23.中考数学专题复习正多边形与圆尖子生同步培优题典(解析版)

1、专题2.6正多边形与圆姓名： 班级： 得分：注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，t龙题共20题.答卷前，考生务必用 0.5毫米黑色签字笔将自 己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、选择题（本大题共 8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （2019秋？海陵区校级期中）正方形的外接圆半径等于 2,则这个正方形边长为（）A. 2v2B. 2C. v2D. 4【分析】明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，求出对角线长即可.【解析】正方形外接圆直径为正方形的对角线长.正方形的外接圆半径为 2,，正方形的对角线长为 4,_.、, 一

2、，一 一、. v2 一正方形的边长为 4 X = 2v.故选：A.2. （2019秋？宿豫区期中）如图，正六边形 ABCDEF的半径为6,则它的面积为（）A FsO£C DA. 27V3B. 54v3C. 108D. 36 兀【分析】由于正六边形可以分成六个边长的正三角形，而正多边形的半径即为正三角形的边长，所以首先求出正三角形的面积即可求出正六边形的面积，而正三角形的高可以利用解直角三角形解决问题.【解析】如图，连接 OC, OD过。作OHLCD于H,正六边形 ABCDEF的半径为6,，正六边形 ABCDEF内接于。O,。的半径为6,而正六边形可以分成六个边长相等的正三角形，正多边

3、形的半径即为正三角形的边长，正三角形的边长为 6,，正三角形的高为6Xsin60° = 3V3,，该正六边形的面积为 6X 1 X6X 3v3 = 54v3.故选：B.3. （2019秋？崇川区校级期中）若同一个圆的内接正三角形、正六边形的边长分别记作a3, a6,则a3： a6等于（）A. 1: v3B. 1: 3C. 3: 1D. v3: 1【分析】从中心向边作垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得.【解析】设圆的半径是 r,则多边形的半径是r,如图1,则内接正三角形的边长a3=2rsin60° = v3r,图1如图2,正六边形的边长是a6=r,国2因而半径相等的圆

4、的内接正三角形、正六边形的边长之比a3： a6= v3： 1.故选：D.4. （2019秋？建湖县期中）如图，AB、AC分别为。的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接正n边形的一边，则n等于（）10C. 12D. 16【分析】根据正方形以及正三边形的性质得出/AOB= 360- = 90。，/ AOC= 3630- = 120。BOC = 30° ,即可得出 n的值.【解析】连接AO, BO, CO.,进而得出/,AB、AC分别为。的内接正方形、内接正三边形的一边,./AOB= 364°_ = 90。，/ AOC= 363- = 120。， ./ BOC= 30

5、76; ,一 n=36030= 12,5. （2019秋？铜山区期中）如图，点 。是正五边形 ABCDE的中心，则/ AOB的度数是（D. 78A. 65°B. 70°C. 72【分析】由正五边形的性质即可得出答案.【解析】点。是正五边形ABCDE的中心，AOB= 360° + 5=72故选：C.6. （2019秋？无锡期中）已知正方形的周长为8,那么该正方形的外接圆的半径长为（）A. 2B. v2C. 4D. 2v2【分析】根据正方形的性质求出边长，根据正弦的定义计算即可.【解析】正方形的周长为 8,，边长AB=2,:四边形是正方形，./AOB=90°

6、 , . OA = ABX sin45° ="故选：B.7. （2019秋？宿豫区期末）如图，AC是。的内接正四边形的一边，点 B在弧AC上，且BC是。的内接正六边形的一边.若 AB是。O的内接正n边形的一边，则 n的值为（A. 6B. 8C. 10D. 12【分析】根据中心角的度数=360° +边数，列式计算分别求出/ AOB,/BOC的度数，则/AOC = 30 则边数n=360° +中心角.【解析】连接 AO、BO、CO,. AC是。O内接正四边形的一边， ./ AOC= 360° + 6=90° , BC是。内接正六边形的一边

