29.中考数学专题复习圆中有关切线的计算与证明解答题专练尖子生同步培优题典(解析版)

1、专题2.9圆中有关切线的计算与证明解答题专练姓名： 班级： 得分：注意事项：答卷前，考生务必用 0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一.解答题(共20小题)1 . (2019秋？金坛区期中)已知 AB是。的直径，AT是。的切线，/ ABT=40° , BT交。于点C, E 是AB上一点，延长 CE交。于点D.图I圉2(1)如图1,求/ T和/ CDB的度数；(2)如图2,当BE=BC时，求/ CDO的度数.【分析】(1)根据切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，得/ TAB=90° ,根据三角形内角和得/T的度数，由直径所对的圆周角是直角和

2、同弧所对的圆周角相等得/CDB的度数；(2)如图，连接AD,根据等边对等角得：/BCE = / BEC = 70° ,利用同圆的半径相等知： OA=OD, 同理/ ODA = /OAD=70° ,由此可得结论.【解析】(1)如图，连接AC,.AT是。切线，AB是。的直径， ATXAB,即/ TAB=90° , . /ABT=40° , ./ T=90° - / ABT =50° ,由AB是。的直径，得/ ACB=90° , .Z CAB =90° - Z ABC = 50° , ./ CDB = Z CA

3、B = 50 ° ;(2)如图，连接AD,在 BCE 中，BE=BC, /EBC=40° , ./ BCE = Z BEC =70BAD = Z BCD =70 ° , .OA = OD,/ ODA = / OAD = 70° , . / ADC = / ABC = 40 ° , ./CDO =/ODA / ADC = 70° 40° =30°2. (2019秋？睢宁县期中)如图，在 0O中，PA是直径，PC是弦，PH平分/ APB且与。O交于点H,过H作HB，PC交PC的延长线于点 B .(1)求证：HB是。的切

4、线；(2)若 HB = 4, BC = 2,求。的直径.【分析】(1)连接OH,由题意可得/ OHP = Z HPA=Z HPB,可证OH/ BP,则可得OH，BH,根据切 线的判定可证 HB是。的切线；(2)过点O作OELPC,垂足为E,可证四边形 EOHB是矩形，可得 OE=BH = 4, OH=BE,再根据 勾股定理可求 OP的长，即可求。的直径.【解答】证明：(1)如图，连接OH, PH 平分/ APB,HPA=Z HPB , .OP = OH, ./ OHP =/ HPA, ./ HPB = Z OHP ,OH / BP,BP± BH, OHXBH,HB是。O的切线；(2)

5、如图，过点O作OEPC,垂足为巳 OEXPC, OH ± BH , BPXBH ,，四边形EOHB是矩形，OE = BH = 4, OH = BE,.CE=OH-2, .OEXPCPE= EC=OH - 2=OP-2,在 RtAPOE 中，OP2=PE2+OE2,OP2= (OP-2) 2+16OP = 5,AP= 20P = 10,，OO的直径是10.3. （2019秋？泗阳县期中）如图，CD是。O的切线，切点为 E, AC、BD分别与。相切于点A、B.如果CD= 6, AC=4,求 DB 的长.【分析】由于 CD、AC、BD是。O的切线，则可得 AC=CE, ED = DB ,由

6、已知数据易求 DE的长，进而可求出DB的长.【解析】CD切。O点E, AC切切OO点A.CE= AC= 4,ED = CD - CE = 2,CD 切。O 点 E, BD 切。O 点 B.BD = ED=2.4. （2019秋？扬州期中）如图，点 D为。上一点，点C在直径AB的延长线上，且/ CDB=/CAD,过点A作。的切线，交 CD的延长线于点 E.判定直线CD与。的位置关系，并说明你的理由；【分析】连接 OD,根据圆周角定理求出/ DAB+/DBA = 90° ,求出/ CDB+ZBDO = 90° ,根据切线的判定推出即可；【解答】（1）证明：连接OD,12 / 2

7、7 .OD = OB, ./ DBA = Z BDO,AB是。O的直径，/ADB=90° , ./ DAB+Z DBA= 90° , / CDB = / CAD, ./ CDB+Z BDO = 90° ,即 ODXCE, D为。O的一点， 直线CD是。O的切线；5. (2019秋？兴化市期中)如图，AB是。的直径，F是。上一点，连接 FO、FB. C为黄?中点，过点C 作CDLAB,垂足为 D, CD交FB于点E, CG / FB,交AB的延长线于点 G.(1)求证：CG是。的切线；(2)若/ BOF= 120° ,且 CE=4,求。O 的半径.【分析】

