不等式证明方法讲义

1、不等式的证明方法一、比较法1. 求证：x2 + 3 3x 证：(x2 + 3) - 3x = x2 + 3 3x2. 已知a, b, m都是正数，并且a b，求证： 证：a,b,m都是正数，并且a 0 , b - a 0 即： 变式：若a b，结果会怎样？若没有“a a2b3 + a3b2 证：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 ) = a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3)= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)a, b都是正数，a

2、+ b, a2 + ab + b2 0又a b，(a - b)2 0 (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) 0即：a5 + b5 a2b3 + a3b24. 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S，甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2，则： 可得：S, m, n都是正数，且m n，t1 - t2 0 即：t1 b 0时， 当b a 0时， （其余部分布置作业）二、综合法1综合法：利用某些已经

3、证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法2用综合法证明不等式的逻辑关系是：3综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法例1 已知a，b，c是不全相等的正数，求证：证明：2bc,a0,2abc 同理 2abc 2abc 因为a，b，c不全相等，所以2bc, 2ca, 2ab三式不能全取“=”号，从而、三式也不能全取“=”号例2 已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：证明：左右=2（ab+bcac）a，b，c成等比数列，又a，b，c都是正数，所以说

4、明：此题在证明过程中运用了比较法、基本不等式、等比中项性质，体现了综合法证明不等式的特点练习：1 设a, b, c R，1求证：2求证：3若a + b = 1, 求证：证：1 2同理：， 三式相加：3由幂平均不等式：2a , b, cR, 求证：1 2 3 证：1法一：, , 两式相乘即得法二：左边 3 + 2 + 2 + 2 = 92两式相乘即得3由上题： 即 三、分析法1分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法2用分析法证明不等

5、式的逻辑关系是：3分析法的思维特点是：执果索因4分析法的书写格式： 要证明命题B为真， 只需要证明命题为真，从而有 这只需要证明命题为真，从而又有 这只需要证明命题A为真而已知A为真，故命题B必为真例1 求证证明：因为都是正数，所以为了证明只需证明展开得 即 因为成立，所以成立即证明了说明：分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要证明命题B1为真，从而有这只需要证明命题B2为真，从而又有这只需要证明命题A为真而已知A为真，故B必真例2 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周

6、长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为，截面积为；周长为L的正方形边长为，截面积为所以本题只需证明证明：设截面的周长为L，依题意，截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为，所以本题只需证明为了证明上式成立，只需证明 两边同乘以正数，得因此，只需证明上式是成立的，所以这就证明了，通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大说明：对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综

7、合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的练习：1. 已知a,b,c,dR,求证:ac+bd分析一:用分析法证法一:(1)当ac+bd0时,显然成立(2)当ac+bd0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)即证a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即证2abcdb2c2+a2d2即证0(bc-ad)2因为a,b,c,dR,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:原不等式成立分析二:用综合法证法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2ab

8、cd+a2d2)=(ac+bd)2+(bc-ad)2(ac+bd)2|ac+bd|ac+bd故命题得证分析三:用比较法证法三:(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)20,(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2|ac+bd|ac+bd,即ac+bd2 选择题(1)若logab为整数,且logalogalogba2,那么下列四个结论中正确的个数是（ ）a2 logab+logba=0 0ab2且|x2|2 B|x1+x2|4 C|x1+x2|0,y0,且a成立,则a的最小值是（ ）ABC2D2答案:B(5)已知a,bR+,则下列各式中成立的是（ ）Acos2lga+s

9、in2lgblg(a+b)Cacos2bsin2=a+b Dacos2bsin2a+b答案:A(6)设a,bR+,且ab-a-b1,则有（ ）Aa+b2(+1) Ba+b+1 Ca+b(+1)2 Da+b2(+1)答案:A2用分析法证明:3(1+a2+a4)(1+a+a2)2证明:要证3(1+a2+a4)(1+a+a2)2只需证3(1+a2)2-a2(1+a+a2)2即证3(1+a2+a)(1+a2-a)(1+a+a2)21+a+a2=(a+)2+0只需证3(1+a2-a)1+a+a2展开得2-4a+2a20即2(1-a)20成立故3(1+a2+a4)(1+a+a2)2成立3用分析法证明:ab

10、+cd证明:当ab+cd0时,ab+cd16+2即24+2只需证(2)2(4+2)2即4这显然成立故成立(2)欲证(x4)只需证(x4)即证(x4)展开得2x-5+2即只需证22即证x2-5x+4x2-5x+6即40,2ca+b,求证:(1)c2ab（2）c-ac+证明:（1）ab()2c2abc2（2）欲证c-ac+只需证-a-c即|a-c|即a2-2ac+c2c2-ab只需证a(a+b)0,只要证a+b2c(已知)故原不等式成立6 已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0,有两个实数根,证明:(1)如果|2,|2,那么2|4+b且|b|4(2)如果2|4+b且|b|4,那么|2,|2证

11、明:依题设及一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)得:+=-a,=b则有:(1)(2)等价于证明|2,|22|+|4+,且| 0 , y 0，2x + y = 1，求证：证一： 即：证二：由x 0 , y 0，2x + y = 1，可设则例3 若，求证：证：设， 则例4 若x 1，y 1，求证： 证：设则例5已知：a 1, b 0 , a - b = 1，求证：证：a 1, b 0 , a - b = 1 不妨设 则, 0 sinq 0，则证：设则 （ 当a = 1时取“=” ）即 原式成立五、放缩法与反证法例1若a, b, c, dR+，求证：证明：（用放缩法）记m = a, b, c, d

12、R+ 1 m 2 时，求证：证明：（用放缩法）n 2 n 2时, 例3 求证： 证明：（用放缩法）例4 设0 a, b, c , (1 - b)c , (1 - c)a ,则三式相乘：(1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a 又0 a, b, c 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求证：a, b, c 0 证明：（用反证法）设a 0, bc 0, 则b + c -a 0ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0矛盾， 必有a 0同理可证 b 0, c 0练习1设x 0, y 0, ，求证：a b放缩法：2lg9lg11 b c, 则放缩法：5放缩法：左边6

13、放缩法：7已知a, b, c 0, 且a2 + b2 = c2，求证：an + bn 0, an + bn cn8设0 a, b, c 1, (2 - b)a1, (2 - c)b1,则(2 - a)c(2 - b)a(2 - c)b1 又因为设0 a, b, c 0，且x + y 2，则和中至少有一个小于2反证法：设2，2 x, y 0，可得x + y 2 与x + y 2矛盾六、构造法例1已知x 0，求证： 证明：（构造函数法）构造函数 ， 设2ab 由显然 2a 0, ab - 1 0, ab 0 上式 0f (x)在上单调递增，左边例2 求证： 证明：（构造函数法）设 则令 3t1 0

14、，则 即b, c是二次方程的两个实根 a2例3 求证： 证明：（构造方程法）设 ，则(y - 1)tan2q + (y + 1)tanq + (y - 1) = 0当 y = 1时，命题显然成立当 y 1时，= (y + 1)2 - 4(y - 1)2 = (3y - 1)(y - 3)0，综上所述，原不等式成立（此法也称判别式法） 例5 已知0 a 1，0 b 1，求证：证明：（构造图形法）构造单位正方形，O是正方形内一点O到AD, AB的距离为a, b，则|AO| + |BO| + |CO| + |DO|AC| + |BD|其中， 又 练习1（构造函数法）令，则 (y - 1)x2 + (y + 1)x + (y - 1) = 0用法，分情况讨论2已知关于x的不等式(a2 - 1)x2 - (a - 1)x - 1 0, y 0, x + y = 1，则（构造函数法）左边