1,6极限存在准则和两个重要极限

1、i6繃丽个靈鑿的祓履极限 lim Sln *5 X极限lim (1 +丄严x->ocX:预备知识I 有关三角函数的知识sinO = O cosO=lsinxtan x =cosxI sin x < 1 I cos xl< 12有关对数函数的知识lnx = loge x以e为底的指数函数的反函数y = log/,叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简记为y = In x.数e是一个无理数，它的前八位数是:e = 2.718 281 8 3有关指数运算的知识(ah)H = anhn a,l+m = a1lam alim = (a11)"'4 无穷小量定义 在

2、某个变化过程中，以0为极限的变量 称为在这个变化过程中的无穷小量，常用字母 a ,b ,g等表示。性质 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量.5 极限的运算法则(1) Hm(/( x)±g(x) = lim/( x)±limg(x) lim/(x)-g(x) = lin/(x)-lin(x)f (x若 limg(x)O,=li吋(兀) limg(x) iimcf (x) = c lim/(x)(5) lim/(x)f =lim/(x)f极限存在准则1 夹逼准则(两边夹定理)定理I 如果数列七沙儿及 J满足下列条件:(1) yn V xn < zn (n = 1,2,3

3、 )(2) lim yn =a, lim zz/ =a,"TooW-»oo那末数列匕的极限存在，且lim = a."Too准则(1) g(x)</(x)<A(x),(2) lim g(x) = A, lim h(x) = A,XTX|)(x->co)("TOO)则旣川)存在，且等于A(2 8 )注意利用夹逼准则求极限关键是构造出儿与并且几与Z”的极限是容易求的.例：求血（TT + 7712.单调有界准则如果数列七满足条件兀兀2兀 »兀“+1二，单调减少单调数列兀< x2<*“ < xM+1 < ,单调增

4、加准则II单调有界数列必有极限.数轴几何解释:第一个重要极限lim = ?"TO %x->0X10.500.010.001Sill X0.841470.958850.998330.999980.9999998XX 1-0.5-0.1-0.01 0.001 Qin yL '0.84147 0.958850.998330.999980.9999998XlimAT>Osinx证明. sin x .lim= 1.兀->0十X证CB<AC <DA即sinx<x< tanx齐式同除以sin兀（因为sinx>0）,得x 1<<si

5、n x cos xsinx fcosx <<limx"sinx tan xz sin x 1、lim= lim()A->° XA：->° COSX KHim严亠XT° X COSsin x .1=limlim兀f ° X兀f ° COS X=1x1=1这个结果可以作为公式使用lim 凹兰=i求 limSin5x.vtOsin5xlimgo x“ 5sin5x “ sin 5xlim =51im2。 5x心° 5x令 5x = t,当XTO 吋，有 r-»O所以，原式= 51im =5x1 =

6、 5f->0 f注:推广:在运算熟练后可不必代换，直接计算:r sin 5xsin 5x f =lim=51mi= 5x1 = 5“tO xgo 5x sin a .设oc为某过程中的无穷小量，hm.( p = 1练习1 求下列极限：/八sin3x(1) limo %.sin3x . 3sin3xsin 3 乂毛解：lim= lim-=3lim=3x1 = 3入to x耳->0 3x兀->0 3x(2) lim 沁2。3x小( sin5x zsin5xxz5x 55解：lim= lim()(-) =ix2 = 2go 3x ”->o 5x 333使用！嗖¥&q

7、uot;时须注意:类型：(2)推广形式:sin aa(聽厂° )(3)等价形式:lim = 1sin x例3求血空g“T1 JT 一 1lim12 = Um 血（7= limsinU-1）Q 12】（X + 1）（兀1）x->l x=恤皿.lim丄i X - 1 XT1 X + 1求 limxsin lim x sin X->cOVx . 1sinHm x->s Ilimsinsin xx> 0且 I sin x l< 1Xlimsin %=0X>co sin x limjr->O练习3：下列等式正确的是（B ）“ sinxlim兀>s

8、xC. limxsin = 1;xtOxB. lim x sin = 1;XTSX1sin D. lim = 1 X>s v练习4：下列等式不正确的是（D ）（A） lim沁=1;（B） lim = 1;'丿 z 兀''xto siar（C）limxsin 丄=1;（£） limxsin = 1练习5下列极限计算正确的是（B ）C.limx>0limxsin = 12°XB.D.入一（）十.sinx (lim= 13S X练习6已知心佔当（A）时,/（兀）为无穷小量.A. x > 0C. x -oo练习7已知=-,当兀一 0时,/O

9、）为无穷小:flj练习& x + sin x limX>o0练习f T亠:第二个重要极限lim(l + -y = ?X>COJQX 10100100010000 100000 .I x(1+1)2.594 2.705 2.717 2.718 2.71827 xX -10-100-1000 -10000 100000 .2.868 2.7322.720 271832.718281lim(14-y =ex>ooXlim(l + -)x =e (l00)X>8兀11I令 z =, lim(l )x= llm(l += eX x>oor1lim(l + /)=e

10、(1")Z->0推广&为某过程中的无穷小量，lim(l + a)«=e使用lim(l +丄)'=e 须注意:X>00兀类型：r°型(2) 推广形式：lim (1 + a)a =e某过程(lim a = 0)某过程JI(3) 竽价形式：lim(l + ty = er->0所以，有X>8、X例 2 计算 1 i it(1 x)x.解 方法一 令u = -X,因为兀一0时“一0,所以_2=llrr(l +w) u w->0£= lim(14-w)«-2w>0= lim(l + w)«r2w