8、(1)连接OC.由点C为？?渤中点，得到？?= ?求得/ COB = /COF,根据平行线的性质得到/ OCG = /OMB=90° ,于是得到 CG是。的切线；1(2)连接BC.由(1)知，/ COB = /COF= 2/BOF = 60 ,推出 OBC为等边二角形.得到/ OCD= 30° ,则EM= 1CE=2,根据勾股定理得到 CM=，？?？ ？?？ = 2V3,求得OM = CM= 2v3,于是得到结论.【解答】（1）证明：连接 OC. .点C为？?？中点，.? ? ./ COB = Z COF, .OB = OF, OCXBF,设垂足为M,则/ OMB = 90

9、° ,. CG / FB, ./ OCG =/ OMB = 90° , .CG是。O的切线；（2）解：连接 BC.由（1）知，/ COB=Z COF= 1/BOF = 60° , OB = OC, .OBC为等边三角形.1 . /OCD=30 ,则 EM= 2-CE=2, CM=，?？ ？?？= 2V3,.OM = CM= 2V3',.-，OC = 4v3',即。的半径为40.6. (2019秋？镇江期中)在矩形 ABCD中，AB=5cm, BC=10cm,点P从点A出发，沿 AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点 Q从点B出发沿BC边向点C以

10、每秒2cm的速度移动，P、Q两点在分别到达B、C两点时就停止移动，设两点移动的时间为秒，解答下列问题：(1)如图1,当t为几秒时， PBQ的面积等于4cm2?(2)如图2,以Q为圆心，PQ为半径作OQ.在运动过程中，是否存在这样的t值，使。Q正好与四边t值；若不存在，请说明理由.形DPQC的一边(或边所在的直线)相切？若存在，求出【分析】(1)由题意可知PA=t, BQ=2t,从而得到PB=6-t, BQ=2t,然后根据 PQB的面积=4cm _ . 一( 5 t)?2t= 4. 解得：t1=1, t2=4.答：当t为1秒或4秒时， PBQ的面积等于4cm2;(2) (I)由题意可知圆 Q与A

11、B、BC不相切.(II)如图1所示：当t=0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合.列方程求解即可;(2)当t=0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，此时圆 Q与PD相切；当OQ正好与四边形DPQC的DC边相切时，由圆的性质可知QC=QP,然后依据勾股定理列方程求解即可;【解析】(1)二.当运动时间为t秒时，PA=t, BQ=2t,PB= 5-t, BQ=2t.PBQ的面积等于4cm2,1 c -1，、c-PB?BQ= 1 (5-t)?2t.22 ./ DPQ = 90° DPXPQ.DP为圆Q的切线.DPQC的DC边相切时，如图2所示.由题意可知：PB = 5- t, BQ = 2

12、t, PQ=CQ=102t.在 RtAPQB 中，由勾股定理可知：PQ2 = PB2+QB2,即(5-t) 2+ (2t) 2= (10-2t) 2解得：ti= - 15+10v3, t2= - 15-10v3 (舍去).综上所述可知当t= 0或t= - 15+103时，OQ与四边形DPQC的一边相切.7.（2019秋？玄武区期中）如图，在 ？ABCD中，AD是。的弦，BC是。的切线，切点为B.（1）求证：？= ?由已知条件易证 OE，AD,由垂径定理进而可证明（2）设。O的半径为r,则OE=r- 3,在RtAABE中，/ OEA=90° ,由勾股定理可得:?= ?oe2+ae2=O

13、A2即（r-3） 2+42= r2,解方程即可求出圆的半径r.【解析】（1）证明:连接OB,交AD于点E.BC是。的切线，切点为 B, OBXBC, ./ OBC= 90° ,四边形ABCD是平行四边形, .AD / BC,OED = / OBC = 90° , OEXAD,.蓟？2 的？?, , )(2) - OE± BC, OE 过圆心 O. AE= 1AD =4,在 RtABE 中，/AEB=90° , .BEW - 42 =3,设。的半径为r,则OE=r-3在 RtAABE 中，/ OEA = 90° , oe2+ae2= oa2即(r

