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文档简介

1、§1. 8无穷小的比较一、无穷小的阶阶的定义二、关于等价无穷小的定理定理1、定理2、用等价无穷小求极限、无穷小的阶观察与比较:观察两个无穷小比值的极限:sinxV23rlim =0, lim = oo , limxt。3xxt。xx-»0两个无穷小比值的极限的各种不同情况，反映了不同的无 穷小趋于零的“快慢”程度.在兀->0的过程中，兀20比3兀->0“快些”,反过来3%-»0 比兀2->0“慢些”,而sin XT 0与x->(r快慢相仿”.一、无穷小的阶阶的定义：设。及0都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小.如果lin上=0,就说0是比

2、Q高阶的无穷小，记为0=o(a)； a如果ling = oo,就说0是比cd氐阶的无穷小.a如果lim£=cH0,就说0与a是同阶无穷小；a如果=chO, k>0,就说0是关于Q的£阶无穷小.a如果lin上=1,就说0与Q是等价无穷小，记为tz0a举例:3r2因为lim二匚=0,所以当兀->0时，3兀2是比兀高阶的无穷小， XT0兀即 3x 2=o(x) (x >0).£因为lim半=00，所以当h->oo时丄 是上洁 低阶的无穷小 nT8 1nnx -9因为lim =6 ,所以当% -»3时，兀2_9与兀一3是同阶无23 X-3

3、穷小.因为lim =,所以当-»0时，1-cosx是关于兀的二5 兀22阶无穷小.因为lim岂亡=1,所以当x->0时，sinx与x是等价无穷小，2° %即sin x兀(x >0)二、关于等价无穷小的定理证明必要性设Q0，则(P =lim1定理1 0与。是等价无穷小的充分必要条件为 p=a+o(a).lim 口a因此严a=o(tz),即 ft=a+oa) 充分性设0=Q+O(Q),则v P a + o(a)lim = limaa因此a0例1因为当兀一0时sin兀x,所以当兀一0时，有sin % =x+o(x)因为当xtO时tan x a:,所以当x>0时，

4、有tan x =o(x)因为当xtO时1-cosxxCC1-cos X = X +o(x ) ,所以当兀一>0时，有2定理2设/ , 00，,且lim£存在，贝IJ0lim =lim彳a a证明 lin/aa a)= Iim lim lim = lim0 af a ar定理2表明，求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可 用等价无穷小来代替.因此，如果用来代替的无穷小选取得适 当，则可使计算简化.举例: 亠， tan 2x 例2求limxto sin5x解 当兀TO时,tan 2x2x , sin 5%5x,所以“ tan 2xlimxto sin 5兀 兀to 5x所以求 lim 2° Xsin x3 +3

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