7、， ./ BOC= 360° + 6=60° ,AOB = / AOC/ BOC = 90° 60° =30° ,n = 360° + 30° = 12;故选：D.8. （2019秋？建湖县校级月考）如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形ABCDEF的半径是2V3cm,则这个正六边形的周长是（）A. 12B. 6v3C. 36D. 12V3【分析】由正六边形的性质证出AOB是等边三角形，由等边三角形的性质得出AB=OA,即可得出答案.【解析】设正六边形的中心为O,连接AO, BO,如图所示：. O是正六边形

8、 ABCDEF的中心，AB= BC=CD= DE= EF= FA, /AOB=60° , AO=BO = 2v3cm,.AOB是等边三角形，AB= OA=2v3cm,，正六边形 ABCDEF的周长=6AB=12v3cm.故选：D.二、填空题（本大题共 8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9. （2019秋？宝应县期中）如图，正六边形 ABCDEF内接于。其边长为2,则OO的内接正三角形 ACE的边长为2小【分析】连接 OB交AC于H.首先证明OB，AC,解直角三角形求出 AH即可解决问题.【解析】连接OB交AC于H .C 口在正六边形 ABCDE

9、F 中，AB= BC, /ABC=120° , ?= ?OBXAC, ./ABH = / CBH = 60° , AH = CH , . AH=AB?sin60° = v3,AC= 2v3,故答案为2V3.10. （2019秋？鼓楼区期中）如图， AB是。的内接正方形一边，点 C在弧AB上，且AC是。的内接正六边形的一边，若将 BC看作是。的内接正n边形的一边，则n的值是 12 .C【分析】根据中心角的度数=360° +边数，列式计算分别求出/ AOB,/BOC的度数，则/AOC = 30则边数n=360° +中心角.【解析】连接OC,AB是。

10、O内接正方形的一边，AOB= 360° + 4=90° , BC是。内接正六边形的一边, ./ BOC= 360° + 6=60° , .Z AOC = Z AOB-Z BOC = 90° 60° =30° ,n = 360° + 30° = 12;故答案为：12;C15 / 1311 . （2019秋？江宁区期中）已知正五边形 ABCDE内接于。O,连接BD,则/ ABD的度数是72°EABC、CD = CB,根据等腰三角形的性质求出/2 V2,则正方形的周长是 16一【分析】根据多边形内角和

11、定理、正五边形的性质求出/CBD,计算即可.【解析】五边形 ABCDE为正五边形，.-.ZABC = ZC=（5-2）X 180 = 108。5,. CD = CB,. /CBD= 180 2-108 =36。, ./ABD = / ABC-/ CBD= 72° ,故答案为：72° .12. （2019秋？东台市期中）已知正方形的外接圆的半径为【分析】根据正方形的性质求出对角线，再求出正方形的边长，最后求出面积即可.【解析】正方形的外接圆的半径为2V2,，正方形的对角线长为 4 v2,，正方形的边长为 4v2 +逐=4,，正方形的周长为 4X4= 16,故答案为：16.13

12、. （2019秋？相城区期中）若一个正六边形外接圆的半径是3,则这个正六边形的周长是18 .【分析】根据正六边形的半径等于边长进行解答即可.【解析】正六边形的半径等于边长，正六边形的边长 a = 3,正六边形的周长l=6a=18,故答案为：18.14. （2019秋？灌云县期中）正六边形 ABCDEF的半径为4,则此正六边形的面积为24V3 .【分析】由于正六边形可以分成六个边长的正三角形，而正多边形的半径即为正三角形的边长，所以首先求出正三角形的面积即可求出正六边形的面积，而正三角形的高可以利用解直角三角形解决问题.【解析】正六边形 ABCDEF内接于。O,。的半径为6,而正六边形可以分成六

13、个边长的正三角形，正多边形的半径即为正三角形的边长，正三角形的边长为 4,，正三角形的高为 4Xsin60° = 2V3,，该正六边形的面积为 6X 1 X4X2 v3 =243.故答案为：24 V3.15. （2019秋？泰兴市期中）如图，正六边形ABCDEF的边长为1,连接AC、BE、DF ,则图中灰色四边形的周长为 2+ v3 .C D【分析】据正六边形的性质得出BC = 1=CD = GH, CG=）3 = HD,进而得出四边形 CDHG的周长.【解析】如图：ABCDEF为正六边形ABC= 120° , / CBG=60°又 BC=1= CD=GH ,C

