初中中数学竞赛辅导资料

1、初中数学竞赛辅导资料(49)对称式甲内容提要1 .定义1 .在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对称式，简称对称式例如： 代数式 x+y , xy,x3+y 3+z3 3xyz,x5+y5+xy,x y y zxyz xyzz x 一. 者B是对称式.xyz其中x+y和xy叫做含两个变量的基本对称式.2 .在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z循环变换后代数式的值不变,则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.1111例如：代数式 a2(bc)+b2(c a)+c2(ab),2x2y+2y

2、2z+2z2x,a b c abc(xy+yz+zx ) (1 x1122, 2 .cab2-227222abc b c a都是轮换式.显然，对称式一定是轮换式，而轮换式不一定是对称式.2 .性质1 .含两个变量x和y的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍2 .对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式， 且系数相等.例如：在含x, y, z的齐二次对称多项式中，如果含有x2项，则必同时有 y2, z2两项；如含有 xy项，则必同时有 yz, zx两项,且它们的系数，都分别相等.故可以表示为：m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx

3、) 其中 m, n 是常数.3 .轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的 一切同型式，且系数相等.例如：轮换式 a3(b c)+b3(c a)+c3(ab)中，有因式ab一项，必有同型式bc和 c a两项.4 .两个对称式(轮换式)的和，差，积，商(除式不为零)，仍然是对称式(轮换式).例如： x+y, xy都是对称式，x+y + xy,(x+y) xy ,y等也都是对称式 .xy-111 1-' xy+yz+zx和一一一都是轮换式,xyz111一 F xy+yz+z ,xyz乙例题111)(xy+yz+z ).也都是轮换式xyz，一、1例 1.计

4、算：(xy+yz+zx )(x11、1) 一 xyz( -2y z x).111、 .一分析：( xy+yz+zx)()是关于x,y,z的轮换式，由性质 2,在乘法展开时，只xyz要用xy分别乘以1, 1, 1连同它的同型式一齐写下.x y z解：原式=(工x型)+ (z+x + y) +(y+z+x) - (-yz -zx+ y )zx y z=2x+2y+2z.例 2. 已知：a+b+c=0,1求代数式a2 b2abcw 0.b2分析：这是含a, b, c同型式.的轮换式,(1989年泉州市初二数学双基赛题)化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的解:1222a b ( a b)1

5、2ab111111.=2. 22. 22222. 2a b c b c a cab 2ab 2bc 2cac a b 八=0.2abc例 3. 计算：(a+b+c) 3分析：展开式是含字母a, b, c的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系数法例4. 解：设(a+b+c) 3= m(a3+b3+c3)+n(a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b)+pabc.(m, n, p是待定系数)令 a=1,b=0,c=0 .令 a=1,b=1,c=0令 a=1,b=1,c=1比较左右两边系数得比较左右两边系数得比较左右两边系数得m=1 ;2m+2n=8;3m+6n+p=27.m 1m

6、 1解方程组 2m 2n 8得n 33m 6n p 27 p 6(a+b+c) 3= a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2c+3b2a+3c2a+3c2b+6abc.例 5. 因式分解： a 利用对称式性质做乘法，直接写出结果：(x2y+y2z+z2x) (xy2+yz2+zx2) =(x+y+z ) ( x2+y 2+z2 xy yz zx) = 计算： ( x+y) 5.(b c)+b3(c a)+c3(a b)； ( x+y+z) 求( x+y) (y+z)(z+x)+xyz 除以 x+y+z 所得的商. 因式分解：ab(a b)+bc(b c)+ca(c a)；(x+y+z)

7、3 (x3+y 3+z3)；( ab+bc+ca) (a+b+c) abc；a(b c)3+b(c a)3+c(a b)3.(y+zx)5(z+xy)5(x+yz)5.解：.当 a=b 时，a3(b c)+b3(ca)+c3(ab)=0.，有因式a b及其同型式bc, c a. 原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式( a-b) (b-c)(c-a),可得一次齐次的轮换式a+b+c.用待定系数法：得 a3(b c)+b3(c a)+c3(a b) = m(a+b+c) (a b) (b c)(ca)比较左右两边a3b 的系数，得m= 1.a3(b c)+b3(c a)+c3(a b) = (

8、a+b+c) (ab) (bc)(ca). x=0 时，(x+y+z) 5(y+zx) 5( z+x_y)5_(x+y_z) 5= 0有因式x,以及它的同型式 y和z.原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式xyz,其商是二次齐次轮换式.用待定系数法：可设( x+y+z ) 5( y+z x) 5(z+x y) 5(x+y z) 5=xyz m(x+y+z)+n(xy+yz+zx).令 x=1,y=1,z=1 . 比较左右两边系数，得 80=m+n；令 x=1,y=1,z=2. 比较左右两边系数，得 480=6m+n.解方程组m n 806m n 480180 / 4800x+y z) 5= 80xyz(x+y+z).x+y+z ) 5(y+z x) 5(z+x y) 5(丙练习 491 .已知含字母x,y,z的轮换式的三项x3+x2y2xy2,试接着写完全代数式2 .已知有含字母a,b,c,d的八项轮换式的前二项是a3b(ab),试接着写完全代数式7.1已知：一 a求证：a,111.b c abc8.计算:b2ab acbcb2bc baca2cca cb abb, c三者中，至少有两个是互为相反数-1 ，、9 .已知：S= - (a+b+c)2求证:2 22224ab (a b c )