九年级培优易错难题二次函数辅导专题训练含答案

1、九年级培优易错难题二次函数辅导专题训练含答案一、二次函数1 .如图，在平面直角坐标系中，/ACB=90°, OC=2OR tan / ABC=2,点B的坐标为(1,0).抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D,交线段AB于点仕 1E,使 PE=-DE.2求点P的坐标； 在直线PD上是否存在点M,使4ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点 M的坐标；若不存在，请说明理由.2【答案】(1) y=-x2- 3x+4; ( 2)P (- 1, 6),存在，M (- 1 , 3+而)或(-1

2、31,3- y/11)或(-1，- 1)或(-1，【分析】(1)先根据已知求点 A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；(2) 先得AB的解析式为：y=-2x+2,根据PD± x轴，设P (x, -x2-3x+4),则E (x,-2x+2),根据PE=1DE,列方程可得 P的坐标； 2 先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB, AM, BM的长，分三种情况： 4ABM为直角三角形时，分别以 A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标.【详解】解：(1) B (1 , 0) , .-.OB=1,. OC=2OB=2,，C ( - 2, 0), RtA ABC 中，t

3、an/ABC=2AC 2, ACBC '32 ,AC=6,A (-2, 6),4 2b c 6把 A - 2, 6 和 B 1, 0 代入 y=-x2+bx+c得：1 b c 0解得:，抛物线的解析式为：y=-x2-3x+4； (2) /A (-2, 6) , B (1, 0),(x,2x+2),1.PE=-DE：,- x2- 3x+4- (- 2x+2) =1 (- 2x+2),2 x=-1 或 1 (舍)，P (- 1, 6);.M在直线PD上，且P ( - 1, 6),设 M ( T , y), . B (1, 0) , A ( - 2, 6). .AM2= (- 1+2) 2+

4、 (y-6) 2=1+ (y-6) 2,BM2= (1+1) 2+y2=4+y2,AB2= ( 1+2) 2+62=45,分三种情况：i)当 /AMB=90° 时，有 AM2+BM2=AB2, -1+ (y-6) 2+4+y2=45,解得：y=3, M ( - 1, 3+ 7i7)或(-1，3- 11 );ii)当/ABM=90° 时，有 AB2+BM2=AM2,.-45+4+y2=1+ (y-6) 2,，y=1,.M (-1, - 1),iii)当 / BAM=90° 时，有 AM2+AB2=BM2,1-1+ (y-6) 2+45=4+y2,13- y=, 2.

5、M ( 1,13、一）；综上所述，点 M的坐标为：-M （T, 3+布）或（-1, 3-布）或（-1, - 1）或13（1, 一） . 2【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理 的运用，直角三角形的判定等知识.此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨 论思想的应用.2.某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚.已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每 天的销售量y （千克）与销售单价 x （元）之间的函数关系如图所示.（1）求y与x的函数关系式，并写出 x的取值范围；

6、（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某村农户今年共采摘蜜柚 12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销 售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？【答案】（1） y=- 20X+500, （x> ； （ 2）当x= 15.5时，w的最大值为1805元;（3）当x= 13时,w= 1680,此时，既能销售完又能获得最大利润.【解析】【分析】（1）将点（ 15, 200）、（ 10, 300）代入一次函数表达式：y=kx+b即可求解；（2）由题意得：w =

7、y（x-6）=- 20 （x- 25） （x- 6）, = - 20 v 0,故 w 有最大值， 即可求解；（3）当x= 15.5时，y= 190, 50X190- 12000,故：按照（2）的销售方式，不能在保质期 内全部销售完；由50 （500- 20x） >12000解彳导:x< 13当x=13时，既能销售完又能获 得最大利润.【详解】解：（1）将点（15, 200）、（ 10, 300）代入一次函数表达式：y=kx+b得：200 15k b300 10k b k 20解得：，b 500即：函数的表达式为：y=- 20x+500, （x功；(2)设：该品种蜜柚定价为 x元时，