14、 3) 2+42= r2,一 ，一25OO的半径为一.CED = / CAB .ABCD内接于OO, / DAB = 90°，点E在BC的延长线上，且/(1)求证：DE是。的切线.(2)若 AC / DE,当 AB = 8, DC = 4 时，求 BD 的长.【分析】(1)先判断出BD是圆O的直径，再判断出 BDXDE,即可得出结论；(2)先判断出 ACLBD,进而求出 BC=AB = 8,再用勾股定理求出 BD,最后判断出 CFDA BCD,即可得出结论.【解析】(1)如图，连接 BD,/ BAD = 90° ,点O必在BD上，即：BD是直径， ./ BCD = 90&#

15、176; , ./ DEC+Z CDE = 90° , . / DEC = / BAC, ./ BAC+Z CDE= 90° , . / BAC = Z BDC, ./ BDC+Z CDE = 90° , ./ BDE= 90° ,即：BDXDE, 点D在。O上，DE是。O的切线；(2) DE / AC, . / BDE= 90° , ./ BFC = 90 ° ,1 .CB=AB=8, AF = CF = AC,在 RtABCD 中，BD=，？ ?2? = 4V59. (2019秋？玄武区期中)如图，在 RtABC中，/ ACB =

16、 90° ,以斜边 AB上的中线 CD为直径作O O, 与AC、BC分别交于点 M、N,与AB的另一个交点为 E,过点N作NFLAB,垂足为F.(1)求证：NF是。的切线；(2)若 NF = 2, DF =1 ,求弦 ED 的长.【分析】(1)欲证明NF为。的切线，只要证明 ONLNF.(2)证明四边形 ONFH是矩形，由勾股定理即可解决问题.【解答】(1)证明：连接 ON.如图所示： 在RtAACB中，CD是边AB的中线，CD = BD, ./ DCB = Z B, .OC = ON, ./ ONC = Z DCB, ./ ONC = Z B,ON / ABNF± AB

17、./ NFB = 90° ./ ONF = Z NFB = 90° , ONXNF又二 NF过半径ON的外端NF是。O的切线；(2)解：过点O作OH LED,垂足为H,如图2所示：设。O的半径为r OHXED, NFXAB, ONXNF, ./OHD =/NFH =/ ONF = 90° . 四边形ONFH为矩形.-.HF=ON=r, OH = NF = 2,HD = HF - DF = r - 1,在 RtAOHD 中，/ OHD = 90°.OH2+HD2=OD2,即 22+ (r 1) 2=r2,r=52-HD =2'30 / 27 OH

18、LED,且 OH 过圆心 O,HE = HD,ED = 2HD = 3.10CBAB.（2019秋？江阴市期中）如图,AB是。的直径，点 C在AB的延长线上，AD平分/ CAE交。于点D,且AEXCD,垂足为点 E,BC=3, CD= 3v2（1）求证：直线CE是。的切线;【分析】（1）连结OD,如图，由 AD平分/ EAC得到/ 1 = /3,加上/ 1 = 72,则/ 3=7 2,于是可判断OD / AE,根据平行线的性质得 ODLCE,然后根据切线的判定定理得到结论;【解答】（1）证明：连接 OD,如图,. AD 平分/ EAC,Z 1 = Z 3,.OA = OD,1 = Z 2, /

19、 3=Z 2,OD / AE,AE± DC, ODXCE,.CE是。的切线;11 . （2019春？建湖县期中）如图，点 D为。O上一点，点 C在直径 AB的延长线上，且/ COD = 2/BDC,过点A作。O的切线，交CD的延长线于点 E.（1）判定直线CD与。O的位置关系，并说明你的理由；E.【分析】（1）连接 OD,根据圆周角定理求出/ DAB + /DBA = 90° ,求出/ CDB + ZBDO = 90° ,根据切线的判定推出即可；【解答】（1）证明：连接OD, .OD = OB, ./ DBA = Z BDO,AB是。O的直径,，/ADB=90&#

20、176; , ./ DAB+Z DBA= 90° , / CDB = / CAD, ./ CDB+Z BDO = 90° ,即 ODCE, D为。O的一点，12. (2019春？宿豫区期中)已知，。是 ABC的外接圆，/ CAD = /ABC.(1)如图1,试判断直线 AD与。O的位置关系，并说明理由；(2)如图2,将直线AD沿直线AC翻折后交。于点E,连接OA、OE、CE,若/ ABC=30° ,求证: 四边形ACEO是菱形.【分析】(1)作直径 AP,连接CP,根据圆周角定理得到/ CAD = /APC, ZACP=90° ,求得/ DAP= 90&

21、#176; , AD LAP,根据切线的判定定理即可得到结论；(2)连接 OC,根据圆周角定理得到/ CAE = Z CAD=Z ABC = 30° ,得到/ AOC = 2/ABC=60° , /COE = 2Z CAE = 60° ,推出 AOC、 COE都是等边三角形， 得到OA = AC=CE=EO,于是得到结论.【解析】(1)直线AD与。O相切，理由：作直径AP,连接CP, . Z APC = Z ABC, /CAD = /ABC,CAD = Z APC,AP是。O的直径，/ACP=90° , ./CAP+/APC = 90° , .

