点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用

1、第7讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用22定理 在椭圆 勺 4 1 (a>b>0)中，若直线l与椭圆相交于 M、N两点，点P(x0, a by0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN ,则kMN 也Xob22 . a证明：设M、N两点的坐标分别为(x1，yi)、(X2,y2),则有2 X1 T a2 X2 -2 a2 y1 干2 y2 b21,1.(1)(2)(1) (2),2X1得Ja2X22y2b"0.V2y1X2X1V2 y1X2 X1b2-2 . a又 kMNy2 y1y1y2X2XiXiX22y2xMN(x2,y2)2 X 同理可证，在椭圆I b

2、2y0)2y2 1 ( a > b >0)中，若直线l与椭圆相交于 M、N两点，点p(x0, a是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN,则kMN "0Xo2 a b2.典题妙解例1设椭圆方程为21,过点M (0,1)的4直线l交椭圆于点 A、B, O为坐标原点,点 p满足uur 1 uuuOP (OA2uuuOB),点N的坐标为M旋转时，求:(1)动点P的轨迹方程;(2) |NP|的最大值和最小值.解：(1)设动点P的坐标为(x,y).由平行四边形法则可知：点P是弦AB的中点焦点在y上，a24,b21.假设直线l的斜率存在.2由kABy卜得：*整理，得：4x2

3、y2 y0.当直线l的斜率不存在时，弦AB的中点P为坐标原点0(0,0),也满足方程。2所求的轨迹方程为 4x2y y 0.2配方，得：116(y1.|NP|2 (x -)2211、212(x -)x24 J 73(x -)612(y，1 . 一当 X 时，|NP|min421时，|NP|max 62例2在直角坐标系xOy中，经过点(0, J2)且斜率为k的直线l与椭圆 y2 1有两个不同 2的交点P和Q.(1)求k的取值范围;(2)设椭圆与X轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为 A、B,是否存在常数k,使得向量OP 0Q与AB共线如果存在，求 k的取值范围；如果不存在，请说明理由解：(1)直线l

4、的方程为y kx <2.kx.2,得:1.(2k2 1)x2 4、.2kx 20.2直线l与椭圆 人 y21有两个不同的交点,22_ _ 232 k8(2k1) >0.解之得:k<也或k>/.k的取值范围是2x(2)在椭圆一21中，焦点在x轴上，a”,b 1,A«,2,0),B(0,1),AB ( V2,1).设弦PQ的中点为M(xo，y°),则OM(xo, yio).由平行四边形法则可知：OP OQ 2OM.OP OQ与AB共线,OM与AB共线.XoXo*2由 kPQ y2Xo由(1)可知二时,2直线l与椭圆没有两个公共点,不存在符合题意的常数k.

5、2 x例3已知椭圆一万 a2 y b221 ( a > b >0)的左、右焦点分别为 F1、F2 ,离心率e 三，右准2线方程为(I )x 2.求椭圆的标准方程;(n)过点Fi的直线l与该椭圆相交于 M、N两点，且| F2MF2N |解:(I)根据题意,2.2J2,b 1,c 1.所求的椭圆方程为-y221.(n)椭圆的焦点为F1(1,0)、F2(1,0).设直线l被椭圆所截的弦 MN的中点为P(x,y).由平行四边形法则知：F2M F2N 2F2P.2 26-262226_由 |F2M F2N | 得：|F2P| .(x 1) y 一.339若直线l的斜率不存在，则l x轴，这时

6、点P与F1( 1,0)重合，|F2M F2N | |2F2F1| 4,与题设相矛盾,故直线l的斜率存在由 kMN - xy_yx 1 x21 . 2y-(x2x).代入,(x1)2；(x2x)269整理，得:45x170 .解之得:x "，或 x3由可知,17 人 一x一不合题意.3从而2.3工 1.x 1所求的直线l方程为1.2x例4 已知椭圆C :a2 匕 b2(a > b >0)的离心率为三3 ,过右焦点F的直线l与C相交于3A、B两点.当l的斜率为1时，坐标原点O至M的距离为红.2(1)求a,b的值;(2) C上是否存在点P,使彳导当l绕F转到某一位置时，有 OP