8、每天销售获得的利润 w最大, 则：w= y (x-6) =- 20 (x- 25) (x- 6),- 20v 0,故w有最大值，当x=-上-=31=15.5时，w的最大值为1805元； 2a 2(3)当 x= 15.5 时，y= 190,50 X 190 12000,故：按照(2)的销售方式，不能在保质期内全部销售完；设：应定销售价为 x元时，既能销售完又能获得最大利润w,由题意得：50 (500- 20x) >12000 解彳导:x<13w = - 20 (x- 25) (x- 6),当 x= 13 时，w = 1680,此时，既能销售完又能获得最大利润.【点睛】本题考查了二次函

9、数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利函数的增减性 来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案.其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值)3 .如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B (1,0)、C (3, 0)、D (3,1 4 ).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发，以每秒一个单位的2速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒.过点P作P已x轴交抛物线于点 M,交AC 于点N.(1)直接写出点 A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)当t为何值时，4ACM的面积最大？最大值为多少？(3)点Q从

10、点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段 CD向点D运动，当t为何值时，在 线段PE上存在点H,使以C Q、N、H为顶点的四边形为菱形？【答案】(1) A (1, 4) ; y=x2+2x+3; (2)当t=2时，AMC面积的最大值为1; (3) 20 845 或 一 .13【解析】(1)由矩形的性质得到点 A的坐标，由抛物线的顶点为 A,设抛物线的解析式为 y = a (x-1) 2+4,把点C的坐标代入即可求得 a的值；(2)由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标，由A、C的坐标得到直线 AC的解析式，进而得到点 N的坐标，即可用关于 t的式子表示 MN,然后根据 ACM的面积是 AMN和

11、4CMN的面积和列出用t表示的4ACM的面积，利用二次函数的性质即可得到当t=2时，4AM C面积的最大值为1;(3) 当点H在N点上方时，由 PN =CQ, PN/ CQ得到四边形 PNCQ为平行四边形，所以当PQ= CQ时，四边形FECQ为菱形，据此得到+(4 ，-二，解得t值;当点H在N点下方时，NH=CQ=, NQ=CQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2=CQ2,得：(2 + 0-2/)2 =T ,解得 t 值.解：(1)由矩形的性质可得点 A (1, 4),.抛物线的顶点为 A,设抛物线的解析式为 y=a (x1) 2+4,代入点C (3, 0),可得a= - 1 .y=- (x1)

12、2+4=- x2 + 2x+3.-，1(2) .P (1 -t, 4), 2公1 C .1 2将x1 t代入抛物线的解析式，y= ( x1)2+4= 4t,24一 ，1 ,1,2 M ( 1 -t , 4 t ), 24设直线AC的解析式为J”丈T十A ,将 a(i,4), C(3,o)代入 f 二女"b ,得：y =+ 6 ,1将x 1 t代入得，=4 f, 2 1，, N(1 t, 4 -1), 2.MN当t=2时，AMC面积的最大值为1 .(3)如图1 ,当点H在N点上方时，, 1,-1, N (1 2t, 4-1)，P (1 -t, 4),Pn = 4 (4一)=1 = CQ

13、, 又 PN/ CQ, 四边形PNCQ为平行四边形， 当PQ= CQ时，四边形FECQ为菱形,PQ2=PD2+DQ2= (2夕尸+(4 -尸, 1=12 ,如图2当点H在N点下方时，20 8/5, t2 20 8底(舍去)；NH=CQ=, NQ=CQ时，四边形 NHCQ为菱形，NQ2 = CQ2,得：(2-O2 +(4-2，了二. 20整理，得 13t2 72t 800 0. 13t 20 t 400 .所以 t1 一，F = 4 (舍去)13尊睛”此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析 式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键4.如图，

14、在平面直角坐标系中有抛物线y=a (x-2) 2-2和y=a (x-h) 2,抛物线y=a(x-2) 2-2经过原点，与x轴正半轴交于点 A,与其对称轴交于点 B;点P是抛物线y= a (x-2) 2- 2上一动点，且点 P在x轴下方，过点P作x轴的垂线交抛物线 y= a (x- h) 2于点D,过点D作PD的垂线交抛物线y=a (x-h) 2于点D'(不与点D重合)，连接 PD',设点P的横坐标为 m：(1)直接写出a的值； 直接写出抛物线y=a (x-2) 2-2的函数表达式的一般式；(2)当抛物线y=a (x-h) 2经过原点时，设 4PDD与4OAB重叠部分图形周长为

