎-t2 d提示 x= dx tdt 当x 0时t 1 当x 4时t 3例5证明：若f ( X)在V * a上连续且为偶函数,则f_a f (x)d2 0 f (x)dx .证明 因为f(x)dx= I f(x)dx + f f(x)dx r0令 x=U0aatf(x)dxf(T)dt=0 f(T)dt = 0f(x)dx、所以 L f(x)dx = 0 f(域)dx +,0f(x)dx= 0fxrHf(x)d.aa2f(x)d2.(a f(x)dx .讨论若f(x)在、a上连续且为奇函数、问a f(x)dx=? 提示 若f(X)为

20、奇函数、则f (乂占(x)0、从而aaL f (x)dx= 0 f (/+f (xMdx.例6若f ( X)在0 J上连续r证明7171(1)02 f (sin x)dx= 02 f (cosx)dx ；(2)O&f (sin x)dxOf (sin x)dx ,证明(1)令X J -t则2 02f (sinx)dx=_Lfsin()dt2 2=f f sin(号-t)dt = 02 f (cosx)dx . 令X= -t r则0% (sinx)dx=-,0(兀-t) fsin(兀-t)dt=0% -t) fsin(兀t)dt = 0 -t) f (sint)dt=兀 0兀 f (si nt)

21、dt 0%f (si nt)dt0f (sinx)dx-fxf(sinx)dx、所以0xf (sinx)dx =2 r f (sinx)dx .例7设函数f(x)=xe2x30PcOsx TZ-计算 J4 f(x2)dx .解设X2n，则1 f(x2)dx = 1f(t)dt = LCOsidt+fte2dt4tan扯连节0血n1-2宀1提示 设X 2 t 则dx dt 当X 1时t 1 当X 4时t 2二、分部积分法设函数u(x)、v(x)在区间arb上具有连续导数 U(X)、v(x).由(uv)u v +u v 得 u v等式两端在区间a、b上积分得fuvdx quv? _fu vdx 或

22、 audv=uvb _fvdu .这就是定积分的分部积分公式 分部积分过程：fuvyx= fudv =uva fvdu =uva fu Vdx= 1例1计算 F arcsin xdx .12arcsin x1丄解 farcsinxdx xarcsinx?g兀一 61- 2JL*1 -d(1x2)12 20斤歹I ) 鼻+QT# =壬衣31 .12 0 12 2例2计算0e%x .e%x=2 ettdt=2 jtdet =2tet0-2etdt =2e牝叽=2 .3 设 In = fsinnxdx * 证明(1)n为正偶数时r I n 心3 1匹：nn2 4 2 2(2)n为大于1的正奇数时I

23、n1 n3 4 2n n n2 5 3证明.It.jTIn = 02sinnxdx =-02sinnxd cosx.jL .IE= -cosxsi nn4xo +cosxd si nx-It-jT=(n T)cos2 xs in 2xdx =(n 1)(sin xs in nx)dx_T_T=(n 1) O2 sin n-xdx-( nV)sin nxdx(n_1)l n_2j n_1)l1 -由此得InI2m2m _12m2m -3 2m -52m-2 2m442i2mI2m+=2m+1 2m1 2md 5 3而。誌-辽tt辽dx =号，h = fsinxdx =1因此I 2m2m1 =2m

24、2m -3 2m-5 3 1 兀2m2 2m才4 2 2 -证明由此得特别地因此I2m +2m2 2m* 4 22m +1 2m1 2m 七”5 3 -设InRsinnxdx（n为正整数）证明I 2m 1 ,2m 3 ,2m 5 ”,3 ,1 ”匹2m 2m 2m2 2m4 4 2 2|_ 2m 2m2 2m4 4 22m卅2mh 2m7 2m3 飞 3 In ups in nxdx =-02s in nxd cosx=-cosxsinnxlO2 +(n 1)cos2 xsinnxdx-TLc=(n 1) O2 (sinndx-sin nx)dx辽証=(n 1) O2 sin nd xdx (

