数列经典例题[裂项相消法]

1、v1.0可编辑可修改数列裂项相消求和的典型题型11 .已知等差数列an的前n项和为Sn,a5 5,S5 15,则数歹U的刖100项和为(anan 1A黑B .黑5黑D .黑 1011011001000在y轴上的截距.1.一一 一 . 9 2 .数列an ，其刖n项之和为 一，则在平面直角坐标系中，直线 (n 1)x y nn(n 1)10为()A. - 10 B . - 9 C . 10 D . 93 .等比数列an的各项均为正数，且 2al 3a2 1,a2 9a2a6.(I )求数列 an的通项公式；(11)设3 log3 al log3 a2log3an,求数列r的前 n项和.4 .正项

2、数列an满足 a； (2n 1)an 2n 0.(I )求数列 an的通项公式an ；.1 (n )令bn ，求数列bn的前n项和Tn .(n 1)an5.设等差数列an的前n项和为Sn ,且S44s2,a2n 2an 1 .11学习好帮手(I )求数列 an的通项公式;(D)设数列bn满足且旦a1 a2bn,1.*一 1 n-, n N，求bn的刖 n项和 Tn.an26.已知等差数列an满足：a3 7, a5 a726. an的前n项和为Sn .(I )求3及Sn ；1， 一 一*、 . . .一一 . . 一(n )令bn(n N ),求数列bn的前n项和Tn.an 11 97.在数列a

3、n中，a11,2an 1(1 -) an .n(I )求an的通项公式；.1( n )令bn an 1 an,求数列bn的刖n项和Sn ； 2(出)求数列an的前n项和Tn.8.已知等差数列an的前3项和为6,前8项和为-4.(I )求数列an的通项公式；(10 设 bn (4 an)qn1(q 0, n N *),求数列 回的前 n 项和 Sn .*29 .已知数列an满足ai 0色 2,且对 m,n N都有 a2m 1 a2n 1 2am n 1 2(m n) .(i )求 a3, a5; *(n)设bn a2n 1 a2n 1(n N ),证明：bn是等差数列；(出)设 cn (an 1

4、 an)qn1(q 0,n N *),求数列cn的前 n 项和 Sn .10 .已知数列an是一个公差大于 0的等差数列，且满足 a3a655,a2 a7 16 .(I )求数列an的通项公式；(n)数列J an和数列J bn满足等式an旦与与-bn(nN *),求数列bn的前n项和Sn.222211 .已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且Si,S2,S4成等比数列.求数列an的通项公式；人n 1 4n 一 _(2)令b2 ( 1)，求数列bn的前n项和Tn.anan 112.正项数列an的前n项和Sn满足：S： (n2 n 1)S0 (n2 n) 0.求数列an的通项公式an ；n

5、 1 *5(2)令bn 2-,数列bn的前n项和为Tn,证明：对于 n N ,都有Tn .(n 2) an64答案：1. A; 2. B3 .解：(I )设数列an的公比为 q,由 a32=9a2a6有 a32=9a42,，q2J. y由条件可知各项均为正数，故q=i.由 2ai+3a2=1 有 2ai+3a1q=1,ai=.1-(n)S含+bn n (n+1)-+.-+.如b2-2 (1 故数列a n的通项式为a=-2 (1-n n+1)+,+ (1-3 n n+1)=一的前n项和为- %4 .解：(I )由正项数列an满足： / - (2nT) an 2n=0, 0ri可有(an - 2n

6、) (an+1) =0an=2n.1- bn=-=J (工一一)，(口+D、2n(n+1)2 n n+1Tn= (1 -工-工+=门 22 23 n n+12n+12n+2数列b n的前n项和Tn为. 2n+25.解：(I )设等差数列an的首项为a1,公差为d,由S4=4S2, a2n=2an+1有:伊i押在8a+4d1+ (2n _ 1) d= 282 (n-1)解有 a1=1, d=2.一 *,.,nCN ,有:严当n>2时,L J.11二)工，n=1时符合. ril 1r1TL-n-, n C N2n*由(I)知，an=2n - 1, n C N .* n C N"+2

7、2232b - 3 2n - 1+6.解：(I )设等差数列a n的公差为d,泮2户一7.解：(I )由条件有. a 3=7 , a5+a?=26)f短2届7，有，Jai+lCId= 26解有 ai=3, d=2,a n=3+2 (n 1) =2n+1;2 ,&='口=n+2n；(n )由(I )知 an=2n+1,=:=-' - +1)之-1 In 31)4 n n+1.Tn=L( 一工J. _十J.L)(1 )=4 12卷 37n+1，4 'n+14 (n+1)即数列b n的前n项和Tn=一上r4 (n+1)rd-l 1 an,5VF，又 n=1 时,故数列