15、L：芯 PDi求的值；DD直接写出L与m之间的函数关系式；(3)当h为何值时，存在点 P,使以点O、A、D、D'为顶点的四边形是菱形？直接写出h的值.11c【答案】(1)；y= x - 2x;22(2)1 ；(2 、.2)m(0 m, 2)D L=& 1 2 广；m2 (2.2 1)4 (2 m 4)(3) h=及由.【解析】【分析】1 2(1)将x= 0, y= 0代入y= a (x-2) - 2中计算即可； y = - x - 2x;(2)将(0, 0)代入y=a (x- h) 2中，可求得a=1, y=1x2,待定系数法求 OB、AB 22的解析式，由点 P的横坐标为m,

16、即可表示出相应线段求解；(3)以点0、A、D D为顶点的四边形是菱形，DD'= OA,可知点D的纵坐标为2,再由AD= 0A= 4即可求出h的值.【详解】解：(1)将 x=0, y= 0 代入 y= a (x 2) 22 中，得：0=a (0-2) 2-2,1解得：a=一；21(2)二,抛物线y=a (x-h) 2经过原点，a=;2y= 1x2,2x,直线AB解析式为：y=x-42,E(m,0), F(m, m), D- A 0, 0) , B (2, - 2), 易得：直线OB解析式为：V=PD1 2-m22 2m2 m, DD 2mPDDD2m2m如图0vmW2时，L= OE+EF

17、+OF= m m 72m当2vmv4时，如图2,设PD交x轴于G,交AB于H,(2.2) mPD交x轴于E,交AB于F,y*E图U12则 P m, m22m,D12m, m21,E(m,0), F (m,m 4), D m,- m 212PF (m 4)-m1 2-m2m2222 2 32FH PH PFmm242. DD7/ EG2 2, PG.22m22 2mEG PE ，即：EG?PD= PE?DD ,得:DD PDEG?(2m)=(2m 1 C m2) ?2m21. EG= 2m - - m2, EF= 4 - m2L= EGEF+FH+GH= EG+EF+PG2m 1m2 4 m m

18、2 2 . 2m 22-2-m2 (2 2 1)m 4(2 . 2)m(0 m, 2)4)L-2-m2 (2 2 1)m 4 (2.AD= AO= DD'= 4, .PD=2,PA 2.3本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式, 等，解题时要注意考虑分段函数表示方法.菱形的性质,抛物线的平移5.如图所示，已知平面直角坐标系xOy,抛物线过点A(4,0)、B(1,3)1 2 3 41(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)记该抛物线的对称轴为直线1,设抛物线上的点 P(m,n)在第四象限，点 P关于直线l的对称点为E,点E关于y轴的对称点为 F,若四

19、边形 OAPF的面积为20,求m、n的值.【答案】(1)y=-y x2 4x (x 2)2 4,对称轴为：x=2,顶点坐标为：(2, 4)(2)m、n的值分别为5,-5【解析】(1)将点A(4,0)、B(1,3)的坐标分别代入 y=x2+bx+c,得:4b+c-16=0, b+c-1="3",解得：b="4" , c=0.所以抛物线的表达式为：yx2 4x .2 2y=- y x 4x (x 2)4 ,所以抛物线的对称轴为：x=2,顶点坐标为：(2,4).(2)由题可知，E、F点坐标分别为(4-m , n) , ( m-4, n).三角形POF的面积为：

20、1/2X4X|n尸2|n|,三角形AOP的面积为：1/2X4X|n|二 2|n|,四边形OAPF的面积二三角形POF的面积+三角形AOP的面积=20,所以41n|=20 , n=-5.(因为点P(m,n)在第四象P所以 n<0)又 n=-m2 +4m,所以m2-4m-5=0, m=5.(因为点P(m,n)在第四象P所以 m>0)故所求m、n的值分别为5,-5.6.已知关于x的一元二次方程 x2- (2k+1) x+k2=0有两个实数根.(1)求k的取值范围；_、一,111(2)设Xi, x2是万程两根，且 ；一；,求k的值.x1 x2 k 1【答案】(1) k>- -; (2

