北大版金融数学引论第二章答案

1、版权所有，翻版必究第二章习题答案1.某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X元，年利率7%。计算X 。解:S = 1000so?p7%+XSio?p7%V _ 50000 - 1000s 20?p7% _ X = = 651.72S1o?P7%2.价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还 月结算名利率18%。计算首次付款金额。250元,期限4年。解：设首次付款为X ,则有10000 = X + 250a48?pi.5%解得X = 1489.363.设有n年期期末年金，其中年金金额为 n,实利率i =-1。试

2、计算该年金的现值。 n解：P V = na?nPi1 - vn=n J n_ (n + 1)nn2- nn+2一 (n + 1)n4.已知：a?nP= X, a2?nP= Y 。试用X和Y表示d 。解：a2?nP=a?nP+ a?nP (1 - d)则5 .已知：a?7P= 5.58238, a?= 7.88687, Sh?P= 10.82760。计算 i。sis?p = a? 7P + ai? pvi = 6.0%解：解得 6 .证明：1io?p +a«?p。1-v 10=Sio?P证明：Sio?p+ a°°?p(1+i)10-1+11So?p(1+i)10-1

3、= 1 - v10i一7 .已知：半年结算名利率 6%,计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。解：P V = 100a?8P3%+ 100a20?p3% = 2189.7168 .某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入 1000t£,共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计 15年。设前25年的年利率为8%, 后15年的年利率7%。计算每年的退休金。解：设每年退休金为X,选择65岁年初为比较日1000 25?p8%=X-15?p7%解得X = 8101.659 .已知贴现率为10%,计算2P解：d = 10%,贝i

4、1-d1 二9?8P = (1 + i)=5.695310 .求证:(1) ?np = a?nP + 1 -vn;(2) ?np = s? - np 1 + (1 + i) 并给出两等式的实际解释。证明：(1) ?；p =-dVn=1ZJvn=l-vni+1- vn1+i所以Tnp = a?np + 1 - V n(2) ?np =(1+i)1(1+i)n-1 = (1+i)n-1n- 1=id1+ii + (1 + i)所以Vnp = S? -np 1 + (1 + i)版权所有，翻版必究12从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利 率6%,计算：1

5、)该年金在1979年9月7日的现值；2)该年金在1992年6月7日的终解：P V = 100a9?p1.5% - 100a?2P1.5%= 3256.88AV = 100s49?p1.5% - 100s?2P1.5%= 6959.3713现有价值相等的两种期末年金 A和B。年金A在第1-10年和第21-30年中每年1元，在第11 20年中每年2元；年金B在第1 10年和第2130年中每年付款金额为Y ,在第11 20年中没有。已知：v10=，计算Y 。2解：因两种年金价值相等，则有a0?pi+a10?piv10=Y a30? - piYa10?piv10所以 Y = 3-y10L2v301+V

6、10- 2v30= 1 .814 .已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为 36;另 外，递延n年的2元n期期末年金的现值为6。计算i。解：由题意知，23?4+ 3a?npi = 362a?npivn= 6解得i = 8.33%a?7P _ a?3p+ s?p15 .已 an?paY?p+ Sz?p。求x，YZo解：由题意得-1v = (1 + i)X v31 - v 11(1 + i)Z - vY解得X = 4, Y = 7, Z = 416化简 a/p (1 + v15+ v30)。解：a5?p (1 + v15+ v30) = a45?p北京大学数学科学学院金

7、融数学系第3页版权所有，翻版必究17 .计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后 每半年一次2000元，半年结算名利率9%。解：年金在4月1日的价值为P 4.5%为000 = 46444.44 ,贝U=.5%PP V =( + 尸=41300.65718 .某递延永久年金的买价为P ,实利率i;写出递延时间的表达式。解：设递延时间为t,有1P = i vt解得t = - ln(1+liPi)19 .从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一 定的金额X,直至永远。计算X。_解：设年实利率为i,由两年金的现值相等，有X 291000 ,20?pi=.

