最新上海市上海中学高一上学期期末数学试题(解析版)

1、2019-2020学年上海市上海中学高一上学期期末数学试题、单选题 1.设f(x)是定义域为 R的偶函数，且在(，0)递增，下列一定正确的是(第5页共19页23A. f(0) f 2 3 f 2 232C. f 2 2 f 2 3 f log 3423B. f 2 闩 f 2 2 f log34122D. f log3 -f 2 3 f 2 2)上递减，将自变量放在同【解析】首先根据偶函数在(，0)上递增，得到其在(0, 一个单调区间，借助于自变量的大小，得到函数值的大小，从而得到结果【详解】因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，且在(，0)上递增，所以函数f(x)在(0,)上递减，3232因

2、为0 2， 2§,所以f (0)f(2”) f (2 ) ,所以A项不正确；32322万 2 三 1 10g34，所以 f (2 2) f (2 3) f(log34)，1 一1又因为 10g3 10g34,所以 f (1og3 -) f ( 10g34) f (1og3 4),4 4观察B、C D三项很明显 C项正确，故选：C.【点睛】该题考查的是有关根据偶函数在给定区间上的单调性，判断函数值的大小的问题，涉及到的知识点有偶函数图象的对称性，偶函数的定义，根据单调性比较函数值的大小，属于简单题目.2 .函数f(x)的反函数图像向右平移 1个单位，得到函数图像 C ,函数g(x)的图

3、像与函数图像C关于y x成轴对称，那么g(x)()A. f (x 1)B. f (x 1)C. f (x) 1D. f (x) 1【答案】D【解析】 首先设出y g(x)图象上任意一点的坐标为(x, y),求得其关于直线 y x的对称点为(y,x),根据图象变换，得到函数 f(x)的图象上的点为(x, y 1),之后应用点在函数图象上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果 【详解】设yg (x)图象上任意一点的坐标为(x, y), 则其关于直线y x的对称点为(y,x),再将点(y,x)向左平移一个单位，得到 (y 1,x),其关于直线y x的对称点为(x, y 1),该点在函数f(x)的图象

4、上，所以有 y 1 f (x),所以有 y f (x) 1,即 g(x) f (x) 1 ,故选：D.【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x对称，属于简单题目.3 .设方程3 x |lnx|的两个根x1、x2,则()A. x1x20B. x1 x21C. xx21D. x1x2 1【答案】D【解析】作出函数图象，根据图象和对数的运算性质即可求出答案【详解】则 0 % 1 x2, 3 x1ln x1 ,3 x2In m可得In xIn x2 In k In x23 x13 x20 ,所以1nxiIn x20,即

5、 1nxix20 ,所以0 Mx2 1 ,故选：D.【点睛】该题考查的是有关方程的根的大小的判断，涉及到的知识点有对数的运算法则，解决方程根的问题时，可以应用图象的交点来完成，属于简单题目4.己知函数y f(x)定义域为R,满足 f(x 2)2 f (x),且当 x (0,2时,f (x) x(2 x),若对任意x(,m,都 f (x)32一恒成立，则m的取值范围为9A.131B.1433C.163D.17根据题意，首先求出函数 y f (x)在区间(0,2上的值域为0,1,再根据条件f (x32一2) 2f(x),判断当 x (4,6时£(刈0,4 , 0, 4,并求解 x (4,

6、6932时f(x)的解析式，和f (x) 时对应的两根中较小根，即可得到m的取值范围.9当x (0,2时，f (x) x(2 x) (x 1)2 1,可求得f(x) 0,1,且在(0,1上单调增，在1,2上单调减,根据 f(x 2) 2 f (x),可知当 x (2,4, f(x) 0,2,当x (4,6, f (x) 0,4,且f(x)在(4,5上单调增，在5,6上单调减,32，.一因为0,4,当x (4,6时,9f(x) 2f(x 2) 4f(x 4),x 4 (0,2, f(x) 4f (x 4)24 (x 5)1,令 4 (x 5)2 32 1 ,解得x91416或 x , 33所以对

7、任意x (,m,都 f (x)32、一恒成立,9m的取值范围为(134故选：B.该题以分段函数的形式考查了函数的值域，函数解析式的求解，以及利用恒成立求参数取值范围的问题，属于较难题目，解决该题的关键是利用条件可分析函数的图象，利用数形结合比较好分析.二、填空题5.方程lg(2x 1) lgx 1的解为.1【答案】x =.8【解析】在保证对数式白真数大于 0的前提下由对数的差等于商的对数去掉对数符号,求解分式方程得答案.【详解】因为 lg(2x 1) lgx 1 ,所以 1g Ig10 ,xx 0所以2x 1 0 ,2x 1 s10 x1斛得x =-,8- -1故答案为：x=-.8【点睛】该题