21、) k= 1+ZI.42【解析】【分析】(1)根据方程有两个实数根可以得到从而求得k的取值范围；(2)利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k的值即可.【详解】解：(1) = (2k+1) 2 4k2= 4k2+4k+1 4k2= 4k+1 >0.-4k+1 >0- 1 k )4(2) xi, X2是方程两根，xi+x2= 2k+12X1X2= k ,111 又. 一;一;,x1x2k 11k 1 '1k 1 '1 5 ,1.5，k2-22x1x2x x22k 1k2解得:k1【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记一

22、 bc于一，两根之积等于一”是解题的关键.aa两根之和等7.如图，抛物线 y= - x2+bx+c与x轴交于点 A和点B (3, 0),与y轴交于点 3),点D是抛物线的顶点，过点 D作x轴的垂线，垂足为 E,连接DB.(1)求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)点M是抛物线上的动点，设点 M的横坐标为 m. 当/ MBA= / BDE时，求点 M的坐标； 过点M作MN /x轴，与抛物线交于点 N, P为x轴上一点，连接 PM, PN, 沿着MN翻折，得aMN,若四边形 MPNQ恰好为正方形，直接写出 m的值.C (0,将 4PMN着用国1【答案】(1) (1,4) ( 2)点M坐标(2为5

23、7或【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题;(2) 根据 tan / MBA= MGBGm2 2m3 , tan Z BDE=BE =1DE 2由 / MBA=/BDE,【详解】(1)把点 B (3, 0),9 3b c 0得到,c 3抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,构建方程即可解决问题；因为点M、N关于抛物线的对称轴对称，四边形 MPNQ是正方形，推出点P是抛物线的对称轴与 x轴的交点，即 OP=1,易证GM=GP,即|- m2+2m+3|=|1-m| ,解方程即可解决问题.C (0, 3)代入 y= - x2+bx+c,b 2解得,c 32m 2m 3,. y= - x2+

24、2x- 1 + 1+3=- (x-1) 2+4, 顶点D坐标(1 , 4);/MGB=9°0，设 M (m, - m2+2m+3), .tanZ MBA= MGBG.DEx 轴,D (1, . / DEB=90 DE=4, OE=1, - B (3, 0),BE=2,BE 1tan / BDE=一DE 2 / MBA=Z BDEm2 2m 3M在x轴上方时，2m 3解得m= - 1或3 （舍弃），2.MM在x轴下方时,2m 2m 3解得m=- 3 或2m=3 （舍弃），点4），综上所述，满足条件的点 M坐标（-如图中，MN / x轴,1小C点M、N关于抛物线的对称轴对称，OP=1,四

25、边形MPNQ是正方形，点P是抛物线的对称轴与 x轴的交点，即易证 GM=GP,即 | - m2+2m+3|=|1 - m| ,当一m2+2m+3=1 m 时，解得 m=3 "17 , 21 7 当一m2+2m+3=m 1 时，解得 m=,2满足条件的m的值为3初或1后 【点睛】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学 会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中 考压轴题.8.已知点A （- 1, 2）、B （3, 6）在抛物线y=ax2+bx上（1）求抛物线的解析式；（2）如图1,点F的坐标为（0, m） （m

26、>2）,直线AF交抛物线于另一点 G,过点G作x 轴的垂线，垂足为 H.设抛物线与 x轴的正半轴交于点 E,连接FH AE,求证：FH/AE;(3)如图2,直线AB分别交x轴、y轴于G D两点点P从点C出发，沿射线CD方向匀速 运动，速度为每秒 6个单位长度；同时点 Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速 度为每秒1个单位长度.点 M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到 t秒时，QM=2PM,直接写出t的值.一，. ，一 一、，17 土 V73-【答案】(1)抛物线的解析式为 y=x2-x; (2)证明见解析；(3)当运动时间为 )或15 土 “7-秒时，QM=2PM .【解析】【分