8、 v29i解得X = 1000(1 + i)30- (1 + i)10)20某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D:前n年，A、B和C三人平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相 同。计算(1 + i)n0解：设遗产为1 ,则永久年金每年的年金以i,那么A,B,C得到的遗产的现值为1,而d得到遗产的现值为vno由题意得3a?nPi1 - Vn n=vn3所以(1 + i)n= 421.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊，A接受第一个n年，B接 受第二个n年，C接受第三个n年，D接受所有剩余的。已知：C与A的份额之比为0.49,求B与D的份额之比。解

9、：由题意知那么P Vc = pvAa?nPV2nP Vb 二P Vd=0.49a?nP=0.61 a?npvn13n一v i22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷 100元，直至还清，如果最 后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。解得n = 17100a?np4.5%v4<1000100an+1?p4.5%v4>1000列价值方程解得100a16?p4.5%+Xv21 = 1000X = 146.0723.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果 以同样的年利率计算货币的价值在 n年内将增加一倍，计算n0解：

10、两年金现值相等，则 4 Xa36?pi= 5X 18,可知v18= 0.25由题意，(1 + i)n= 2解得n = 924 .某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一次还6000元。已知月结算名利率为12%,计算k。解：由题意可得方程100aO?p1%= 6000(1 + i)-k解得k = 2925 .已知 a?2Pi= 1.75,求 i。解：由题意得1 - v 2= 1.75i解得i = 9.38%26某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年的期末年金为每年1072元。计算年利率。解:版权所有，翻版必究27.某人在银

11、行中存入一万元10年定期存款，年利率4%,如果前5年半内提前支 取，银行将扣留提款的5%作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出K元, 且第十年底的余额为一万元，计算 K o解：由题意可得价值方程10000 = 105Ka?2P4%v3+Ka?2P4% + 10000V10贝 UK = - 10000-10000V10105a?2P4%v3+a?2 P4%v5=979.9428贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半, 前四年半的年利率为i,后面的利率为jo计算首次付款金额X的表达式。解：选取第一次还款日为比较日，有价值方程1P (1 + i)2= X + 2X

12、a? 4Pi+2Xa?5pj(1 + i)-4所以P (1 + i)12 X =1 + 2a?4pi+2a?5Pj (1 + i)-429 .已知半年名利率为7%,计算下面年金在首次付款 8年后的终值：每两年付 款2000元，共计8次。解：30 .计算下面十年年金的现值：前 5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知 年利率为12%。(缺命令) 解:P V = 4 400 + 4 600v5= 11466.1431.已知半年结算的名贴现率为 值表达式。9%,计算每半年付款600元的十年期初年金的现解:32给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。解:1

13、P V = a24?piv3=S?4P(1 +产 1(1 + i)27(1 + i)4- 1a? - Pa?4PS?3p+ S?1P33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次 R元的30年期末 年金代替，半年换算名利率4%,求R的表达式。解：设年实利率为i,则(1 + 2%)2= 1 + io有题意得750+ 750= Ra30pi北京大学数学科学学院金融数学系第12页解得120 = da?2pi iR = 1114.7734.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91,计算年利率。解：由题意知1 = 125解得i = 20%35 .已知：1元永久期初年金的现

14、值为20,它等价于每两年付款R元的永久期初年 金，计算Ro解：由题意得解得R = 1.9536 .已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延 时间。1解：设贴现率为d,则1 二 1+i2(1 - d)与设递延时间为t,由题意得10000 = 2500vt J?p1解得t = ln 20 + ln(1 - (1 - d)：)ln(1 - d)37 .计算：3a?np= 2a2?np =45s?1p,计算 i。i解.a?nPi = 45 x s?1Pi.ii一3- %= 2X解得：vn=1i = 1 Oi(2)i2i22 '3038 .已知i(4)= 16%

15、。计算以下期初年金的现值：现在开始每4个月付 款1元，共12年。(问题)解：39 .已知：6 t =工。求？p 的表达式。解：/-? p =e Rot Sdsdt= ln(1 + n),n o40.已知一年内的连续年金函数为常数 1,计算时刻t,使得只要在该时刻一次性支 付一个货币单位，则两种年金的现值相等。vtdt =o解：第一种年金的现值为第二种年金的现值为e-s1 - e - 8=e- 813贝U所以 t = 1 +1-M41.已知：6 = 0.08计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现值。(结果和李凌飞的不同)解：设季度实利率为io因a(t) = e”则ez肥(1 +

16、 i)所以=4030.531 - v80P V = 100 80?pi = 100(1 + i) i42.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以 2400元的固定 速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？ 解：设年实利率为i,则i = es- 1设基金可维持t年，由两现值相等得40000 = 2400a?tPi解得t = 2843 .已知某永久期末年金的金额为：1, 3, 5,.。另外，第6次和第7次付款的现值 相等，计算该永久年金的现值。13解： 由题息： 11(i+i)6=(i+i)7? i =112P V = v + 3v2+ . + (2n - 1)v n

