初三数学有关圆的经典例题教学内容

1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除cos / OAEAE 2OA 2初三数学有关圆的经典例题1 .在半径为1的OO中，弦AB、AC的长分别为 J3和J2,求/ BAC的度数。分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意 AB与AC有不同的位置关系。解：由题意画图，分 AB、AC在圆心。的同侧、异侧两种情况 讨论，当AB、AC在圆心O的异侧时，如下图所示，过。作ODLAB于D,过。作OELAC于E,v AB J3, AC J2, ADAD 3 OA 1, cos / OAD OA 2./OAD=30 ° , / OAE=45 ° ,故/ BAC=75当A

2、B、AC在圆心O同侧时，如下图所示，同理可知/ OAD=30 ° , / OAE=45 ° , ./ BAC=15 °点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。例2.如图： ABC的顶点A、B在。O上，O O的半径为如果点D既是AB的中点，又是AC边的中点，(1)求证： ABC是直角三角形；(2)求Q的值BC分析由D为AB的中点，联想到垂径定理的推论，连结OD交AB于F,则AF=FB , ODXAB ,可证 DF是 ABC的中位线；只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除(2)延长 DO交。于E,连接AE,由于/ DAE=90s、DAE

3、,可得 AD2 DF DE,而 DF1 -BC, DE2一 AD2,2R,故可求BC解：(1)证明，作直径 DE交AB于F,交圆于E. D为 AB 的中点，ABIDE, AF FB又 AD=DC一 ，一 一1 一DF / BC, DF1BC2 AB XBC,. ABC是直角三角形。(2)解：连结AE DE是。O的直径/ DAE=90 °而 AB，DE,ADFA EDA ADDEv DEDF,即 AD2DE . DFAD1 - 2R, DF 1BC2_ 2：ADBC - R,故里BC例3.如图，在。O中,AB=2CD ,那么（A. AB 2CDB. AB 2CDFDC. AB 2CDD

4、. AB与2CD的大小关系不确定分析：要比较AB与2CD的大小，可以用下面两种思路进行：(1)把AB的一半作出来，然后比较 1AB与CD的大小。2(2)把2CD作出来，变成一段弧，然后比较2CD与AB的大小。解：解法(一)，如图，过圆心 。作半径OFLAB,垂足为E,则AFAE. AB AF1FB 1 AB21EB AB22CD, AE在 AFB2AF选 A o解法（二）则DE在 ACDECDFB中，有 AF+FB>ABAB, AF2CD，如图，作弦1 CD CE中,2CD>CE AB=2CD ,AB21 AB2AF CD,2 AF 2CDDE=CD ,连结 CE2有 CD+DE&

5、gt;CEAB>CEAB CE ,AB 2CD如图，四边形ABCD内接于半径为求CD的长。分析：连结BD,由AB=BC ,可得AB、DC 交于 E,易得 EBCsEDA的直径，得/ ABD=90 先求出CE的长。0CD,又可判定AD是。O,可证得 ABD EBD ,得 DE=AD利用 EBCA EDA ,可解：延长AB、DC交于E点，连结BD-1. AB BC 1 AD 14AB BC , AD 4, ./ ADB / EDB此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除。0的半径为2,，AD是。O的直径2 .Z ABD= /EBD=90° ,又; BD=BD . ABDEBD

6、, AB=BE=1 , AD=DE=4四边形ABCD内接于。O,/ EBC= / EDA , / ECB= / EADCEAEBC i . EBCs/X EDA,巴一AD.CEBC - AEADBC(AB BE) 1 1Ad 丁-17 CD DE CE 4 1 722例5.如图，AB、AC分别是O O的直径和弦，D为劣弧AC上一点，DEXAB 于H,交。0于点E,交AC于点F, P为ED的延长线上一点。(1)当 PCF满足什么条件时，PC与。0相切，为什么?(2)当点D在劣弧AC的什么位置时，才能使 AD2 DE DF,为什么?分析：由题意容易想到作辅助线 0C,(1)要使PC与。0相切，只要

7、使/ PCO=90 °，问题转化为使/ OCA+ /PCF=/FAH+ /AFH就可以了。(2)要使 AD2 DE DF ,即使-AD- -DF ,也就是使 DAFA DEADE AD解：(1)当 PC=PF,(或/ PCF=/PFC)时，PC 与。0 相切，下面对满足条件 PC=PF进行证明，连结 0C,则/ OCA= / FAH ,PC=PF, . PCF=ZPFC=Z AFH ,3 DEXAB 于 H, ./ OCA+/ PCF= / FAH+ ZAFH=90 °即 OCPC,PC与。0 相切。（2）当点D是劣弧AC的中点时，AD2 DE DF,理由如下：连结 AE,