22、/ CAP+Z CAD= 90° ,即/ DAP = 90 ° , ADXAP, 直线AD与。O相切；(2)证明：连接OC, . Z ABC =30 ° , ./CAE = / CAD = /ABC=30° , ./AOC= 2/ABC= 60° , / COE =2/CAE =60° , . OA = OC, OC=OE, .AOC、 COE都是等边三角形，OA = AC = CO, OC = CE=EO,.OA = AC = CE=EO,，四边形ACEO是菱形.13. （2019秋？锡山区期中）如图，已知直角 ABC, Z C =

23、 90° , BC=3, AC= 4. OC的半径长为 1,已知点P是 ABC边上一动点（可以与顶点重合）.（1）若点P到。C的切线长为v3,则AP的长度为_2v5或2 ;（2）若点P到。C的切线长为m,求点P的位置有几个？（直接写出结果）【分析】（1）由题意切线长为v3,半径为1,可得PC=2,所以点P只能在边BC或边AC上.分两种情形分别求解即可；（2）首先求出三个特殊位置时切线的长，结合图形即可判断；【解析】（1）由题意切线长为v3,半径为1,可得PC=2,所以点P只能在边BC或边AC上.如图1中，连接PA.在 RHPAC 中，PA=，？2 ?=，42 + 22 = 2v5.如

24、图 2 中，PA= AC= PC = 4- 2=2,综上所述，满足条件的 PA的长为2遥或2.故答案为2v5或2.图3图4图5如图3中，当CPLAB时.易知CP =?12?此时切线长PE=，？ ？?= 2m,5 '如图4中,当点P与点B重合时，切线长PE=，？ ？?=2班,如图5中,当点P与点A重合时，切线长PE=V7? ?= VT5-, ，119 , 一.、一.一 观察图形可知：当0Vm<F时，点P的位置有2个位置;当m= 萼时，点P的位置有3个位置;5,川9=当Vmv 2V时，点 P的位置有4个位置;5当m=2v2时，点P的位置有3个位置；当227V mv15时，点P的位置有

25、2个位置;当m= vl5时，点P的位置有1个位置.14.（2019秋？灌云县期中）如图， AB为。的直径，AC为。的弦，AD平分/BAC,交。O于点D, DEXAC,交AC的延长线于点 E.（1）求证：直线DE是。的切线;5,求DE的长.【分析】（1）连接OD,由角平分线和等腰三角形的性质得出/ODA = EAD,证出EA / OD ,再由已知条件得出DEOD,即可得出结论.(2)作 DFLAB,垂足为 F,由 AAS 证明EADFAD,得出 AF = AE=8, DF = DE,求出 OF = 3, 由勾股定理得出 DF,即可得出结果.【解答】(1)证明：连接 OD,如图1所示： AD 平分

26、/ BAC, ./ EAD = Z OAD, .OA = OD,/ ODA = / OAD , ./ ODA = EAD,EA/ OD, DE LEA, DEXOD, 点D在。O上， 直线DE与。O相切.(2)作DFAB,垂足为F,如图2所示: ./ DFA=Z DEA = 90° ,在 EAD和 FAD中， / ?/ ?/ ?/ ?= ?EADA FAD (AAS),AF= AE=8, DF = DE, -，OA = OD=5,.OF=3,在 RtADOF 中，DF=，?2 ?= - 32 =4,DE = DF = 4.图115(2019秋？建邺区期末)如图，在 ABC中，/ AB

27、C = 60° , OO是 ABC的外接圆，P为CO的延长线上一点，且 AP = AC.(1)求证：AP是。的切线；(2)若PB为。的切线，求证： ABC是等边三角形.【分析】(1)连接OA,由圆心角等于 2倍的圆周角得出/ AOC=120° ,由OA=OC,得出/ OAC=Z 1OCA= 2 (180 / AOC) = 30 ,由AP = AC,推出/ APC=/ACP=30 ,由二角形内角和定理得出/PAC=120° ,则/ PAO = Z PAC-Z OAC=90° ,即可得出结论；(2)连接OB,由切线的性质得出 PA=PB,由OA=OB,得出P

