1-2圆周运动和一般曲线运动

1、§ 1-2圆周运动和一般曲线运动一、切向加速度和法向加速度1.自然坐标系设质点绕圆心在作变速圆周运动， 在其上任意选一点可建立如下坐标系， 其中一根坐标轴沿轨迹在该点P的切 线方向，该方向单位矢量用兔表示； 另一坐标轴沿该点轨迹的法线并指向 曲线凹侧，相应单位矢量用表示， 这就叫自然坐标系。显然，沿轨迹上各点，自然坐标轴的方位是不断变 化着的。2.切向加速度和法向加速度 丫时刻：A点Ef+缶时刻：B点止对应心角角度d0因为dr时间内经过弧长ck所以 5 = = v(r)etldtd 八tJ吕为单位矢量，大小不变，但方向改变所陀花圆周运动中的 切向加速度他和 法向加速度给dr dt一

2、/"、一 dea = ()et + v dtdt因为d吕丄吕即与乙同向切向加速度改变速度的大小，法向加速度改变速 度的方向。二. 圆周运动的角量描述角速度t A _角位置t+ / B q+ 角位移沿逆时针转动，角位移取正值 沿顺时针转动，角位移取负值v & d&土 亠cd lim=单位：rad/s"to A/ dt角加速度a = lim c山-° A/ ckd 广也也心单位：rad/su讨论；匀速圆周运动 血是恒量d0 = codt f （X0 = codt J&o Jo匀角加速圆周运动 a是恒量CD CD- CXt0 = Q）+ co -

3、 oct2一般圆周运动J；d& = j>dr0 = &（）+ J（）codtco co 2<z（0 0（）周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。如图所示，一质点作周运动:在心 时间内，质点的角位 移为则八间的有向 线段与弧将满足下面的关系lim 网| = lim佔两边同除以得到速度与角速度之间的关系:v = Rcov = Ro Raan = Rco2将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角 加速度之间的关系：= Ra将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义 式，得到法向加速度与角速度之间的关系：V勺a = = Rar

4、n R线量一速度、加速度角量一角速度、角加速度匀速直线运动2. a -c=0匀变速直线运动3 的二 0 , % 二 c匀速率圆周运动%工° 变速曲线运动例题13计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。解：地球自转周期T=24x60x60 s,角速度大小为P点速度的大小为v = a)r=eRcos(p= 4.65xl()2cos© m/sP点速度的方向与过F点运动平面上半径为R的圆相切。P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为3.37 x 10 2 cos cp m/s2P点加速度的方向在运动平面上由P指向地轴。乂；二 已知北京.上海和广州三地的纬度分别是北纬39°

5、5731°12z和23。00，,可算出三地的卩和冷分别为北京:上海:广州:v = 356m/s,an =2.58x10 2m/s2v = 398m/s,v = 428m/s,tzn =2.89x10 2 m/s2an =3.10x102 m/s2例题1-4 一飞轮边缘上一点所经过的路程与时间的 关系为s = v0? bt2 /2, v0» 都是正的常量。(1)求该点在时刻t的加速度;(2) /为何值时,该点的切向加速度与法向加速度的大小相等？已知 飞轮的半径为人。解：由题意，可得该点的速率为:上式表明，速率随时间/而变化，该点做匀变速 圆周运动。(1) t时刻切向加速度、法

6、向加速度及加速度大小:n"城W H刖+(卿 7R加速度方向由它和速度的夹角确定为.1(v0 bt)2a = arctan -Rb(2 )令。产十艮卩Ry/bR = v() bt例题15 如图a所示为一曲柄连杆机构，曲柄04 长为厂，连杆AB长为Z, AB的一段用销子在4处与曲 柄04相连，另一端以销子在处与活塞相连。当曲 柄以匀角速血绕轴O旋转时，通过连杆将带动处活 塞在汽缸内往复运动，试求活塞的运动学方程。解：取。为磺焦，。兀轴水平向左，如图所奈；并设开始时，曲柄4在Ox轴上的点P处。当曲柄以匀角速0转动时，在(时刻曲柄转角为歼呪以，这时B处活塞 的位置为x=OR+RB,即x =

7、r cos cot + y/l2 r2 sin2 cot这就是活塞的运动学方程我们把上式右端第二项按二项式定理展开为级数：的运动学方程x-r cos cot +11-1°、2 _ 2 sin - cot2jl2 -r2 sin2 cot = I一般"Zvl/3.5,因此高阶小量可以略去，于是的活塞f lfrV . 21sirT血+2UJ三、抛体运动的矢量描述抛体运动：从地面上某点向空中抛出的物体在 空中所做的运动。以抛射点为坐标原点建立坐标系，水平方向为X 轴，竖直方向为y轴。设抛出时刻仁0的速率为,抛 射角为&, <.则初速度分量分别为%i()COS&

8、;卜0)，=X)sin&J =0听=_g故任意时刻的速度为dr-dzdy-dr- - X yV V=v() cos 0=v() sin 8 _ gt将上式积分，得运动方程为X = (vo COSy = (v0 sin0)t gt2运动方程消去时间参数r,得到抛体运动的轨迹方程为L1y = xtan泸2 讦 cos? &物体在空中飞行回落到抛出点高度时所用的时T = 2%sin0g间为飞行的射程（即回落到与抛出点的高度相同时所 经过的水平距离）为sin 2&飞行的射高（即高出抛射点的距离）为vjsin2若& = 0,则儿论=°，此时为平抛运动;jr沪若&

9、amp; =鼻贝収唤=，此时射程最大；4g若小|,则“=0,此时为竖直抛体运动。例题16在距离我方前沿阵地1000m处有一座高 50m长的山丘，山上建有敌方一座碉堡。求我方的大 炮在什么角度下以最小的速度发射炮弹就能摧毁敌 军的这座碉堡？解：由前面分析可知，抛体运动的轨迹方程是J = %tan2pos2由此可解出发射速度与发射角度谢关系为由上式不难分析出，当tan=jZr,以及f)=n/2时, %都将趋于无穷大，所以在这中间必存在一个使 为极小值的角度，令d%/d=O,将目标位置 x=1000m, j=50m,代入方程求解，原则上可以求出击中目标炮弹的最小速度，但由此产生的超越方程难以得出解析解。为此，我们可以编写Matlab程序，利用计算机的数值解，绘出为了击中目标所发射炮弹的初速度与发射角度的关系曲线，并得到在归46.4°时，可以最小