7、 OAOB成立若存在，求出所有点P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由解：(1)椭圆的右焦点为F(c,0)，直线l的斜率为1时，则其方程为y原点。到l的距离:|0 0 c|%22c23.2.b 2.线段(2)椭圆的方程为1.设弦AB的中点为Q(x,y).由 OPOA OB可知，点Q是4x2OP的中点，点P的坐标为(2x,2y). 32y2若直线l的斜率不存在，则lx轴,这时点Q 与 F(1,0)重合，OP(2,0)， 点P不在椭圆上,故直线l的斜率存在.由kABy 得: x a223(x x).233由和解得：x -, y43. 2y3.2、当x ,y 时，kAB 一J2 ,点 P的坐标为(一

8、，),直线l的万程为44x 12 2瓜 y 42 0-当x 3,y上2时，kAB y 22，点P的坐标为(3,三2),直线l的方程为44x 1222x y . 2 0.金指点睛.一2 一 21 .已知椭圆x 2y4,则以(1,1)为中点的弦的长度为(A. 3 2B. 2.3. 30 C. 33. 6 D.2 . (06江西)椭圆Q :b21 (a>b>0)的右焦点为F(c,0),过点F的一动直线 m绕点F2x2x6v16y的准线为42转动，并且交椭圆于 A、B两点，P为线段AB的中点.(1)求点P的轨迹H的方程；(2)略.3. (05上海)(1)求右焦点坐标是(2,0)且过点(2,

9、 J2)的椭圆的标准方程;2x(2)已知椭圆C的万程为 二a2yr1 ( a > b >0).设斜率为k的直线l ,交椭圆C于A、B两b2点，AB的中点为M.证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上;(3)略.224. (05湖北)设A、B是椭圆3x y上的两点，点N(1,3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于 C、D两点.(1)确定 的取值范围，并求直线 AB的方程;(2)略.5.椭圆C的中心在原点，并以双曲线1的焦点为焦点，以抛物线其中一条准线.（1）求椭圆C的方程;（2）设直线kx2（k 0）与椭圆C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线mx1(

10、m0）对称，求k的值.参考答案1.解：由x22y22 y24,b22.弦MN的中点(1,1),kMNb2-2 a得kMN1 , 直线MN的万程为y 1- （x21).2y3. k2,x 由x“4 得：6y22y 312y设 M（x1，y1）,N（x2，y2）,则y1y22, yy2| MN |12,(12)(丫1 ¥2) 4YiY2k5 « ?,303故答案选C.2.解：（1）设点P的坐标为（x, y）,kABbj-2a得：一x cb22， a整理，得：b2x2222a y b cx 02 22点P的轨迹H的万程为b x a y2b cx0.3.解：（1） 右焦点坐标是（2

11、,0）, 左焦点坐标是(2,0). c2.由椭圆的第一定义知，2a2 2)2 (2)2v( 2 2)2 ( V2)24& , a2.2.,222 b a c 4.所求椭圆的标准方程为2匕1.84(2)设点M的坐标为(x, y),2由 kAB 14得:k 丫xaxby ,整理得：b2x a2ky 0. aa、b、k为定值,当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线b2xa2 ky 0 上.4.解：(1) 点N(1,3)在椭圆3x2内,一 2 一 23 13 V ，即 >12.的取值范围是(12,）.222y由3x y 得二-1,b2一,焦点在y轴上.3若直线AB的斜率不存在，则直线 不合题意，故直线 AB的斜率存在.ABx轴，根据椭圆的对称性，线段 AB的中点N在x轴上,23由 kAB-旦2-得：kAB-一xb21_3kAB1 .所求直线AB的方程为y 31 (x4 0.从而线段AB的垂直平分线 CD的方程为y 3 1 （x22.y x5.解：（1）在双曲线421中，a2,b,2,c焦点为 F1（0,、.6）, F2（, .6）.在抛物线x22j6y 中,准线为y2在椭圆中，c6.从而a23, b . 3.所求椭圆C的方程为21.3(2)设弦AB的中点为P(x0,y0),则点P是直线l与直线l的交点，且直线l