25、n T) 2 sin nxdx(n 1) I n2 ( n1) I nn-J2Innd -I2m_2mT2m,2m 3 ,2m-5 3 ,1 i2m2 2m4 4 22m2 2m Y “4 2 I2m+1 2mT 2m3 5 3Io =02dx=2 I1 =02sinxdx=1 .I =2m 1 2m-3 2m 5 3 丄區 2m 2m 2m2 2mY 4 2 22m 2m=2 2m _4 4 22m/ 2m-3 5 3 课堂练习:01.求 U2x+I|dxO*1，求 r2 f(x)dx。1 ex a .如果极限biffgdx存在*则称此极限为函数f(x)在无穷区间a户)上的广义积分*记作 广

26、*(x)dx ,即a f(x)dx =f (x)dx .这时也称广义积分a f (x)dx收敛.如果上述极限不存在*函数f(x)在无穷区间a* + )上的广义积分a f(x)dx就没有意义 此 时称广义积分f (x)dx发散.类似地、设函数f(x)在区间 宀 b 上连续、如果极限(x)dx(a0）.0住edy 胆也严=-1 Me严p讣十沪-pt提示lim te =lim -Pf = lim pt-bceptT 乂 peP例3讨论广义积分a%dx（a0）的敛散性.a xP解当 P=1 时*dx = Fdx =lnx=P xx当p1时 Fpdx七丄x1T产上 a1-p因此、当p1时、此广义积分收敛

27、.其值为 V ；当P兰1时、此广义积分发散.PT二、无界函数的广义积分定义2设函数f（x）在区间（a、b上连续、而在点a的右邻域内无界.取0、如果极限lim.f f(x)dx存在、则称此极限为函数f（x）在（a、b上的广义积分、仍然记作ff（x）dx、即af (x)dx =严 J f (x)dx .这时也称广义积分a f （x）dx收敛.如果上述极限不存在、就称广义积分ff(x)dx发散.类似地、设函数f(x)在区间a、b)上连续、而在点b的左邻域内无界t再 a f (x)dx存在、则称此极限为函数f(x)在a、b)上的广义积分、仍然记作jbf(x)dxbtaf(x)dx=tl_ f(x)dx

28、 .a f (X)dx 发散.这时也称广义积分jf(x)dx收敛.如果上述极限不存在就称广义积分设函数f(x)在区间a、b上除点c(acb)外连续、而在点c的邻域内无界.如果两个广义积分f (x)dx 与 Cf(x)dx都收敛、则定义af(x)dx = af(x)dx + ff (x)dx .否则.就称广义积分 f f (x)dx发散.也称为瑕点 如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界 那么点a称为函数f(x)的瑕点 无界定义2 设函数f(x)在区间(a .b上连续、点a为f(x)的瑕点.函数f(x)在(a.b上的广义积分定 义为ff (x)dx = lif (x)dx .在广义积分的定义式

29、中r如果极限存在r则称此广义积分收敛；否则称此广义积分发散类似地函数f(x)在a*b)(b为瑕点)上的广义积分定义为f f (x)dx=Jim_a f (x)dx .函数f(x)在a、c)LXcb (c为瑕点)上的广义积分定义为a f (x)dx=tlim_a f(x)dx+tlim+f f (x)dx .广义积分的计算如果F(x)为f(x)的原函数 则有ff(x)dx =严J f(x)dx=tlimJF(x)f =F(b)jjm+F(t)=F(b)ximaf(X).可采用如下简记形式p(x)dxh(x)a =F(b)-再+F(x)类似地 有b.af(x)dx=F(x)a 交m_F(x)F(a

30、)当 a 为瑕点时jbf(x)dxmF(x)a=F(b)-lim f(x)当 b 为瑕点时jbf(x)dxmF(x)a=_F(x)_F(a)当c （acd ）为瑕点时ff(x)dx = ff(x)dx+ff(x)dx=lim F(x)-F(a)十F(b)-lim F(x)aacx jcx y 十例4计算广义积分衰于乂 TJa2 -X2解 因为lim .十 *所以点a为被积函数的瑕点.f jOdxWarcsin0门計0 硝-例5讨论广义积分J;存x的收敛性.解 函数 A在区间-1上除x=0外连续、且lim召mexT x2由于V寺dx斗x；=x驾丄巳仁乜即广义积分发散、所以广义积分 卡dx发散.例

