最新江苏省镇江市高一下学期期中数学试题(解析版)

1、2018-2019学年江苏省镇江市高一下学期期中数学试题、单选题1.在平行四边形uurABCD 中，ABuuLr 心.AD等于（uurA ACuur B-CAuuurC BDD.uuu DBc 23D 56【答案】A第3页共15页【答案】A【解析】根据平面向量的平行四边形法则求解即可uur uuu uuir因为ABCD为平仃四边形，故ab AD AC .故选：A【点睛】本题主要考查了向量的平行四边形法则.属于基础题.2 .复数z 3 2i （ i是虚数单位）的虚部是（）A. 2iB. 2iC. -2D. 3【答案】C【解析】根据虚部的定义直接判定即可 .【详解】根据虚部的概念可知复数 z 3

2、2i的虚部是 2 .故选：C【点睛】本题主要考查了虚部的概念，属于基础题.3 .在 ABC 中，AC 3, AB 1, A 120 ,则 BC 的长度为（）A. ,7B. ,10C. ,13D. 4【答案】C【解析】根据余弦定理求解即可.【详解】13.根据余弦定理有 BC2 AC2 AB2 2AC AB cos A 9 12 3-2故BC的长度为无3.故选：C【点睛】 本题主要考查了余弦定理的运用，属于基础题.4 .下列四个命题中，错误的是（）A.若 a b,cd,贝Uac b d; B.若 ab 0, cd0,则 ac bd;C.若 a b ,则a诬；D.若 ab ,则 ab.【答案】D【解

3、析】根据不等式的性质逐个判定或举反例即可.【详解】对A,因为ab,cd,故c d,故acbd成立.故A正确.对B,因为a b 0, c d 0,故 c d 0,故ac bd,故ac bd成立.故B 正确.对C,因为y 沃为增函数，故若a b,则指 汴成立.故C正确.对D,举出反例，当a 1,b2时满足a b ,但ab不成立.故D错误.故选：D本题主要考查了不等式的性质,属于基础题5.已知A. 1B. 3C. 4D. 5的最小值是（配凑出基本不等式求解即可因为x1,故x 1 0,故 x 4x 11 2. x1 x41 1 3.当且仅当4 r，即x 1时取最小值 x 13.故选：B本题主要考查了基

4、本不等式的运用,属于基础题.uuu6.已知向量ABuur2,0 , ACi,J3 ,则向量uuu. uurBC 与 AC的夹角为（A.一6B.一3【解析】根据向量的夹角公式求解即可【详解】uuir因为BCuuur uuuAC ABuuu j uur工、3, 73 .故向重BC与AC的夹角 满足cosuur uurACBC AC,9 3 J 32.又故选：A【点睛】本题主要考查了利用向量坐标求解向量夹角的问题，属于基础题.7.不等式x26的解集为（A. RB.2,3C.3,2D. 1,6第8页共15页根据绝对值的几何意义求解即可22“ x6 即 6 x2 x 6，故 2x2.3故选:本题主要考查

5、了绝对值不等式与二次不等式的求解.属于基础题.60而km , 一架飞机从城市 D出发以360km/ h的速度向城市B有（A. 120kmB. 60.6kmC. 60、5kmD. 60.3kmA相距 120km ,8.如图，有四座城市 A、B、C、D,其中B在A的正东方向，且与D在A的北偏东30。方向，且与A相距60km； C在B的北偏东30。方向，且与B相距C飞行，飞行了 15min ,【解析】 先判断三角形DAB为直角三角形，求出BD,然后推出 CBD为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ,最后在三角形 EDB中用余弦定理可得 BF .【详解】取AB的中点E ,连DE，设飞机飞行了

6、15分钟到达F点，连BF，如图所示：则BF即 为所求.10800 ,60 3 90 T因为E为AB的中点，且AB 120km，所以AE 60km,又 DAE 60o,AD 60km,所以三角形DAE为等边三角形，所以DE 60km, ADE 60o，在等腰三角形EDB中，DEB 120°，所以 EDB EBD 30°,所以ADB90°,由勾股定理得BD2AB2 AD21202602所以 BD 60、, 3km,因为CBE90° 30° 120°, EBD 30°，所以 CBD90°,所以 CDBD2 BC2 <