27、析】(1) (1) A, B的坐标代入抛物线 y=ax2+bx中确定解析式；(2)把A点坐标代入所设的 AF的解析式，与抛物线的解析式构成方程组，解得 G点坐 标，再通过证明三角形相似，得到同位角相等，两直线平行；(3)具体见详解.【详解】.解：(1)将点 A (T, 2)、B (3, 6)代入中，II 0- = 2(3=1V)a ,解得：1 ,，抛物线的解析式为 y=x2 - x.(2)证明：设直线 AF的解析式为y=kx+m,将点 A ( - 1, 2)代入 y=kx+m 中，即-k+m=2 ,1. k=m 2,直线AF的解析式为y= ( m - 2) x+m.联立直线AF和抛物线解析式成

28、方程组，ly =(m - 2)r+ m ,解得：ly= Z 或= -也, ，点G的坐标为(m, m2-m).GHx 轴,，点H的坐标为(m, 0) .,抛物线的解析式为 y=x2 - x=x (x-1),.点E的坐标为(1,0).过点A作AA'x轴，垂足为点A,如图1所示.丁点 A ( 1, 2),，A' (T, 0),.AE=2, AA' =2AA IFO m施二1，OH 石=1，AAr FO 帆二 OH '. /AA' E=FOH, .AA / AFOHI, / AEA'上FHO, .FH/ AE.(3)设直线AB的解析式为y=kox+bo,

29、-"口 + 加=2= 1将A ( - 1, 2)、B (3, 6)代入y=kox+bo中，得 匕火皿+加=6 ,解得：I如二I ,直线AB的解析式为y=x+3, 当运动时间为t秒时，点P的坐标为(t-3, t),点Q的坐标为(t, 0) .当点M在线段PQ上时，过点P作PPx轴于点P',过点M作MM，x轴于点M ,则 PQPsmqM ,如图2所示，. QM=2PM ,QM' MM 12可二可飞，21212 .QM' qQP'=2, MM' qPP=t,2.点M的坐标为(t-2, § t).又二点M在抛物线y=x2-x上， 2. t=

30、(t-2) 2 (t-2),17 +解得：t=7；b当点M在线段QP的延长线上时，同理可得出点M的坐标为(t-6, 2t),一点M在抛物线y=x2-x±,-2t= (t- 6) 2- (t- 6),15 j_ 57 解得：t=.综上所述：当运动时间秒时，QM=2PM.G却1上【点睛】本题考查二次函数综合运用，综合能力是解题关键9.如图，已知抛物线 y ax2 bx c(a 0)的对称轴为直线x 1,且抛物线与x轴交 于A、B两点，与y轴交于C点，其中A(1,0), C(0,3).C两点，求直线 BC和抛物线的解析式；(3)设点P为抛物线的对称轴 x 坐标.1上的一个动点，求使BPC为

31、直角三角形的点 P的(2)在抛物线的对称轴 x 1上找一点M ,使点M到点A的距离与到点C的距离之和 最小，求出点M的坐标；【答案】(1)抛物线的解析式为y x2 2x 3 ,直线的解析式为y= x+ 3.(2)(2)直线BC与对称轴x 1的交点为 M ,则此时MAMC的值最小，把x1代入M( 1,2)； (3)P 的坐标为(1, 2)或(1,4)或(1 3 折)或(1 3 屈).，2，2【解析】分析：(1)先把点A, C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b, c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得 a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a, b, c的值即可得到抛物线解析式；把 B

32、、C两点的坐标代入直线 y=mx+n,解方程组求出 m和n的 值即可得到直线解析式；(2)设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,此时MA+MC的值最小.把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点 M坐标；(3)设 P(-1, t),又因为 B (-3, 0) , C (0, 3),所以可得 BC2=18, P3= (-1+3) 2+t2=4+t2, PG= (-1) 2+ (t-3) 2=t2-6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标.2 12aa 1详解：(1)依题意得：a b c 0,解得： b 2,c 3c 32 一 _，抛物线的解析式为 y x 2x 3