8、 v AD CD, DAF Z DEA又 :/ADF /EDA, . DAFsz DEA,处 DF DE AD即 AD 2=DE - DF点拨：本题是一道条件探索问题，第（1）问是要探求 PCF满足什么条件时，PC与 。相切，可以反过来，把PC与。相切作为条件，探索 PCF的形状，显然有多个答案； 第（2）问也可将AD2=de DF作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D的位置。1例6.如图，四边形ABCD是矩形（AB -BC）,以BC为直径作半圆O,过点2D作半圆的切线交 AB于E,切点为F,若AE: BE=2 : 1 ,求tan/ADE的值。分析：要求tan/ADE,在RtAAED中，若能

9、求出 AE、AD ,根据正切的定义就可以 得至ij。ED=EF+FD ,而EF=EB , FD=CD ,结合矩形的性质，可以得到 ED和AE的关系, 进一步可求出 AE: AD。解：二.四边形 ABCD为矩形，BCXAB , BC XDC.AB、DC切。O于点B和点C, DE 切O O 于 F,DF=DC , EF=EB ,即 DE=DC+EB ,又AE: EB=2 : 1 ,设 BE=x,贝 U AE=2x , DC=AB=3x ,DE=DC+EB=4x ,在 RtAAED 中，AE=2x , DE=4x , AD 2 . 3x则 tan / ADE 生-2x 江AD 2、. 3x 3点拨：

10、本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。例7.已知。O1与。O2相交于A、B两点，且点 O2在。1上，（1）如下图，AD是。O2的直径，连结 DB并延长交。O1于C,求证CO2 1AD ;此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除(2)如下图，如果 AD是。O2的一条弦，连结 DB并延长交。Oi于C,那么CO2所在 直线是否与 AD垂直？证明你的结论。C分析：(1)要证 CO2± AD ,只需证/ CO2D=90° ,即需证/ D+/C=90° ,考虑到 AD是。O2的直径，连结公共弦 AB,则/ A=/C, / DBA=90 &#

11、176; ,问题就可以得证。(2)问题是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC,直观上看，AC等于CD,到底AC与CD是否相等呢？考虑到 O2在OOi±,连结AO2、DO2、BO2,可得/ 1 = Z2,且有 AO2CA DO2C,故 CA=CD ,可得结论 CO2±AD o解：(1)证明，连结 AB , AD为直径，则/ ABD=90 °/ D+ / BAD=90 °又. / BAD= /C, D+/C=90° ./ CO2D=90 ° ,CO21AD(2) CO2所在直线与 AD垂直，证明：连结 O2A、O2B、O2D、AC

12、在AO2c 与ADO2c 中. O2A O2B,AO2 BO2 , ./ 1 Z 2 / O2BD= / O2AC ,又/ O2BD= ZO2DB, / O2AC= Z O2DB . O2C=O2C,AO2CADO2C, /. CA=CD ,.CAD为等腰三角形， CO2为顶角平分线，CO2±ADo例8.如下图，已知正三角形ABC的边长为a,分别为A、B、C为圆心， .a .以一为半径的圆相切于点 01、O2、O3,求O1O2、O2O3、0301sl成的图形面2积So (图中阴影部分)只供学习与交流分析：阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。斛：SAABCa2, 3s扇3>

13、;< 6此题可变式为如下图所示，O A、OB、OC两两不相交，且它们的半径都为a,求图中三个扇形（阴影部分）的面积之和分析：因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为/ A+/B+/C=180° ,因而三个扇形拼起来正好是一个半圆，故所求图形面积为一a2,8原题可在上一题基础上进一步变形：O Al、OA2、。A3。An相外离，它们的半径都 是1,顺次连结n个圆心得到的n边形AlA2A3An,求n个扇形的面积之和。解题思路同上。加（n 2）解：2、填空题（10X 4=40分）1 .已知：一个圆的弦切角是50。，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为 O2 .圆内接