31、6讨论广义积分f箱的敛散性-dx解当q=时 f芒讥=lb光尹（xa）a=说当 q1 时 f(xdam1(xa)1Ta=当 q1 时、(xa)q rn吉(x-a严股吉(b-a)f因此 当q0)上相应于日从0变到2兀的一段弧与极轴所围成的图形的面积.解: S曇(a0)2d0弓a23日3烬寺2宀例5.计算心形线(1丸OS日)(a0)所围成的图形的面积.解：S =2 f2a(1 +COS日2d 0 =a2 f(2 +2co +lcos)d0=a2|e+2sinQ+lsin2日?=詐2兀.二、体1.旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.这直线叫做旋转轴.常见的旋转体：

32、圆柱、圆锥、圆台、球体.旋转体都可以看作是由连续曲线y=f （x）、直线x=a、及x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体.设过区间a、b内点x且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V（X）、当平面左右平移dx后、体积的增量近似为二兀f （x）2dx、于是体积元素为2dV =町（X） dx、旋转体的体积为V =卜f(x)2dx .例1连接坐标原点0及点P（h J）的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形 .将它绕x 轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体.计算这圆锥体的体积.解：直角三角形斜边的直线方程为y=Lxh所求圆锥体的体积为V =rx)2dx例2.计算由椭圆2h 332 y2

33、筈+与=1所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体（旋转椭球体）的体积.a2b2解：这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆y =bJa2 -X2a及x轴围成的图形绕 x轴旋转而成的立体2dVy dx .于是所求旋转椭球体的体积为a .2.2V =丄兀吟2 -x2）dx 葺aa.体积元素为a2x-fx3笃=3 応b2 .例3 计算由摆线xF（t-sin t）ryF（1-cos t）的一拱，直线y=0所围成的图形分别绕 x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.解所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为Vx柜T2dx =兀(兀a2(1 cost)2 2(1cost)dt32 兀23=7ia 卩(1 一3cost +3

34、COS t -cos t)dt.设曲线左半边为X=Xi(y)、右半所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差边为X=X2(y).则2a 22a 2Vy = 0 7iX2(y)dy 0 J1X1 (y)dy=兀仃a2 (t-si nt)2 a sin tdt兀 f a2 (t-si nt)2 a si ntdt32 兀233=一阳 0 (tsint) sintdt=6兀 a .2 .平行截面面积为已知的立体的体积设立体在X轴的投影区间为a b.过点X且垂直于X轴的平面与立体相截、截面面积为A(x)、则体积元素为A(X)dX、立体的体积为V = fAgdx例4 一平面经过半径为 R的

35、圆柱体的底圆中心.并与底面交成角.计算这平面截圆柱所得立体的体积.解：取这平面与圆柱体的底面的交线为X轴底面上过圆中心、且垂直于X轴的直线为y轴.那么底圆的方程为 X22卡2.立体中过点X且垂直于X轴的截面是一个直角三角形.两个直角边分别为吐R2 -X2及Jr22-X tana .因而截面积为A(x) 冷侃2 -x2)tanot.于是所求的立体体积为V 七(R2A(x) =h 姑 hTR-X2-x2)tanodx =tanaR2x 1 x3 ReR3 tana .2 33h的正劈锥体的体积例5 .求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为解：取底圆所在的平面为 XOy平面*圆心为原点.并使X轴与正劈锥的顶平行.底圆的方程2 2 2为X +y爭.过X轴上的点X (-RxR)作垂直于X轴的平面.截正劈锥体得等腰三角形.这截面的面积为于是所求正劈锥体的体积为V = .hJR2hdx =2R2hfCOs2 由日二护R2三、平面曲线