33、.对称轴为x 1 ,且抛物线经过 A 1,0 ,.把B 3,0、C 0,3分别代入直线y mx13'x 3.M 1,2 .即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为 1,2(注：本题只求 M坐标没说要求证明为何此时MA MC的值最小，所以答案未证明MA MC的值最小的原因).(3)设 P 1,t ,又 B 3,0 , C 0,3 ,2_2 BC2 18 , PBt2 422t2, pc22-t 6t 10,若点B为直角顶点,BC2PB2PC2 ,即:18t2t26t10解得:t12,若点C为直角顶点,BC2PC2PB2,即:18t26t10t2解得:4 ,若点P为直角顶点，

34、3.17 x 3，t2 一2PB2PC2BC2 ,即:t2t26t1018解得:.172综上所述P的坐标为 1, 2或1,4或1,2(二次函数和一次函点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数 数)的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考 压轴题.10.在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c (a、b、c为常数，aw。的 衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其 衍生三角形”.已知抛物线y 巫x迤x 2人与其衍生直线”交于A、B两点(点A33(1)填空：该抛物线的衍生直线”的解析式为，

35、点A的坐标为B的坐在点B的左侧)，与x轴负半轴交于点 C.标为(2)如图，点M为线段CB上一动点，将4ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点对称点为N,若4AMN为该抛物线的 衍生三角形”，求点N的坐标；F,使(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的衍生直线”上，是否存在点E、F的坐标;得以点A、C E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 若不存在，请说明理由.也x+逋；(-2, 2百)；(1,0)；(2) N 点的坐标为(0, 2存3) , ( 0, 2J3+3 );(3) E (-1, -43)、F (0, 2/3)或 E (-1, -4/3 ) , F (-4,

36、10/3 )【解析】【分析】（1）由抛物线的 衍生直线”知道二次函数解析式的 a即可；（2）过A作ADy轴于点D,则可知AN=AC,结合A点坐标，则可求出 ON的长，可求出N点的坐标；（3）分别讨 论当AC为平行四边形的边时，当 AC为平行四边形的对角线时，求出满足条件的 E、F坐 标即可【详解】(1) y2.3 2x323,则抛物线的 衍生直线”的解析式为 3y=2.3x+联立两解析式求交点2,3 2x34.3x3y=2Jx+2_J2.3 丫一.x=-2x=1,解得 或 ，y=2、一 3y=0A (-2, 2出)，(1,0)；(2)如图1,过A作ADy轴于点D,在y2c x2 W3x 2由中

37、，令y=0可求得x= -3或x=1,33 C (-3,0),且 A (-2, 2芯)， -AC= J(-2+3)2+ (2百 2 =而 由翻折的性质可知 AN=AC=7l3 ,AMN为该抛物线的 衍生三角形”, N在y轴上，且AD=2, 在RtAND中，由勾股定理可得DN= Van 2-ad2 =713-4=3，IOD=2a/3 ,6=273-3 或 ON=2m+3 ,.N 点的坐标为(0, 2石-3) , (0, 2，3+3)；1ffil(3) 当AC为平行四边形的边时，如图 2，过F作对称轴的垂线 FH,过A作AK±x轴于点K,则有 AC/ EF且AC=EF/ ACK=/ EFH

38、,在 ACKn EFH 中ACK= EFHAKC= EHFAC=EF . ACKA EFH, .FH=CK=1, HE=AK=273, .抛物线的对称轴为 x=-1,F点的横坐标为。或-2, 点F在直线AB上， 2.3，当F点的横坐标为0时，则F (0,二)，此时点E在直线AB下万, .E到y轴的距离为EH-OF=2>/3-23 =43 ,即E的纵坐标为-生与， 333E (-1, -43)；3当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；当AC为平行四边形的对角线时， C (-3,0),且 A (-2, 2也)，线段AC的中点坐标为(-2.5, J3),设 E (-1, t)