8、考查的是有关对数方程的求解问题，在解题的过程中,对数式的运算法则，属于基础题目.6.函数y J -1的值域为.【答案】0,)【解析】根据指数函数的值域，结合根式有意义的条件，【详解】1 x1 x因为(一)x 0 ,所以(一)x 11 ,22根据根式有意义，有(；)x 1 0 ,所以y ,g)x故答案为：0,).注意对数式有意义的条件,求得函数的值域，得到答案1的值域为0,),【点睛】该题考查的是有关函数的值域的求解问题，属于基础题目 7 .若哥函数图像过点(8,4),则此函数的解析式是 y .【答案】3x【解析】先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项.【

9、详解】设备函数的解析式为y x ,2由于函数图象过点(8,4)，故有4 8 ,解得 一，32所以该函数的解析式是v3 ,y x2故答案为：v3 . x该题考查的是有关应用待定系数法求募函数的解析式的问题，属于基础题目8 .若指数函数yax的定义域和值域都是2,4，则a【答案】、. 2【解析】 讨论a 1和0 a 1两种情况，根据函数的单调性计算值域得到答案【详解】当 a 1 时：函数 y f(x) ax单调递增，f 2a2 2,f(4) a4 4 a J2；x24当0 a 1时：函数y f (x) a单调递减，f 2 a 4, f (4) a 2,无解.综上所述：a 、,2故答案为：、,2【点

10、睛】本题考查了函数的定义域和值域，分类讨论是一种常用的方法，需要熟练掌握9 .函数f (x) x2 4x(x 0)的反函数为 ;【答案】2 x 4( x 0)【解析】利用函数表达式解得 x 2 Jy 4 y 0 ,得到反函数.【详解】y f (x) x2 4x x 2 2 4(x 0) x 2, y 4 y 0第5页共19页故函数的反函数为 f 1(x) 2 x 4( x 0)故答案为2 , x-4( x 0)【点睛】本题考查了反函数的计算，忽略掉定义域是容易发生的错误10.若 log33a-3 a0 ,则实数a的取值范围是【答案】(0,1)【解析】将0写成1的对数，之后根据函数的单调性整理出

11、关于a的不等式组，求得结果.【详解】2 2因为 log3- 0，所以 log3- log31，3 a3 a因为函数y log3x是(0,)上的单调增函数，一3 a2.g所以有0 3_a_ 1 ,解得0 a 1 ,3 a所以a的取值范围是(0,1), 故答案为：(0,1).【点睛】该题考查的是有关对数不等式的解法，在解题的过程中，注意结合函数有意义的条件，应用对数函数的单调性，属于简单题目.1 一11 .己知函数f(x)定义域为R,且恒满足f(x) f(2 x) 0, f(x 1),则f(x)函数f (x)的奇偶性为 .【答案】奇函数一，1八一 -【解析】由f(x 1)，能导出f(x)是周期为2

12、的周期函数，由此能够证明f(x)f (x)是奇函数，得到结果.【详解】.1.1.由 f(x 1),得 f(x 2) f(x),f(x)f(x 1)所以f(x)是周期为2的周期函数，所以 f(2 x) f( x),因为 f (x) f(2 x) 0,所以 f(x) f( x) 0,所以f（x）是奇函数，故答案为：奇函数.【点睛】该题考查的是有关函数奇偶性的判断问题，在解题的过程中，注意借助于函数的周期性来完成，属于简单题目.x 12 .函数y单调递增区间为x2 2x 5【解析】 首先判断函数的定义域，得到其图象是不间断的，再讨论当x 0时，将函数-5解析式进行变形得到5 c ,再利用u x 一的

13、单调区间，结合复合函数的单-2xxx调性法则，确定出函数 y 二本身的单调增区间，求得结果x 2x 5因为函数y予的定义域为R,x2 2x 5当x 0时，y 一 x-5因为u x 一在（5 2, x娓）和（石,）上单调递增，在J5,o）和（o, J5上单调递减,1_根据复合函数单调性法则，可知y 5T应该在J5,o）和（o,洞上单调递增,x 2xx而函数y 、本身在x 0处有意义，且函数图象不间断,x2 2x 5所以函数y 2的增区间是75, J5, x 2x 5故答案为：.5, , 5.【点睛】 该题考查的是有关函数单调区间的求解问题，涉及到的知识点有对勾函数的单调区间, 复合函数单调性法则

