吉林省吉林市2020届高三数学第三次调研测试(4月)试题理

1、吉林省吉林市2020届高三数学第三次调研测试（4月）试题理本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。注意事项：1 .答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2 .选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案的标号；非选择题答案必须使用 笔迹清楚。3 .请按照题号在各题的答题区域无效。4.5.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。保持卡

2、面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。、选择题:本大题共12题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求。1.已知集合A-1,0,1,2,B x|ylg(12.3.4.5.A. 2已知复数A. 12C. 12已知向量A.已知A.C.z满足1 .i21 .i2.3,1),B. 1,0b (3, .3)C.B.D.m,n为两条不重合直线,m / n,m ,nm n,m II ,n II112121.i21 .i2D.1,0,1,则向量b在向量a方向上的投影为C. 1D.为两个不重合平面，下列条件中,B. m / n,mD. m n,m一个

3、几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为的充分条件,n,n侧视图正视图6.7.8.9.10.11.A.C.函数A.已知10 T83f(x) cos(2xB.D.)的对称轴不可能为B. x 一3f(x)为定义在R上的奇函数，且满足f(x) 2x2,则 f(3)A. 18已知数列A.1318椭圆C.f (xx 64) f(x)；xD. x 3 (0,2)时，B.18C.D.A.150已知A.an为等比数列,廿一右a6a7a826,且 as a936,a7a8B.史或生1836C.139D.1362y21的焦点为/ 0.2a (2) ,bB.F1,F2135log1 0.2,c2赵爽是我国古代数

4、学家、介绍了 “勾股圆方图”，点P在椭圆上，若| PF2 |C. 120ab,则a,b,c的大小关系是B. c a b天文学家，大约公元又称“赵爽弦图”C. a c b2,D.D.F1PF2的大/、为90222年，赵爽为周髀算经 (以弦为边长得到的正方形是由b c a一书作序时，4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图如1),类比“赵爽弦图”，可类似地构造图(2)所示的图形，它是由 6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F 为2F A ,若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率A.2 1313B.当13C.27722x y 12 .已知

5、Fi,F2分别为双曲线C：2 yY 1的左、右焦点，点 P是其一条渐近线上一点， a b且以F1F2为直径的圆经过点 P ,若 PF1F2的面积为 裂3 b2 ,则双曲线的离心率为 1 21 23A. , 3B. 2C. , 5D. 3二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13 .二项式(2 x)5的展开式中x3的系数为(用数字作答) .14 .已知两圆相交于两点 A(a,3), B( 1,1),若两圆圆心都在直线 x y b 0上，则a b的值是.15 .若点P(cos ,sin )在直线y 2x上，则cos(2)的侑等干216 .已知数列aj的前n

6、项和Sn1an且a1 1,设f(x) ex e2 x 1 ,则44f(log2a1) f(log2a2) LL f (log2a7)的值等于.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17： 21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60分17. (12 分)在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 Qa b(sin C J3cosC).(1)求角B的大小；(2)若A , D为 ABC外一点，DB 2,CD 1,求四边形ABDC面积的最大值. 318. (12 分)在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊

7、时期， 我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学 生线上学习。某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取 45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足 120分的占-8 ,统计成绩后得到如下 2 213列联表：分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于 5小时419线上学习时间不足5小时合计45(1)请完成上面2 2列联表；并判断是否有 99%勺把握认为“高三学生的数学成绩与学 生线上学习时间有关”；(2) ( I )按照分层抽样的方法， 在上述样本中从分数不少于 12

8、0分和分数不足120分的 两组学生中抽取 9名学生，设抽到不足 120分且每周线上学习时间不足 5小时的人数是 X, 求X的分布列(概率用组合数算式表示) ；(n)若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.(下面的临界值表供参考)2P(K2 k。)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式K2n(ad bc)2其中n(a b)(c d)(a c)(b d)1如图所不，在四棱锥 P ABCD中，AB / CD

9、, AD AB -CD, DAB 60，点 2E,F分别为CD, AP的中点.(1)证明：(2)若 PAPC / 面 BEF ;PD ,且 PA PD ,面 PAD面ABCD ,求二面角F BE A的余弦20.(12 分)已知倾斜角为的直线经过抛物线C : x242py(p 0)的焦点F ,与抛物线C相交于值.A、(2)设P为抛物线C上任意一点(异于顶点),过P做倾斜角互补的两条直线11、12,B两点，且|AB| 8.(1)求抛物线C的方程;交抛物线C于另两点C、D ,记抛物线C在点P的切线1的倾斜角为 ，直线CD的倾斜角 为，求证： 与互补.21. (12 分)已知函数 f(x) 1n x

10、ax2 (a b 1)x b 1(a,b R).(1)若a 0 ,试讨论f (x)的单调性；(2)若0 a 2,b 1 ,实数x1,x2为方程f(x) m ax2的两不等实根,、11八求证：一一 4 2aXix2(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 题计分。22. （10 分）在直角坐标系xOy中， 曲线C1的参数方程为x J3cos (为参数)，以原点O为极y sin点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为sin( ) 2.6(1)求曲线C1的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程；(2)设A,B为曲线Ci上位于第一，二象限的