39、, F (x, y),则 x-1=2x(-2.5) , y+t=2V3, x= -4, y=2>/3-t,2出-t=-Wx(-4)+也，解得 t=_4/3, 3334 .310 .3. E (-1 , ) , F (-4,),综上可知存在满足条件的点F,此时E (-1, -4Z3)、(0, 2Z3 )或E (-1,4_2) , F(-4, ” 33【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本 题的关键，属于压轴题11.已知，m, n是一元二次方程 x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|v|n|,抛物线 y=x2+bx+c的图象经过点 A (m,

40、 0) , B (0, n),如图所示.(1)求这个抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为 D,求出点C, D的坐标, 并判断 BCD的形状；(3)点P是直线BC上的一个动点(点 P不与点B和点C重合)，过点 P作x轴的垂线， 交抛物线于点 M,点Q在直线BC上，距离点P为我个单位长度，设点 P的横坐标为t, PMQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式.由用图【答案】(1) y x2 2x 3； (2) C (3, 0) , D (1, - 4) , BCD是直角三角形;1 93-t2t(0<t< 3)22(3) S 221 23t _t(t&

41、lt; 0或 t>3)2 2试题分析：(1)先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；(2)先解方程求出抛物线与 x轴的交点，再判断出 BOC和ABED都是等腰直角三角形，从而得到结论；(3)先求出QF=1,再分两种情况，当点 P在点M上方和下方，分别计算即可.试题解析：解(1);xZ+dx 3 0,Xi1 , X23, /m, n是一元二次方程2x2 +4x 3 0 的两个实数根，且 |m| < |n| , . m= - 1, n=-3,，.,抛物线 y x 2x 3，一，1 b c 0 b 2的图象经过点A (m, 0) , B (0, n) , . ，二，抛物线解析

42、式为c 3c 32y x 2x 3 ;(2)令 y=0,则 x2 2x 3 0,，x11 , x2 3, .C (3, 0),22 y x 2x 3 = (x 1)4, .顶点坐标 D (1, - 4),过点 D 作 DEL y 轴，,. OB=OC=3,BE=DE=1, BOC和 BED者B是等腰直角三角形，/ OBC=Z DBE=45 ,°Z CBD=90 ,°ABCD是直角三角形；(3)如图，B (0, - 3) , C (3, 0) , 直线BC解析式为y=x- 3, .点P的横坐标为 t, PMx轴，.点M的横坐标为t,二点P在直线BC上，点M在抛物线上，.P (

43、t, t- 3) , M (t, t2 2t 3),过点Q作QF，PM,，APQF是等腰直角三角形， pq=V2, qf=1.当点P在点M上方时，即0vtv3时，PM=t - 3 - (t2 2t 3) = t2 3t,一 11 , 2 一、 1 2 3 S=-PMX QF( t3t)= -t t ,如图3,当点P在点M下方时，即t<0或t2222221 1, 2123>3 时，PM=t22t 3 -(t-3)=t23t ,.-.S=-PMX Q=(t23t)=-t-t .2222；t2 3t(0 t 3)一.22综上所述，S= 22.AO2t2 2t (t 0或 t 3)考点：二

44、次函数综合题；分类讨论.12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A (- 1, 0) B (3, 0)两点，与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和直线 AC的解析式；(2)请在y轴上找一点 M,使4BDM的周长最小，求出点 M的坐标;y=3x+3 ； ( 2)点 M 的(3)试探究：在抛物线上是否存在点P,使以点A, P, C为顶点，AC为直角边的三角形请说明理由. 7201013(3)符合条件的点 P的坐标为(一，一)或(一，-一)，3939【解析】分析：(1)设交点式y=a (x+1) (x-3),展开得到-2a=2,然后求出a即可得到抛

45、物线解析式；再确定C (0, 3),然后利用待定系数法求直线AC的解析式；(2)利用二次函数的性质确定D的坐标为(1, 4),作B点关于y轴的对称点B',连接DB'交y轴于M,如图1,则B' (-3, 0),利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时4BDM的周长最小，然后求出直线DB的解析式即可得到点 M的坐标；(3)过点C作AC的垂线交抛物线于另一点巳如图2,利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=- x+b,3把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为2y= x 2x 3y=-x+3,再解方程组 31得此时P点坐标；当过点 A作AC