14、，属于简单题目x 9xc的取值范围13 .函数f (x) 4一2一c在定义域上单调递增，则2x 1【答案】(，1【解析】 首先将函数解析式进行化简，之后令2x 1 t (1,)，将函数化为c . y t 1t (1,)，之后结合复合函数的单调性，求得参数的取值范围 . t【详解】x x4 2c f (x)x2x 1x x2 (21) c2x 12xc _ x-5x(21)2x 1令 2x 1 t (1,)，且t随x的增大而增大,且当c 0时，yc在(1,)上是增函数, t所以函数y t - t1在(1,)上是增函数, ，一一4x 2x所以函数f (x) 4-2-c在定义域上是增函数,1当c 0

15、时，函数yc 1在J2)上是增函数,所以c的取值范围为,1,第11页共19页故答案为：(,1.涉及到的知识点有指该题考查的是有关根据函数的单调性确定参数的取值范围的问题, 数型函数的单调性，对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于中档题目14 .关于x的方程x2 8 m x2 2有两个不同解，则 m的取值范围为 -1【答案】1,1 4x 2【解析】 根据式子的意义，将式子转化为 m 一，将方程有两个不同的解转化为 x 8t 2m 丁工只有一个正根，画出函数图象求得结果t 8因为x2 2 0恒成立，所以原式可化为 x2 8 m X2 2,2x2 2可知x 80 ,所以m r ,8因为方程有两

16、个不同的解，所以x 0不是方程的根，令 x2 t (0,8) U(8,),t 2 一人,则方程m "8只有一个正根，4一，一，1故答案为：(,1. 4【点睛】该题考查的是有关根据方程根的情况求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将问题正确转化，注意应用函数图象解决问题，属于简单题目2 3a15 .已知函数 f(x) ax - , g(x) x ，对任意的 x 1,2,存在 x2 1,2, 4x使得f x g x2恒成立，则a的取值范围为 .【答案】5,4 2【解析】对任意的x1 1,2,存在x2 1,2,使得f g x2恒成立，等价于f (x)min g(x)max在区间1,2

17、上恒成立，对a的取值进行分类讨论，利用单调性求出f (x)min和g(x)min ,列出关于a的不等式组求得答案.【详解】23 一一3当 a 0 时，f(x) ax 在区间1,2上单调递减，f (x)minf(2) 4a -,44，a ag(x) x 在区间1,2上单调递增，g(x)min 1 a, x31所以4a 1 a ,解得a 一 ,因为a 0 ,所以无解；412.,一,3当 a 0时，可知 f(x)min f(1) a4a当0 a 1时，g(x) x 在区间1,2上单调递增，其最小值为g(1) 1 a,x0 a 1所以有 3，无解，a - 1 a4当1 a 4时，g(x) x -在区间

18、1,J上单调减，在Jan上单调增， x其最小值为g(、,a)2,a,a 4 5所以有3 广，解得532. a 24 5所以a的取值范围是5,4,2一， 5故答案为：5,4.2【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有根据题意将恒成立问题向最值转化，求含参的函数在给定区间上的最值，属于中档题目16 .已知函数 f(x) |x 1| |x 3| 1|,若 f 4a2 6a f (4a),则实数 a 的取值范围为.-313 31313【答案】, -,.4424【解析】首先利用分类讨论将函数解析式进行化简，从而分析判断要使一 一 2f (4a6a) f (4a),会出现

19、哪些情况，列出对应的式子求解即可【详解】1 x x 3 1 , x 1因为 f (x) |x 1 x 3 1 x 1 x 3 1 ,1 x 3 , x 1 x 3 1,x 33,x 1即 f (x) 2x 5,1 x 3,1,x 3画出函数图象如图所示:要使f(4a2 6a)f(4a),则有以下几种情况:4a2 6a4a 1，2 一 一1 4a 6a 2.51 4a 2.5,无解；24a6a4a2.54a26a 32.54a3 ，无解.24a6a4a1 4a2 6a 314a 3,无解;.24a 6a 4a 54a2 6a4a 34a24a6a34a2 6a4a 2所以a的取值范围为3133

20、.1313U U一,424),故答案为：313, 313U 1 U-,).4424第15页共19页【点睛】求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有含有该题考查的是有关根据函数值相等，绝对值的式子的化简，函数值相等的条件，属于中档题目.三、解答题17.已知函数f(x)定义域为R,当x 0时，f(x)x2 x lg2x.( 1)若f(x) 是偶函数，求x 0 时 f (x) 的解析式；(2)若f(x)是奇函数，求x R时f(x)的解析式.x2 x lg(2x),(x 0)【答案】 ( 1)f (x) x2 x lg( 2x) ； ( 2) f (x)0,( x 0)x2 x lg( 2x),(x