28、O是AB的垂直平分线，则 CB=CA, 由又/ABC=60° ,即可得出结论.【解答】证明：(1)连接OA,如图1所示： . Z ABC=60° , ./ AOC= 120° , .OA = OC, ./ OAC = Z OCA= 1 (180° - / AOC) = 2 X (180° - 120° ) = 30° ,AP= AC, ./ APC = / ACP=30° ,，/PAC=180° 30° 30° =120° , .Z PAO=Z PAC-Z OAC=120&#

29、176; -30° =90° , APXOA,又 OA是。的半径， . AP是。O的切线；(2)连接OB,如图2所示：.AP、PB为。的切线，PA= PB, .OA = OB,PO是AB的垂直平分线，.CB=CA, . /ABC=60° ,.ABC是等边三角形.P 5P口图116. （2019秋？大名县期中）已知， ABC中，/ ACB=90° , AC=BC=8,点A在半彳仝为5的。上，点O在直线l上.(1)如图，若。经过点C,交BC于点D,求CD的长.(2)在(1)的条件下，若 BC边交l于点E, OE = 2",求BE的长.(3 )如图，

30、若直线l还经过点C , BC是。O 的切线，F为切点，则CF的长为4【分析】(1)由圆周角定理可得AD是直径，根据勾股定理可求 CD的长;(2)过点。作OF LCD,垂足为F,根据垂径定理可得 CF = DF = 3,根据中位线定理可得 OF = 4,根据勾股定理可求EF的长，即可求BE的长;(3)连接OF, OA,过点。作OELAC于点E,可证四边形 OECF是矩形，可得 CF = OE, FO = CE = 5,由勾股定理可求 AE的长，即可求 CF的长.【解析】(1)如图：连接AD,/ACB=90° ,AD是直径 .AD = 10在 RtAACD 中，CD=，?2 . ? 2

31、= M00 - 64 =6(2)如图：过点O作OF LCD,垂足为FC.OFXCDCF= DF = 3,且 AO = DOOF= 1aC=4在 RtAOFE 中，EF= V?2- ? 2 =68 - 16 = 2通 BE= BC- CF - EFBE=8-3-2v3=5-2v3(3)如图：连接 OF, OA,过点O作OEAC于点E,.BC是。O的切线OFXBC, ./BFO = / ACB=90° , OEXCE,四边形OECF是矩形.CF=OE, FO = CE=5,AE= AC - CE = 3在 RtAAEO 中，OE= V?2 - ? 2 =4, CF= 4故答案为：417.

32、 (2019秋？东台市期中)如图， AB为。的直径，C为。上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂 足D, AD交。O于点E.(1)求证：AC平分/DAB.(2)连接CE,若CE = 6, AC=8,求出OO的直径的长.D【分析】（1）连接OC,根据切线的性质和已知求出 OC/ AD,求出/ OCA = /CAO = / DAC ,即可得出答案；（2）根据圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系求出CE=BC=6,根据勾股定理求出 AB即可.【解答】（1）证明：连接OC,.CD是。O的切线， CDXOC,又 CDXAD,AD / OC, ./ CAD = Z ACO, .OA = OC, ./ CA

33、O = Z ACO, ./ CAD = Z CAO,即AC平分/ DAB ;(2)解：. / CAD =/ CAO,?=外？? , , , ,CE= BC=6,AB为直径，/ACB=90° ,由勾股定理得：AB=，？笆+ ?= V82 + 62 = 10,即。O直径的长是10.18.（2019秋？锡山区期中）如图， ABC中，AB=AC,以AB为直径的。与BC相交于点 D,与CA的延长线相交于点 E,过点D作DF XAC于点F .?.,(2)若AC=3AE,求一的值.?（1）试说明DF是。的切线;【分析】（1）连接OD,根据等边对等角性质和平行线的判定和性质证得ODLDF,从而证得DF是。O的切线;（2）根据圆周角定理、勾股定理得出一一.一，？，BE=2v2AE, CE = 4AE,然后在 RTA BEC中可求一的值. ?【解答】（1）证明：连接OD, .OB = OD, ./ B=Z ODB, AB= AC, ./ B=Z C, ./ ODB =/ C, .OD / AC,DF ±AC, ODXDF,DF是。O的切线;(2)解：连接BE, , AB是直径,，/AEB=90° , AB= AC, AC = 3AE , .AB=3AE, CE = 4AE