11、两个动点， 且 AOB 万，射线OA,OB交 曲线C2分别于D,C ,求 AOB面积的最小值，并求此时四边形ABCD的面积.23. (10 分)1 . .1 .1已知a,b,c均为正实数，函数 f(x) | x | | x |2的最小值为1.ab 4c证明：(1)(2)2, 22a b 4c 9 ；111, 1 .ab 2bc 2ac吉林市普通中学 20192020学年度高中毕业班第三次调研测试理科数学参考答案与评分标准、选择题123456789101112BBADADCACBDB13. - 40;14. -1; 15.4一;16. 75二、填空题三、解答题17.解：(1) Q Jab(sin

12、C J3cosC),由正弦定理得：、3sin Asin B(sin C 、3cosC)、3sin(BC) sin Bsin C 、.3sinBcosC,3cosBsin C sin Bsin CQsinC0, J3cosB sin B 即 tan B 33Q B (0,),-6分(2)在 VBCD 中，BD 2,CD 1BC21222 2cosD5 4cos D又 SvBDCSabcd,则VABC为等边1 .BD DC sin D25-3 sin D . 3 cos D410Sv ABC1 一BC22sin 35.34一 3 cos D18.解:(1)5、32sin( D45时，四边形ABCD

13、的面积取最大值，最大值为 612分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于 5小时15419线上学习时间不足5小时101626合计2520453分2 45(15 16 10 4)2QK2(- 7.29 6.63525 20 19 26有99%的把握认为“高学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”20(2) (I)由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取9 4人45X的可能取值为0, 1,2,3,4.P(X 0)C：C2o,P(X 1)C3c116C40,P(X 2)C2MC20C1C3P(X 3)"6C20P(X 4)c：。8(II )从全校不少于120分的学生中随机

14、抽取1人此人每周上线时间不少于155 小时的概率为 15250.610设从全校不少于120分的学生中随机抽取分20人，这些人中每周线上学习时间不少于则 Y : B(20,0.6)E(Y)19.解"200.6 12,D(Y) 20 0.6(1 0.6) 4.812(1)证明:连接AC交BE于H ,连接FHQ ABCE,HAB HCE, BHACHAABH 且 CEHAH CH FH PPCFBEQFH 面 FBE,PC 面 FBEPC P4 分(2)取 AD 中点。，连 PO , OB.由 PA PD , PO ADQ 面 PAD 面 ABCDPO 面 ABCD,又由 DAB 60&#

15、176;, AD ABOB AD以 OA,OB,OP 分别为 X,Y,Z轴建立如图所示空间直角坐标系6分设 AD 2,则 A(1,0,0) ， B(0,4,0) , D( 1,0,0), P(0,0,1), F(-,0,-)22uur uuruuirEB DA (2,0,0) , BF (2irn1 (0,0,1)为面BEA的一个法口uu设面FBE的法向量为n2 (x0,uur iu，、k-EB n2 0 .依题用、,imr ui 即 1BF n2 03%令y°V3,ir ui"皿ni,n.6cos( ni,n2)ir Ur -j=n1n2v3因 为 二 面 角 为,

16、9;3,1) 82量 9，0, z0)，2x0 03y0 -Z002解得102 . 3913锐角， 故其余弦值为噜1220.解：(1)由题意设直线 AB的方程为y x E2令A(x1，y1)B(x2, y)yiy23p,根据抛物线的定义得 AByiV2 p 4p,又AB22py8,4P2-y 3py8, p 22 p44y21.解:222(2)依题意，设P(xo,-),C(xc,xC), D(xd,也)4442设I1的方程为y 9 k(x xo),与x2 4y联立 44kx4kxo2 xoxo x 4kxoxd4kxC xDCDKCD2乂22xi4(x2 x1)1(xc4xD )12 Xo10

17、切线l的斜率Ki yX xo12xo由KIKcd o12.1， f (x) (bx1)当b 1时，f(x)0恒成立，此时f(x)在定义域上单调递增当b 1时，若x1°，f (x) 0 ；若(x)故此时f (x)的单调增、0,(2)方法 1：由 f (x) m2，口，ax 得 ln x(a2)xg(x) ln x(a 2)xg(x1)g%) 11要证一一 4x1x210乂? ln 一ln x1(a2)x1Inx2(a2)x2x2只需证x2x1x22(2a)21n& x1(不妨设x1%),x1x2X2x2x121nx2令x2x1t(t1),g(t) 21n t1 -2t t, Q

18、g(t)-1 t2(；1)2 0,g(t)(1,)单调递减， g(t) g1_ 11从而有 一一x1x2方法2：由f(x) m2，1，ax 得 ln x(a 2)x 2 m 042a12分令 g(x)ln x (a 2)x 2则 g(x1) g(x2) m1g(x) (2 a)x当 X (0,分1.)时 g (x)2 a0,1(2-a故 g (x)在(0,-28调递减，不妨设x1x2,则0xix2 ，1 要证一x1x210令 h(x) g(x)则 h (x) g (x)1 (2 a)xx2a ,只需证g(xi) g(xix2(4 2 a)x2x2(4 2a)x21)，易知x2(4 2 a)x2(。”证 g(x2)g(d*22 a)x21)g(x) , ( x(4 2a)x 12gg(4 2a x 1(4 2a) x1)(2 a)x 14(2 a)24 2a x 14 2