21、0)【解析】 ( 1)当x 0 时，x 0 ，代入函数解析式，根据偶函数的定义，求得相应区间上的 f (x) 的解析式；( 2) 当 x 0 时， x 0 ， 代入函数解析式，根据奇函数的定义，求得相应区间上的f (x)的解析式，再利用f (0) 0,进而求得f (x)在R上的解析式.【详解】( 1)因为f (x) 为偶函数，当 x 0 时， x 0 ，22则 f ( x) ( x) ( x) lg 2( x) x x lg( 2x) f (x) ，所以当 x 0 时， f (x) x2 x lg( 2x) ；( 2)因为f(x) 为奇函数，当 x 0 时， x 0 ，22f ( x) ( x

22、) ( x) lg 2( x) x x lg( 2x) f(x) ，所以 f (x) x2 x lg( 2x) ，且 f (0)0，x2 x lg(2x),(x 0)所以 f (x)0,( x 0).2x2 x lg( 2x),(x 0)【点睛】该题考查的是有关根据函数在某一区间上的解析式，的解析式，属于简单题目.结合函数奇偶性的定义，求得函数18.设关于x的方程k9x k3x 1 6(k 5) 0.(1)若常数k 3,求此方程的解；(2)若该方程在0,2内有解，求k的取值范围.1 . 一【答案】(1) x log3 4；(2) k 8.2【解析】(1)将k 3代入方程，得到3 9x 9 3x

23、 12 0 ,将其整理得到 xxx(3 1)(3 4) 0,集合指数函数的值域，得到3x 4,从而得到x 10g34,求得结果；(2)将式子 k9x k3x 1 6(k 5) 0整理得出 k 30，令t 3x,x 0,2, 9x 3 3x 6则t 1,9,借助于二次函数在某个区间上的值域求得最后的结果【详解】(1)当 k 3时，方程 k9x k3x1 6(k 5) 0即为 3 9x 9 3x 12 0,化简得 9x 3 3x 4 0 ,即(3x 1)(3x 4) 0 ,解得3x1 (舍去)或3x 4 ,所以x 10g34,所以，此方程的解为 x 10g34,30(2)由 k9x k3x 1 6

24、(k 5) 0可得 k(9x 3k 1 6) 30,所以k 令 t 3x,x 0, 2,则 t 1,9,x x23 215所以 93 36 t 3t 6 (t -)一,24由t 1,9可得当t 3时，(t -)2竺最小值为上2244.一.32 15当t 9时，(t -)一的最大值为60 ,24303030 彳 -： - 1_ 所以 609x3x 16 15 ,即一k8,7 21 所以k的取值范围是1,8.该题考查的是有关求方程的解或者方程在某个区间上有解求参数的取值范围的问题，在 解题的过程中，注意换元思想的应用，以及二次函数在某个区间上的值域的求解方法, 属于中档题目.19.某环线地铁按内、

25、外线同时运行，内、外环线的长均为30千米(忽略内、外环线长度差异)，新调整的方案要求内环线列车平均速度为20千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有 18列列车全部投入运行，其中内环投入 x列 列车.(1)写出内、外环线乘客的最长候车时间(分钟)分别关于 x的函数解析式；(2)要使内、外环线乘客的最长候车时问之差距不超过1分钟，问内、外环线应各投入几列列车运行？(3)要使内、外环线乘客的最长候车时间之和最小，问内、外环线应各投入几列列车运行？9060【答案】(1) t内 ,标 1 x 17,x N ; (2)内环线11列列车，外环x 18 x线7列列车；(3)内环线10

26、列列车，外环线 8列列车.【解析】(1)根据题意，结合最长候车时间等于两列列车对应的时间差，列车式子得出结果，注意自变量的取值范围；(2)根据题意，列出对应的不等关系式，求解即可，在解的过程中，注意自变量的取值范围；(3)根据题意，列出式子，结合对勾函数的单调性，求得函数的变化趋势，最后求得 取最值时x的值.【详解】(1)根据题意可知，内环投入 x辆列车，则外环投入(18 x)辆列车, 3090.从而可得内环线乘客的最长候车时间为t内-30- 60 90分钟,20x x 3060 外环线乘客的最长候车时间为t外 60 分钟,30(18 x) 18 x根据实际意义，可知1 x 17, x所以t内