11、->0方法二掌握熟练后可不设新变量2 -1limfl = Iim(l x) v "2= lim(l-x)叮Jx->03limcl + 2x)x Hliml x0 x0练习2求lim (亠)1X* 1 + X解 lim ()A = limXTS1+兀2S(+1)xX 1lim(l + -)YXS X:小结两个重要极限：设a为某过程中的无穷小量，1° lim 沁=1;某过程 a12° lim (1 + a)a = e.某过程3、4、5、lim(l + x)xhm()-'28 Xlimsin coxv sin cox1、limlimco CDx-&g

12、t;0X宀0 oxsin 2x” sin 2xsin 2x3x 22、limlim=limxtOsin3xgo sin 3xx->02xsin 3x 3练习题3xi J sinxlimXT 00 2x7、P42 21极限综合练习题（一）例1求极限lim (x-1)3 +23lx2 +7x-5分析：此是一个和式的极限，显然第一项及第二项函数中分子、 分母的极限均存在且分式函数中分母的极限不等于零，因此可以 直接利用极限的运算法则求解。解:lim (x- I)3 + * +7x-5=lim(x 一 I)3 + lim +丄XT3XT3 X-5=(3-1)3 +V32 +73-5=8 +刍=6

13、例 2. limxcos 丄“to x解：因为1 im x = 0,即“血0H寸的无穷小量。 .v->0又I cos丄庄1,即cos丄是有界变量,由性质映1,XX.rcos是无穷小量，于是彳jlimxcos丄=0.XxtOx例3求下列极限:(1) limY->s3x2 -1宀2宀3_2x2 -x +13x2+2x-53 _ J_解：(1) lim = lim-= - = 0x + 2；r + 3J001 丄 2 丄 311 + 十一X X'°厶y 、2.Y X + 1y r2(2) lim = lim一Ags 3jT + 2x 52625、7xx<0x &g

14、t;0求 limf(x)A-X)解:当x从0的左侧趋于0时,lim f(x) = lim(x 1) = -1xTOvtO当x从0的右侧趋于0时，lim f（x） = liml = 1因为 lim_ f(x) lim f (x),所以 lin f(x)不存在。例5求下列极限(1) lim.v->-3x2 +5x + 6x2 -9(2) lim寻找致零因式常用的方法为： 若是有理分式的极限，则需把分子分母、分别分解因式 （一般釆用：“十字相乘法”、公式法、或提取公因式法）; 若是无理分式的极限，则需要把分子、分母有理化。解：(1)把分子分母分解因式，消去致零因式，再求极限。lim 兀+ 6

15、= nm 0 + 2）（“ 3）x 33 362-3 JT _ 92-3（X 一 3）（x + 3）(2)分子、分母同乘MJF+1+i),把分母有理化后，消去致零因式, 再求极限。lim -心+1_1=limr（<E±i±1）=+i）=2例6求极限lim竺竺(e b均为常数)z） sin bxxtO X +1-1片 tOF是h J把上极限化为两个函数乘积的极限.Tf e singv sin ax x 解：伙I=；，sinZx x sinZ?xbx>0,于是有x求解。乂当x>0时，ax>0, sin ax . sinrx “lim= limlimsin

16、 bx yf 兀 ”t（）sin bx sin ax 1 .1. 1 1 a=tzlimlim一"； = a 1=5 ax Z? f sinbxb 1 b例7求极限limzsin r-*siYv解：在极限过程中，是变量，->8时即兰是无穷小量，于是有bT Xsin limZsin = lim（ 尢）=1 x = x/->SI fTS X例8求极限1曲/ + 乂；已5 sin X"分析：当x0时，分子，分母的极限均为0,且分子是一个无理函 数，分母是正弦函数，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘 以（JL+1）,然后看是否可利用第1个重要极限。解：lim.t-&#

17、187;07i + .v2 -isinx2=limA-4)1 + x2 -1sin a2 (Jl + x】+ 1)=lim73 sin jtlim t-><)1Jl +，+ 1=1丄2 2例9求极限Hm（i+-ra为常数）ms”分析：旳->8时上_>0,即£是无穷小量，符合Q +无穷小）劭人”型,nn再把无穷小就与无穷人晴配成W为倒数的形式 即町利用第2个重要极限求解。解：lim（l + -）n = lim（l + -Y F ="”一>SflPJ->SII极限综合练习题（二）i（14、1. 求极限：出兀-2 x2 -4也（士-去）=lim

18、(x->2兀+ 2 (x 2)(兀+ 2)=lim=xt2(x+2)4=lim:“>2 (% + 2)(兀 一 2)2 求下列极限:聞竺二1221 Q - 1解:利用第一重要极限和函数的连续性计算，即, sin(x -1) sin(x - 1)lim= limJT 1II (x + 1)(兀 一 1). sin(x-1) .1=limlim21x 1 “I % +13 求下列极限：lim<9 + sin3.y-3兀亠%解:对分子进行有理化，然后消去零因子，再 利用四则运算法则和第一重要极限计算，即. V9 + sin 3x - 3lim心0X.(j9 + sin3x - 3)(V9 +sin 3x + 3)=lim7=dx(y/9 + sin 3x + 3)3X6 = i. 3sin3x .1=limxlimd 3xA->0 <9 + sin 3x + 3例4求极限lim,Y（2兀+1）|°（