14、D16. （2019秋？镇江期末）如图，。半径为v2,正方形ABCD内接于。0,点E在？?由运动，连接 BE, 作AFBE,垂足为F,连接CF.则CF长的最小值为v5 - 1 .【分析】如图，取 AB的中点K,以AB为直径作OK,想办法求出FK, CK,根据CF > CK - FK即可解决问题.【解析】如图，取 AB的中点K,以AB为直径作OK,AF± BE,，/AFB = 90° , AK= BK,KF = AK=BK, 正方形ABCD的外接圆的半径为 v2,AB= BC= v2?v2=2,KF = AK=KB = 1, . / CBK= 90° , .C

15、K= a/?+ ?=，22+ 12 = v5,.CF>CK-KF,CF> v5- 1 ,.CF的最小值为v5- 1 .故答案为v5- 1.三、解答题（本大题共 4小题，共52分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （2018秋？镇江期末）如图，正方形 ABCD内接于。O, P为黄?一点，连接 DE , AE.（1） / CPD = 45 ° ;（2）若 DC = 4, CP= 2v2 求 DP 的长.©【分析】（1）连接BD,根据正方形 ABCD内接于OO,可得/ CPD = Z DBC = 45° ;（2）作 CH ±DP 于

16、 H,因为 CP = 2 /，Z CPD = 45° ,可得 CH = PH = 2,因为 DC=4,所以 DH = a/? ?,即 DP=PH + DH = 2+2v3.【解析】（1）如图，连接BD,正方形 ABCD内接于。O, P为？?？一点,DBC = 45° , . / CPD = Z DBC, .Z CPD = 45° .故答案为：45;(2)如图，作CHLDP于H, CP= 2v2, / CPD=45° ,.-.CH = PH = 2, DC =4,DH=，？ ？?？=& - 22 = 2v3,.DP = PH + DH = 2+2/

17、.18. (2019秋？镇江期中)如图，正方形ABCD内接于。O, M为？?潮中点，连接 AM , BM .(1)求证：？= ？(2)求？?？勺度数.【分析】(1)根据正方形的性质得到AD=BC,求得？2)？由M为？?砌中点，得到？= ？于是得到结论;(2)连接 OM, OA, OB,求得/ AOB = 90° ,求得/ AOM = / BOM = 1 (360° - 90° ) = 135° ,即可得到结论.【解答】(1)证明：二四边形 ABCD是正方形，AD = BC,？= ？. M为？?？中点，. .?= ?+ ?= ?+ ?, , , , ，.?

18、= ?(2)解：连接 OM, OA, OB,正方形ABCD内接于OO,./AOB=90° , ./ AOM =/ BOM= 1. (360° - 90° ) = 135 2.?的度数时135° .19. (2019秋？东台市期中)如图，。的周长等于 871cm，正六边形 ABCDEF(1)求圆心O到AF的距离；内接于OO.(2)求正六边形 ABCDEF的面积.根据余弦的定义计算即可;【分析】(1)连接OC、OD,作OHXCD于H,根据圆的周长公式求出半径,(2)根据正六边形的性质、三角形的面积公式计算.【解析】(1)连接OC、OD ,作OH，CD于H ,0O的周长等于8Ttcm,半径 OC=4cm,六边形 ABCDE是正六边形，圆心。到 CD 的距离=4Xcos30° = 2v3,圆心。到AF的距离为2v3cm；(2)正六边形 ABCDEF 的面积=J X4X2v3x6=24,cm2.20. （2019?鼓楼区校级模拟）如图，图1、图2、图3、图n分别是OO的内接正三角形 ABC,正四边形ABCD、正五边形 ABCDE、正n边形ABCD，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在 OO上逆时针运动.（1）求图1中/ APN的度数是 60°图2中，/ APN的度数是 90° ，图3中/