17、+ .=v1 + P V + 2(v + v2+ )=v(1 + p v + 17)2v解得:P V = 6644 .给出现值表达式Aa?np + B (Da)n所代表的年金序列。用这种表达式给出如下25年递减年金的现值：首次100元，然后每次减少3元。解： 年金序列：A + nB, A + (n - 1) B, . . . , A + 2B, A + B所求为25a5?p+ 3(Da945 .某期末年金(半年一次)为：800, 750, 700, . . . , 350。已知半年结算名利率为16%。若记：A = a1°?p8%,试用A表示这个年金的现值。解：考虑把此年金分割成300

18、元的固定年金和500元的递减，故有：2 X (10 - A)300a10?p8%+ 500(Da)10|8% = 300A +i(2)= 6250 - 325A46 .年利率8%的十年储蓄：前5年每年初存入1000元，然后每年递增5%0计算第 十年底的余额。解：由题意：AV =1000s? 5P8%(1 + 8%)6+ (1000 1.05 K085+1000 M.052X 1.084+ + 1000 1.055X 1.08)=100 0(1 + 8%)5 -8%1 R 1.086+ 1000X.05K0851. (81)5511.051.0S-=16606.7247 .已知永久年金的方式为：

19、第 5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年 底各300元，依此类推。证明其现值为：100金融数学系i - vd版权所有，翻版必究解：把年金分解成：从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久 年金.。从而P V =v4 200 1 = 100V4 1 1= 100 v4i a?2pi ii 1 - v 2 i - vd48 .十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元证明其现值为：1600 10?P (I(4)(4)1| 元证： 首先把一年四次的付款折到年初：m = 4, n = 1, R = 100m2= 16

20、00从而每年初当年的年金现值：1600(1(4) .元1|再贴现到开始时：1600 ,10?p(l(4) ')(4)1| 元49 .从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3%,年利率8%,计算现值。解： 半年的实利率：j = (1 + 8%) 12- 1 = 3.923%/U3 ,1.032一 + 1 + j (1 + j)21.03=(1 -1 + j )-1=112.5950 .某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9个月每月初500元，共计4年。证明当前的准备金为：6000 ?4P_'(12V12I证： 首先把9个月的支付贴现到年初：m = 12, n

21、 = 9/12, R = 500m = 6000从而每年初当年的年金现值：6000 (呀9/12|贴现到当前：6000 ?4P_(12)9/12|北京大学数学科学学院金融数学 系第10页版权所有，翻版必究51 .现有如下的永久年金：第一个 k年每年底还；第二个k年每年底还2R ;第三 个k年每年底还3R;依此类推。给出现值表达式。解：把此年金看成从第nk年开始的每年为R的永久年金（n = 0,1,2, ）: 每个年金的值为Ra-?p在分散在每个k年的区段里：Ran再按标准永久年金求现值：R缸）2aki52 .X表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X表示首次付款从第三年底开始的永

22、久年金：1,2, 3, 的现值。计算贴现率。ii x=-i 1+i120X = (1'i+i2)(1+i)2解：由题意:解得：i = 0.05即：d =i1+= 0.0476253 .四年一次的永久年金：首次 案有出入1元，每次增加5元，v4= 0.75,计算现值。与原答解：（期初年金）P V = 1 + 6v4+ 11v9+ 一 =（期末年金）(5n - 4)v (4n-4)=i=15- - 4 = 64(1 - v 4)21 - v4P V59.5587=v + 6v5+ 11v10 + = v P V =54 .永久连续年金的年金函数为 金现值。与原答案有出入:（1 + k）t,

23、年利率i,如果：0 < k < i ,计算该年解:由于0 < k < i ,故下列广义积分收敛二北京大学数学科学学院金融数学系第11页00 1 + k)tdt= 0 ( 1 + i1ln(1 + i) - ln(1 + k)55 .递延一年的i3年连续年金的年金函数为t2- i ,利息力为（i + t）-i ,计算该年 金现值。与原答案有出入解:J 1P V = exp(- 0 E dt)(t2-1) exp(-11Tds)dt = 47.4356 .给出下列符号的表达式：t=i(Ia)tit=i(Da)ti解:由（Ia）ti表达式有:(Ia)ti t=intvtntP

