1-4极限存在的两个准则和重要极限

1、4nn-H- 第四T极限存在的两个准则及:rM；两个重要极限定理1 函数极限存在的夹逼准则假设函数/(%), g(x), h(x)满足: x G U(x0,8 ,g(x) <f(x) < h(x),(2) lim g(x) = lim h(x) = ai a lim f(x) = a数列极限存在的夹逼准则(1) yn<xn< zn 5 = 1,2,)lim = aMToo鮎).例 1lim(= + -= = .- + +i°° a/w +1 yin +2解 " v 1+vyjn Jn2Jn2 + V2+l由夹逼定理得证明limz?"

2、;Too=11 1 )21 +兀 n +2兀n +n兀丿利用夹逼准则由<+ n7r1+ + +l/l 厶+7T+2/T1T1 )n十n兀丿n22n +7Tn2lim = limng n + rur s n +7r=1hmnmoo(1 11F Hn2 +7T n2 +17r=1.重要极限sinxx u (0,乡)时，AOB的面积V圆扇形M加的面积邮勺面积即* sin x < * 兀 < g tan x亦即sinx< x< tanx (0 < x < |)sin x < x < tan x (0 < x < )1<亠<丄

3、sin x cos x即 COS X V 也1兰 <1, (0 < X < y)X2当 一今vxvO时,有0<兀<号.止匕时有 ( sin (-兀)cos( x)< -< 1,_ X即 cos x < "n” < 1,(今 < 兀 V 0)x2v limcosx = 1, 由夹逼定理得Um = 1x0x0 JC解：lim匹x0斤 1, ix tan x 例4.求lim=limx COS x)v sinx “1 i=limlim= 1xtO X xtO COS X例5.求lim竺811乞x0X解：令 t = arcsinx,则

4、 x = sint,因此当兀 t>0时,H 0 原式二 lim = lim 丿 =10sint /to sint2例6求 limsinns:原式二lim"Too例 7求 lim.XTO X2sin2f解：原式二1吧一占宀° X二- lim2 x-o=2r124说明：计算中注意利用忠。册“机动课堂练习(1)X亞 2”.("0)(2).sm a)xlim(3)(4)lim x cot xx0“ l-cos2xlim;z x sin x1. tan 3x lim2° x三.单调有界准则定理2.单调有界数列必有极限.%! <x2<£+

5、1 < <单调增加lim£ 存在moo开 >y2->yn>yn+i>->m,单调减少=> lim儿存在ns四.重要极限lim(l + x)x =ex>0(1) 数列情形，记£ = (1+)"lim(l + p"之农Tooe为无理数，其值为幺= 2.718281828459045 lim(l + +)"=H>00(2) 函数情形lim(l + -)xxS Xlim(l + iy = eXT+O0lim (1 +XT -oolim(l + ir = e证：当x>0时，有n<x&

6、lt;n + l,贝I<(1 + 2)"<(1 + 制"+1嗖(1 +沽)"n>oo=limns(1+加1+1n+1lim(l + 1)"+i= lim (1 +丄)"G + 丄)=eAZ>00nZ2>OOnn埋(1+z当兀-»00时，令X = (f + 1)，则fT+込从而有lim （1 + 丁= lim （1-古）一（屮）XT -oo/>+oo=lim （击严）=lim （1 + +1 fT+oo efT+oo<=lim （l + iy（l + l）之故 lim （1 +丄）X>oc

7、X兀0X->00说明：此极限也可写为lim（l + x）x =e 也即lim（ 1 + 土 Y = lim（l + xy =e例9.求 lim (1 -XS解：令-忑则XTOO时/Toox>oo*r>8说明=limTT81lim (1 +0(兀)TooM】M 殳诵覇下页 jSh n策例10 (l)lim(l 2兀只x0(2)lim(H严.心00 x + 3 limln(1+)5 X求 lim (sin- +cosx>00X1X兀丿解：原式二 lim (sin - + COS-)2兀一>00X=lim (1 + sin y%T8*rsin?1_£'厂csin-7=lim (1 + sin -)A兀 TOOX=eLlirT eT下页飞茴容小结1.极限存在准则夹逼准则：数列极限存在的夹逼准则=函数极限存在的夹逼准则单调有界准则:2.两个重要极限lim tOsinD=11 (2) Hm(l + ) =e >00I_I1或 lim(l + )n -etO注： 代表相同的表达式M 殳诵覇下页