27、906018 x(1x 17, x N );第23页共19页.9060.(2)由题息可得 t内 t外= 1 ,x 18 x2整理得x2 132x 1620 0x2 168x 1620 0所以 168 、217442132、23904x 2因为x N ,所以x 11,所以当内环线投入 11列列车运行，外环线投入 7列列车时，内外环线乘客的最长候车 时间之差不超过1分钟;(3)令 u(x)_ 90601620 30xt 内 + t外= F2x 18 x 18x x30(54 x)30(x 54)2218x x2(x 54)2 90(x 54) 36 54303036 5436 54(x 54) 9

28、0 90 (54 x)x 5454 x可以确定函数在1,54 18J6上单调递减，在54 18用,17上单调递增,结合x N的条件，可知当x 10时取得最小值，所以内环线10列列车，外环线8列列车时，内、外环线乘客的最长候车时间之和最小【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有建立函数模型，求解不等式，求函 数的最小值，属于较难题目.20.已知集合 M是满足下列性质的函数 f(x)的全体：在定义域内存在实数t,使得f(t 2) f(t) f(2).(1)判断函数f (x) kx (k为常数)是否属于集合 M ；a(2)右f (x) ln 2属于集合 M ,求头数a的取值氾围； x

29、1(3)若f(x) 2x bx2,求证：对任意实数 b,都有f(x)属于集合M .【答案】(1)属于；(2)a 151072,151。72;(3)证明见解析【解析】(1)利用f(x) kx时，方程f(t 2) f(t) f(2),此方程恒成立，说明函 数f (x) kx (k为常数)属于集合 M ;aa . a . a(2)由f(x) ln -属于集合 M ,推出ln2 ln ln 有头数解,x2 1(x 2)1 x 15即方程(a 5)x2 4ax 5a 5 0有实数解，分a 5和a 5两种情况，得到结果；(3)当 f(x) 2x bx2 时，方程 f(x 2) f(x) f(2)有解，令g

30、(x) 3 2x 4bx 4,则g(x)在R上的图象是连续的，当 b 0时，当b 0时，判定函数是否有零点，证明对任意实数b,都有f(x)属于集合M .【详解】(1)当 f(x) kx 时，方程 f(t 2) f (t) f (2) k(t 2) kt 2k,此方程恒成立，所以函数f (x) kx (k为常数)属于集合 M ；a(2)由f (x) ln属于集合 M , x 1 aa a可得方程ln2 ln - ln-有实数解，(x 2)1 x 15一 aa2即2，整理得方程(a 5)x 4ax 5a 5 0有实数解，x 4x 5 5(x1)，,、-1当a 5时，方程有实根一，4当 a 5 时，

31、有16a2 4(a 5)(5a 5) 0,解得 15 1072 a 5或 5 a 15 10正，综上，实数a的取值范围为a 15 1072,15 10，2;(3)当 f(x) 2x bx2 时，方程 f(x 2) f(x) f(2)有解，等价于 2x 2 b(x 2)2 2x bx2 4 4b 有解，整理得3 2x 4bx 4 0有解，令g(x) 3 2x 4bx 4 ,则g(x)在R上的图象是连续的，当 b 0时，g(0)1 0,g(1) 4b 2 0,故g(x)在(0,1)上有一个零点，11当 b 0时，g(0)1 0,g(-) 3 2b 0,b1故g(x)在(-,0)上至少有一个零点，

32、b故对任意的实数b , g(x)在R上都有零点，即方程 f (x 2) f (x) f (2)总有解，所以对任意实数 b ,都有f (x)属于集合M .【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有新定义，方程有解转化为函数有零点，分类讨论思想，属于难题 .21 .对于函数 f(x) x3 3|x c| 1 .(1)当c 0, f (x)向下和向左各平移一个单位，得到函数g(x),求函数g(x)的零点；(2)对于常数C,讨论函数f(x)的单调性；(3)当c=0,若对于函数f(x)满足f(x a) f(x)恒成立，求实数a取值范围.【答案】(l)x 用1或x 1；当c 1,单调递增；当1 c 1,在(，c上递增，c,1上递减，1,)上递增；当c 1,在(，1递增，1,1递减，1,)递增；(3) a 4/12 .【解析】(1)将c=0 ,求得f (x) x3 3| x| 1,利用图象变换原则求得g(x) (x 1)3 3x 1 ,分类讨论去掉绝对值符号，求得函数的零点；(2)将函数解析式中的绝对值符号去掉，得到分段函数，利用导数，分类讨论求得函数的单调性；(3)化简函数解析式，将不等式转化，找出不等式恒成立的关键条件，得到结果【详解】(1)因为 c = 0