24、? -tvit=i1 Ei Ei t=i1 Ei t=i(1 + i) - v t-i-1i (IaL|展开求和即得由（Da”表达式有:i21 t=1.n(1 + i) - 2 ?p + nvnEt - a? tPt=i(Da)tit=it=i t=in(n 1 1)-1. (n - a? np ) 2 i22n(n + 1) - n + a? npi2递增期末年金。分别对两种年金的现值之差为 0和得到极大两种情况计算年利 率。北京大学数学科学学院金融数学系第 12 页版权所有，翻版必究北京大学数学科学学院金融数学系第13页解：年金现值分别为:P Va =P Vb =P pa«?pi

25、=- i q q q(IaE i = + 口当P Va= P Vb时有:ip = iq + qi=q P-q,P > q解得：i不存在，p & qp q qi2+i2 + 2 i3= 0(2)令 f(i) =pi-i -iq2f0(i)=-解得：i p-q p > q 2=_q 58.某零件的使用寿命为9年，单位售价为2元；另一种产品，使用寿命15年，单 价增加X。如果某人需要35年的使用期，假定在此期间两种产品的价格均以年增4%的幅度增加，要使两种产品无差异的 X为多少？（缺少利率？下面的计算年利率i = 5%）（与原答案有出入）解：用9年一周期的产品，则有支付的现值为:

26、 1 041041 04P V尸 2 *1 + ( 10)9+ ( 1 0 )18+ ( 1 0 )27555用15年一周期的产品，则有支付的现值为二一1.041.04P V2= (2 + X)仅+ ( 1.0 )15+( 1.0 Ml由 P V1= p V2有：X = 0.69925559 .计算m + n年的标准期末年金的终值。已知：前 m年年利率7%,后n年年利率 11%, Sm?p7%=34, S?np11% = 128。解：由 S2p 的表达式有：(1 + 0.11)n= 0.11S?M1%+ 1AV = Sm?p7%X(1 + 0.11)n+ S?np11%=Sm?p7%X(0.1

27、1S?np11% + 1) + S?np11%=640.72版权所有，翻版必究60 .甲持有A股票100股，乙持有B股票100股，两种股票都是每股10元。A股票每 年底每股分得红利0.43E,共计10年，在第10次分红后，甲以每股2元的价格将所 有的股票出售，假设甲以年利率6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。B股票在前10年没有红利U入，从第11年底开始每年每股分得红利0.8076,如果乙也 是以年利率6%进行投资，并且在n年后出售其股票。为了使甲乙在乙的股票出售 时刻的累积收入相同，分别对 n = 15, 20两种情况计算乙的股票出售价格。解：设X为买价，有价值方程：0.4s0?p6%

28、+ 2 = 0.8Sn-10|6%+X(1 + 0.06) -(n-10)从而有：X = (0.4S10?p6%+ 2- 0.8s-10|6%)(1 + 0.06)(n-10)5.22 n = 15解得：X =2.48 n = 2061 .某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动，每年的 6月30日和12月31日用半年结算名利率8%结算利息。另外，从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐款5000元。(从1991年的7月开始？)每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖金。计算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余额。解：由题意：AV = 100000(1 + 4%) 20+ 5000s2

29、0?p4% - 12000(1 + 4%)s20?P4% = 109926.021S?2P4%s?2 P4%62 .已知贷款L经过N (偶数)次、每次K元还清，利率i。如果将还贷款次数减少 一半，记每次的还款为 Ki,试比较Ki与2K的大小。解：由题意：1Ka?pi = Ka2m?pi? Ki= K 1 + (1 + i) m < 2K63 .已知贷款L经过N次、每次K元还清，利率i。如果将每次的还款额增加一倍， 比较新的还款次数与N/2的大小。解：由题意：N 一”.1 +、 N2KaM?pi=KaN?pi? vM= v > v 22即：M < N/264 .从1990年的元

30、旦开始在每年的1月和7月的第一天存款500元，年利率6%,问: 什么时刻，余额首次超过一万元、十万元。解：半年实利率：i = (1 + 6%) 1/2- 1 = 2.9563%余额首次超过X的时刻：500 2n|i > X8X = 10000从而解得：n弋35 X = 10000065 .帐户A从1985年元旦开始每年初存款1000元，共计10年；帐户B从1985年元旦 开始每年初存款500元；两帐户年利率均为5%。问：何时帐户B的余额首次超过帐 户Ao解：由题意，设所求时间为n:1000 10?p5% <500 ?nP5%解得：n - 1)30在2015年的元旦B超过A。66 .