8、金构成首项为1,公式为之的等比数列. n工(n+1) 2 2 /(n)由bn二(n+1) 22 n2112n+l子有十型i2rls -A+2n- 1 2n+l2rl 2 向两式相减，有:Ac 2Sn"21212rd-lF1(m)由江2+03十一+0什1)有功，十日rrM /丁门一 /2 .Tn=2Sn+2a1- 2an+1=12 - n +4n+62 口7由已知有8 a1 +28< - 48 .解：(I )设an的公差为d,解有 ai=3, d= - 1故 an=3+ (nT) ( 1) =4n;n - 1(n )由(I )的解答有，bn=n? q , &=1? q0+

9、2? q1+3? q2+n? qn 11-2-3若qw1,将上式两边同乘以q,有 qSn=1? q +2? q +3? q + +n? q .上面两式相减，有(q-1) Sn=nqn- ( 1+q+q2+- +qn 1)=nqq11-1q- 1是Sn=nq* ("1)q'lQI) 2若 q=1,则 Sn=1+2+3+- +n=n (n+1)nq同一 (n+1) q'ls='(q-1) 29 .解：(I )由题意，令 m=2, n=1,可有 a3=2a? a+2=6再令 m=3, n=1,可有 a5=2a3 - a1+8=20 (n)当nCN时，由已知(以 n+

10、2代替 成 可有a2n+3+a?n-1=2a2n+1+8于是a 2 ( n+1) +1 a2 ( n+1)l ( a2n+1 - S2n - 1 ) =8即 bn+1 - bn=8 ，bn是公差为8的等差数列（m）由（1）（ n）解答可知bn是首项为b1=a3- a1=6,公差为8的等差数列则 bn=8n 2,即 a2n+1 a2n-1=8n 2另由已知（令m=D可有-2n+1=2n口c n -1是 Cn=2nq当 q=1 时，Sn=2+4+6+2n=n (n+1)当 qwi 时，&=2? q0+4? q1+6? q2+2n? qn 1两边同乘以q,可有qSn=2? q1+4? q2+

11、6? q3+2n? qn.上述两式相减，有(1-q) Sn=2 (1+q+q2+ - +qn 1) - 2nqn=2?2nqn=2?1- (n+1)Sn=2?nqM- (口十 i)(q- 1) 2rn (n+1)综上所述，Sn=(q- 1) 210 .解：（I）设等差数列an的公差为d,则依题意可知 d>0由a2+a7=16,有，2a1+7d=16D 由 a3a6=55,有(a1+2d) (a+5d) =552)由联立方程求，有d=2, a1=1/d=-2, a1= (排除).an=1+ (n - 1) ? 2=2n - 1匕(n )令 Cn=,贝U有 an=Cl+C2 + +册211a

12、n+1=Cl+C2+.+Cn+1两式相减，有an+i an=Cn+i,由(1)有 a1=1, an+1 - an=2 C n+1=2, 即 Cn=2 (n>2),即当n>2时,bn=2n+1,又当 n=1 时，b1=2a1=22, (n=l) b n=于是 Sn=b1+b2+b3+ - +bn=2+23+24+2 n+1=2n+2 6, n>2,.-2X1 一一 一11 .解 (1)因为 S=a1, S2= 2aH-2-x2 = 2a1+2,4X3&=4ad2-* 2 = 4a1 + 12,由题意得(2a1+2)2= &(4a+12),解得 a1=1,所以 a

13、n=2n1.(2) bn=(-1)n 1 4nn 14n=(-1)- anan+1(2 n- 1)(2 n+1)当n为偶数时，T=(1 +1) (：+!) + (- + -) -(- + -) = 1-'3，'3 5'2n3 2n-1 '2n1 2n+1，2n+12n2n+ 1.当n为奇数时,下=(1 +") -("+1)(tt + r-) +(t-+t-) = 1 +'3，'3 5'2n3 2n-1'2n1 2n+1，2n+12n+22n+ 1.2n+22n+ 1'所以Tn2n2n+ 1'n为奇数,n为偶数.(或 Tn=2n+1+ ( 1)2n+112 . (1)解 由 S2( n2+n1) S(n2+n) = 0,得&(n2+n)( &+1)=0,由于an是正项数列，所以 3+1>0.所以 &= n2+ n(n C N).n&g