14、四边形 ABCD中，如果/ A: / B: / C=2: 3: 4,那么/ D=度。3 .若。O的半径为3,圆外一点 P到圆心 O的距离为6,则点P到。O的切线长为O4 .如图所示CD是。的直径，AB是弦，CDXAB于M ,则可得出AM=MB , AC BC等多个结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论:5 . OOi与OO2的半径分别是 3和4,圆心距为4x/3,那么这两圆的公切线的条数是6 .圆柱的高是13cm,底面圆的直径是 6cm,则它的侧面展开图的面积是 。7 .已知：如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度 AB=16cm ,拱高CD=4cm ,那么拱形的 半径是。8 .若PA是。的切线

15、，A为切点，割线 PBC交。于B,若BC=20 , PA= 10 J3,则PC的长为。9 .如图5, ABC内接于。O,点P是AC上任意一点（不与A、C重 合）， ABC 55，则 POC的取值范围是 10.如图，量角器外沿上有 A B两点，它们的读数分别是70。、40° ,则/ 1的度数为（第9题图）11 .已知e O的半径是 3,圆心 O到直线l的距离是3,则直线l与e O的位置关系是.12 .如图，已知点 E是圆O上的点，B、C分别是劣弧 AD的三等分点， BOC 46°,则 AED的度数为.13 .如图，RtzXABC 中 ACB 90°, AC 4 ,

16、BC 3 .将 ABC绕AC所在的直线f旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的侧面积.（取3.14 ,结果保留两个有效数字）14.如图8,MAB 30°,过M点的e O的切线交 AB延15 .如图，AB是e O的直径，AM 为弦,长线于点 N .若ON 12cm，则e O的半径为cm .16 .如图，RtAABC是由RtzXABC绕B点顺时针旋转而得，且点 A B, C在同一条直线上，在 RtzXABC中，若/C 90°, BC 2, AB 4，则斜边 AB旋转到A B所扫过的扇形面积为PB ,切点分别是 A, B ,若PA 8cm ,，过点C作圆。的切线，分别交PA, PB1

17、7.如图，从圆O外一点P引圆。的两条切线PA, C是Ab上的一个动点（点C与A, B两点不重合） 于点D, E ,则 APED的周长是.此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除18、在平面内，O。的半径为5cm,点P到圆心。的距离为3cm,则点P与。的位置关系 是.19 .如图8,在RtzXABC中， C 90°, AC 3 .将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA, BC为半径的圆形成一圆环.则该圆环的面积为 .20 .如图9,点A, B是e O上两点， AB 10,点p是e O上的动点（p与A, B不重 合）连结AP, PB,过点O分别作OE AP于点E，OF PB于点F，则

18、EF 三、解答题:1 .已知：如图所示，O O1和。O2相交于A、B两点，过B点作。O1的切线交。O2于D, 连结DA并延长与。O1相交于C点，连结BC。过A点作AE / BC与。O2相交于E点，与 BD相交于F点。E(1)求证：EF - BC=DE - AC ；(2)若 AD=3 , AC=1 , AF V3,求 EF 的长。2 .某单位搞绿化，要在一块图形的空地上种四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同 颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，要求设计的图案 成轴对称图形或中心对称图形。请在如图所示的圆中画出三种设计方案。（只画示意图， 不写作法）。3 .已知： A

19、BC是。O的内接三角形，BT为。O的切线，B为切点，P为直线AB上一 点，过点P作BC的平行线交直线 BT于点E,交直线AC于点F。只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除（1）如图所示，当点 P在线段AB上时，求证：PA PB=PE PF;6、已知：如图，在 RtzXABC中,C 90°,点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与 AC, AB分别交于点D, E，且 CBD（1）判断直线BD与e O的位置关系，并证明你的结论;（2）若 AD:AO 8:5，BC 2,求 BD 的长7、如图，在梯形 ABCDKAB/ CD。为内切圆，E为切点,（2）当点P为线段BA

20、延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请 证明；如果不成立，请说明理由；（3）若 AB 4a cos / EBA 1 ,求。O 的半径。34 .如图， ABC是e O的内接三角形，点 C是优弧AB上一点（点C不与A B重合）， 设 OAB ， C （ 1）当 35o时，求 的度数；（2）猜想 与 之间的关 系，并给予证明.5 、 （8分）已知：如图，在 ABC43, AB=AC以与边AB相交于点D,切线DH AC垂足为点E.求证：（1） ABB等边三角形；（2） ae（I）求 AOD的度数；（）若 AO 8 cm, DO 6 cm,求OE的长.此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除8、已知RtAABC, ACB 90 , CA CB ,有一个圆心角为45 ,半径的长等于CA 的扇形CEF绕点C旋转，且直线 CE CF分别与直线 A