果建平-数学思想和数学方法并重搞好高三复习备考

1、题目：数学思想和数学方法并重，做好高三复习备考工作作 者：果建平 姜涛作者单位：湖北省襄阳市南漳县高级中学 邮 编：441500联系电话18986376528数学思想和数学方法并重，做好高三复习备考工作 主题词：高三数学复习备考现状-数学思想和数学方法并重-形成数学思想，提高数学能力 内容摘要：针对高三复习备考中，只重视基础知识传授而忽略数学思想的渗透或单纯强调数学思想而不重视双基的训练和能力的形成这两种现状，分析二者的弊病和危害。从准确讲解基础知识，全面介授基本技能，完整讲述数学思想这三个方面，通过大量实例，强调只有将数学思想，数学方法与基础知识的讲授融为一体，才能

2、培养学生的数学思想，提高学生的数学能力，为高三复习备考打好基础。实施以培养创新精神和实践能力为重点的素质教育，是教育的目标.如何在高三数学教学中提高学生的数学素养，就是摆在高三数学教师面前的重要任务.在目前的高考复习中存在两种教学方法：一是只重视基础知识的讲授，而不重视数学思想的渗透的教学方法.二是单纯强调数学思想，而忽略基础知识的掌握的教学方法. 前者将教学目标定位于较低层面,学生无法形成数学思想，更谈不上形成能力了；后者使数学方法的掌握和数学思想的形成成为无源之水、无本之木，因此都不是好方法.我认为将数学思想、数学方法的教学与基础知识的讲授融为一体的方法才是好方法，因为只有这样才能使学生在

3、基础知识学好了的同时，数学思想也形成了，数学能力也提高了.下面谈一谈本人在这方面的一些体会.1、 准确讲解基础知识有的学生轻视对数学基础知识的学习，他们连一些基本概念的定义都说不出，面对一些基本的数学问题都束手无策，却总认为是自己没有掌握这样或那样的技巧，孰不知这是他们没有掌握基础知识、基本方法所致.其实学数学也象建房子一样，“万丈高楼平地起”嘛.（1） 教师对基础知识的讲解必须准确、到位.高中数学中有很多概念看似简单，但教师没有讲清楚或未作特别强调时学生也很难掌握.例1 空集是一个特殊的集合，学生对它的理解往往不能到位.当问“”是否正确时，很多同学说不正确(认为相等)，当我讲可把理解为空箱子

4、中装有空箱子时，他们才茅塞顿开.例2 “函数的定义域是（2 ，3）”与“函数在（2 ，3）上有意义”是不同的. 已知函数的定义域为（2 ，3），求实数a的取值范围； 已知函数在（2 ，3）上有意义，求实数a的取值范围.解：据题意，因为函数的定义域为（2 ，3），所以当且仅当时>0.所以不等式>0的解集是，方程0的两根分别为2和3.据题意，因为函数在（2 ，3）上有意义，所以当时>0.即不等式>0的解集，方程的两根分别在和内，.例3 “函数的值域是”与“函数值”是不同的.已知函数的值域为，求实数a的取值范围；已知函数, 且，求实数a的取值范围. 解：据题意，.所以，当时，

5、即或4.据题意，抛物线与轴相离或相切，例4 “取遍正值”与“取正值”是不同的.已知关于的函数的值域是，则的取值范围是 ；已知关于的函数的定义域是，则的取值范围是 .解：要使函数的值域为R，必须使取遍所有正数（不是取正数），；函数的定义域为R，则只需取正值，即恒成立，.例5 两向量夹钝角与这两向量的夹角余弦为负是不同的.设平面向量=(2，1)， =( ，1 )，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 . 解：又设，则，即时和反向共线，例6 对于定义在R上的函数y=f (x): 若，则y=f (x)的图象关于直线x=对称 ；函数的图象关于直线对称.解：的图象关于直线.先将函数的图象向右平移（不妨设）个单

6、位，就得到与的图象，而与的图象关于直线对称，再将与的图象向左平移个单位，此时的对称轴方程变为.（2） 教师应及时指出教科书中的错误.数学教科书中存在一些错误，我们要及时指出.例 7 命题的否定就是否定结论吗？命题“矩形的对角线相等”的否定应该是“存在对角线不相等的矩形”，而不是“矩形的对角线不相等”.例8 “平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值为一常数2a(2a<| F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.”吗？不对，应满足 0<2a<| F1F2|.类似地，抛物线的定义中还要注意加上“点在直线外”的条件.2、全面介绍基本技能学生除了要掌握前面列举的基本技能外，还必须掌握以下技