46、的垂线交抛物y= -x 33线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标.详解：(1)设抛物线解析式为 y=a (x+1) (x-3),即 y=ax2- 2ax- 3a,，2a=2,解得 a= - 1,抛物线解析式为 y= - x2+2x+3;当 x=0 时，y=-x2+2x+3=3,贝U C (0, 3),p 3q 3'设直线AC的解析式为y=px+q,把 A ( - 1, 0) , C (0, 3)代入得直线AC的解析式为y=3x+3；(2)y=-x2+2x+3=- (x-1) 2+4,，顶点D的坐标为(1, 4),作B点关于y轴的对称点B',连接DB交y轴于M,如图1

47、,则B' ( - 3, 0),.MB=MB',.MB+MD=MB' +MD=DBilt时 MB+MD 的值最小，而BD的值不变，此时4BDM的周长最小，易得直线DB的解析式为y=x+3,当 x=0 时，y=x+3=3,.点M的坐标为(0, 3);(3)存在.过点C作AC的垂线交抛物线于另一点 巳如图2,直线AC的解析式为y=3x+3,直线PC的解析式可设为y=一1.x+b,3把C (0, 3)代入得b=3,直线PC的解析式为y=1一 x+3,3y=解方程组y=2x解得737203 ,则此时P点坐标为(一，)；20399过点A作AC的垂线交抛物线于另一点巳直线PC的解析式

48、可设为y=-yx+b,把A ( - 1, 0)代入得-+b=0,解得3直线PC的解析式为y=- 1x- 1,33解方程组2y= x 2x 311,解得y= - x3310五139 10则此时p点坐标为（一 3139综上所述，符合条件的点13、9一,，720八 10P的坐标为（一，）或（一,393点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数 的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解 方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短 路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题.213.如图，抛物线

49、y ax bx 5（a 0）经过x轴上的点A （1, 0）和点B及y轴上的点C,经过B、C两点的直线为y x n .求抛物线的解析式. 点P从A出发，在线段 AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向 C运动.当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动.设运动时间为t秒，求t为何值时，PBE的面积最大并求出最大值.过点A作AM BC于点M,过抛物线上一动点 N （不与点B、C重合）作直线 AM的 平行线交直线BC于点Q.若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点 N的横坐标.【答案】yx2 6x 5；当t 2时，PBE的面积最大，最大值为 2

50、J2；点N的横坐标为:【分析】 点B、C在直线为y x n上，则B ( - n, 0)、C (0, n),点A (1,0)在抛物线a b 5 0.22上，所以 an bn 5 0 ,解得a 1 , b 6 ,因此抛物线解析式：n 52cLy x 6x 5 ；先求出点P至ij BC的高h为BPsin45 (4 t),于是2S pbe -BE h - -(4 t) 2t (t 2)2 2后，当 t 2时，PBE的面积最 2222大，最大值为2、2 ；由知，BC所在直线为：y x 5,所以点A到直线BC的距离d 2 日 过点N作2x轴的垂线交直线 BC于点P,交x轴于点H.设N m, m 6m 5

51、,则H (m,0)、P( m, mI - NH n . NH去)，出.去)，m2【详解】)，易证4PQN为等腰直角三角形，即 NQ PQ 272, PN 4,2HP 4,所以 m 6m 5 (m 5) 4解得 mi 1 (舍去)，m2 4 ,2541541HP 4, m 5 m2 6m 5 4解得 5 V41 , m2 5 "41 (舍22NH HP 4,m2 6m 5 (m 5) 4 ,解得色 5 J4-(舍25不 .2解：丁点B C在直线为y x n上， .B (- n, 0)、C (0, n),点A (1, 0)在抛物线上，a b 5 02an bn 5 0,n 5 .a 1 , b 6 ,，抛物线解析式：yx2 6x 5 ；由题意，得，PB 4 t, BE 2t ,由知， OBC 45 ,2 点 P至U BC的周)h 为 BPsin45 (4 t),2一 .112-.22-S pbe BE h - (4 t) 2t (t 2)2 V2，22 22当t 2时， PBE的面积最大，最大值为 2J2；由知，BC所在直线为：y X 5,，点A到直线BC的距离d