31、已知A = Sn|i,B = Sn+1|i0用A和B给出n和i的表达式。解：由=(1”二1 得：(1 + i)A = B - 1 i从而 i =b-a-iAl(A+1)带入 Sn|i=A解得：n =B2-A-1ln(，A)67.分别对以下三种情况给出i的表达式：1)A = a?npi, B= S?npi2)A = a?npi, B= a2?npi3)A = a?npi, B= S2?npiV解：1)Bvn= A ? i =nBa - 12)ia?nP +甫=2 ? i“aB23)v2nB= A + vnA ? i =nv2BA+A2+4AB - 168 .对于固定的n和L ,且L > n

32、 ,证明：L = a?nP在-1 < i < 1上有唯一解。版权所有，翻版必究证：(斯图姆判别？)考虑如下现金流：初始时刻投入 L,而后的n年每年末得到回 报1,从而此投资的内部收益率i满足L = a?nPi由于现金流只改变一次方向，从而由笛卡儿符号法则有，在 -1 < i < 1,有 唯一的内部收益率。69 .证明：(Ia)npi+(Da)ni= (n + 1)&酬$+"小次个+ 1)。并给出实际背景解释。n, n - 1, ； 1证：1) ?1)实际意义：现金流拆分(n + 1), (n + 1), 一,(n +1,2, , , n(Ia)nPi+

33、 (Dab=？ np nvn+n- a?nP ii=a?nP (Ld)+n(1 - vn) i=(n + 1)a?nP2)实际意义：终值是本金(n + 1)和利息利滚利i(Is)npi的结果:i(Is)jpi+ (n + 1)=s+1j- (n + 1)i i + (n + 1)=S+1|70 .当i > 0, n > 0 时，有:(Ia),pi < (n + 1)/2a?npi< (Da"i证： 由 69题有:(Ia)nPi+(Da)nPi/2 = (n + 1)a?nP，2从而，只要证：(Ia)nPi<(Da)_nPi(?)注意到:(DaQ - (I

34、a)nPi ? (n - 1), (n - 3), , -(n - 3), -(n - 1) 这年金 前后对称，而后面的贴现因子比较大，从而有 (？)成立。71 .某雇员在退休前的第37年参加企业养老金计划，当时年收入为18,000元，然后 每年以4%的速度增加(假定提薪恰好在每年的年中进行)。1)分别对以下两种退 休金方式计算年退休金占退休前一年年薪的比例：如果年退休金为工作期间年 平均工资的70%;年退休金为年平均工资的 2.5%再乘以工作年限。2如果企业和个人分别将年工资的3%存入年利率6%的养老基金，试对以上两种 退休金方式计算退休金的领取年限。解:1)平均工资:$ = 18000(1

35、 + 1.04 + - + 1.0436)/37 = 39747.04退休前一年的工资：18000 X(1 + 0.04)36= 73870.79法一：年退休金：0.7$ = 27822.93，比例为：37.66%法二：年退休金：0.25$ >37 = 36766.01，比例为：49.77%2)企业和个人各存3%则一共存6%,从而这笔基金的终值为：26P = 18000 >6% X (1 + 4%)t(1 + 6%)36-t = 235871.7t=0设年退休金为R,则有：R ?nP6% < P解得：n = 12第一I种方式8第二种方式72 .已知永久期初年金为：首次1元；第

36、二年初1 + 2元；第三年初1 + 2 + 3元；依此 类推；第n年初1 + 2 + > + n元。证明该年金的现值为 小(I工p。解：进行现金流拆分：从第一年出发的一份标准永久年金，从第二年出发的两份标准永久年金，-，从第n年出发的n份标准永久年金>-。分别求各个子 现金流的现值得到如下的现金流：,2 口,.一，n_3P,.一其现值即为原年金的现值：三(I匕。73 .已知连续年金函数为f(t), 0时刻的年金为F。，利息力弓如果用Ft表示时刻t的 年金终值，证明：酝=>+ f (t)dt证： 由定义广广Ft=f (s)e(t-s) cfe= et s f (s)e-s) ds00dFT/dt = 跄t 0 f (s)e- s ds+ f(t) = t+ f (t)74 . A从B处借得10,000元，年利率4%,计划分40次按季度等额偿还。在第6年 底，B希望立即收回所有借款，因此将今后接受还款的权利转卖给C,转卖价格使C今后几年的年收益率将达到6%，计算转卖价格。北京大学数学科学学院金融数学系第19页解：