7、能：例9 分离常数法. 已知函数y=，求它的值域并作出它的图像.解：，变形至此，函数的值域的求法和图像的作法就很简单了.值域为y|y，图像此略.例10 分离变量法: 已知1+2x+3x·a0在(,1上恒成立，求a的取值范围.解：， 且函数为增函数，.1/41/61/31/21/5例11 正难则反法. 求对立事件的概率是正难则反法的很好应用.如图，电路中五个方框处都为保险匣，框内数字为通电后一天内保险丝被烧断的概率，假设通电后保险丝是否被烧断是相互独立的，求通电后一天内电路不断路的概率. 解：我们知道，串联电路不通和并联电路通的情况都比较多，若从反面考虑就比较简单了.设前后两系统分别为

8、A,B，则(A不通)，(B不通)，(A通且B通)例12 对偶法.若函数满足求函数的解析式.ABCDEOA1H解：将换为，则得关于的方程组解之得.例13 类比法.所谓类比，就是根据两种事物在某些特征上的相似作出它们或然性的推理，其结论是否正确还有待证明.正三角形的内切圆半径r与外接圆半径R之比为1:2，R是高的，试用类比的思想回答正四面体相类似的问题，并证明.解：构造以正四面体的棱为面对角线的正方体，则正方体的对角线长即为正四面体外接球的直径，所以正方体的棱长为，因此正四面体的外接球的半径，所以 R是高的.例14 反客为主法. 设不等式mx2-2x-m+10对于满足|m|2的一切m的值都成立，求

9、x的取值范围 .解：原不等式即（反客为主），设，据题意，.例15 点差法（设而不求）法.已知双曲线方程试问是否存在被B(1,1)所平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程，如果不存在，说明理由.解：设A(x1,y1), B(x2,y2)是双曲线的弦的两个端点，则两式相减，得，将直线方程代入双曲线方程，得，所求直线不存在. 注意：用“设而不求”法时一定要注意0的条件.3、完整讲述基本思想数学思想蕴含于基础知识之中，是数学的精髓教师只有在讲授基础知识的过程中不断渗透相关的数学思想，才能使学生的基础知识达到一个质的“飞跃”.在数学方法的讲授中教师还要有意识地选择具有综合性的试题，把个题的解法看成是某

10、一方法、某一思想的具体应用，讲解其本质的东西，这样才能使学生举一反三、触类旁通，才能将掌握的方法应用于各章节的知识中.（1）函数与方程的思想. 函数与方程的思想，就是指从问题的数量关系入手，利用函数或方程的概念和性质去转化或解决问题的思想. 一元二次不等式的解法是最典型的函数与方程的思想的应用.下面再举一例.例16 三个数a、b、c成等比数列，若成立，则b的取值范围为.解：法1（函数思想）：设公比为，则，只需求函数 的值域，用判别式法可得.法2（方程思想）：的两根. 且，.（2）数形结合思想.著名数学家华罗庚对数形结合的思想有过精辟的论述：“数缺形时少知觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离

11、分家万事非”.这说明，以形助数，可使抽象的概念和复杂的关系直观化；而以数解形，则可使定性的关系定量化.例17 若方程k(x-2)+4=1+在内有两个不等实根，求实数k的取值范围.解：“数有形时多直觉”：问题可转化为“若曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个公共点时，求实数k的取值范围”. “形有数时好入微”：对于过定点点的动直线，当它与半圆相切时，由可得；当它过点时，.（3）分类讨论思想.有些问题，局部与整体之间存在着必然的因果关系.当对问题的整体研究有困难时，转而研究其各个局部，这就是分类讨论的思想.分类讨论时，必须要按“同一标准”和“不重不漏”的原则进行.例18 由12个人组成的课外文娱小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，2个人既会跳舞也会唱歌，若从中选4个会跳舞和4个会唱歌的人去排演节目，共有多少种不同的选法？解：按4个会跳舞的人“来自哪里”分类，因此，不同的选法数为（4）化归与转化思想：将复杂向简单转化、将未知向已知转化，从而使问题获得解决.这就是化归与转化的思想. BAI例19 设集合I=，若集合A、B满足AB=I，则称(A,B)为集合I的一种分拆，并规定：当且仅当A=