7、; 10800 602 13 240 km,BD 60 3.3所以c°s BDC ,CD 24041因为 DF 360 90km, 4所以在三角形BDF中，BF2 BD2 DF2 2 BDgDF c°s BDF (60 3)2 902 210800,所以 BF 60 J3 km.故一架飞机从城市 D出发以360km/h的速度向城市C飞行，飞行了 15min ,接到命令改变航向，飞向城市 B,此时飞机距离城市 B有60j3km.故选D .【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形，属于中档题.、填空题9.已知 A 6,2 , B2，4，若AC CB，则点C的坐标为【答案】2,

8、1设C x,y再根据uur uuuAC CB计算即可.设 C x, yuuur，因为ACuurCB，故 x 6,y 22 x, 4 y即 C 2, 1故答案为：2, 1本题主要考查了利用向量求解点的坐标，属于基础题10 .命题“ x R, x3 2 0”的否定是【答案】x R,x3 2 0【解析】根据特称命题的否定为全称命题写出即可.【详解】命题“ x R, x3 2 0 ”的否定是“ x R, x3 2 0故答案为：x R,x3 2 0【点睛】本题主要考查了特称命题的否定 ，属于基础题.11 .已知复数 3m 2 m 1 i （i是虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限, 则实数m的取值范

9、围是.【答案】2,13【解析】 根据复数的几何意义以及对应的点的坐标列式求解即可 【详解】 因为复数 3m 2 m 1 i在复平面内对应的点位于第四象限2故答案为：2,13本题主要考查了复数的几何意义，属于基础题12.在 ABC 中，A12,则a+b+c _ sin A+sin B +sin C【答案】8x3 【解析】根据正弦定理求解即可【详解】 设ABC外接圆半径为R,则根据正弦定理有a +b+csin A+sin B + sinC2R(sin A+sin B+sinC)() =2Rsin A+sin B + sinCa 122=12? 一 8 3sinA sin-33故答案为：8,3【点睛

10、】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题.r13.与向量a 6,8方向相同的单位向量的坐标是 3 4 【答案】3,45 5 r【解析】先求解向量a 6,8的模长，再根据同向单位向量的公式求解即可 【详解】因为a J62 82 10,故与向量a 6,8方向相同的单位向量坐标是 r a 3 4十 一，一.a 5 5.3 4故答案为：3,25 5【点睛】本题主要考查了同向单位向量的求解，属于基础题.一214 .已知f X x tx 9,若对任意x 1,5 ,不等式f X 。恒成立，则实数t的最大值为.【答案】699一【解析】参变分离可得t x ,再根据基本不等式求 x 在区间x 1,5上的最小xx

11、值即可.【详解】29因为f x 0恒成立，即x tx 9 0 t x ，又x 1,5，故x故答案为：2第9页共15页、，一，.9. 一 一 当且仅当x ,即x 3时等号成立.故t 6,所以实数t的最大值为6. x故答案为：6【点睛】本题主要考查了函数恒成立中求解参数最值的问题，需要参变分离用基本不等式求解属于基础题.r15.已知向量a ,r满足a1,【解析】将娓两边平方，再求r广rbJ3,1 ,则 b .r r .一，、1的平万，消去a b的项再代入1即可.r因为a回所以a2r2ar2 br6，又ab 3, 1,r2所以a +2 a2 b,32 + r 2+有2a2r22b10r2 b1 4,

12、故 b 2.【点睛】.在遇到有和差等的模长时，经常平方本题主要考查了平面向量数量积与模长的计算等模长进行运算，属于基础题.16 .已知向量a表示“向正东方向走10米”，向量b表示“向东偏南45方向走5米”，rr rr向量c表示"向正北方向走 20米"，用向量a , b表示向量c .r -r【答案】2a 4.2 b【解析】画图根据向量的运算法则求解即可 .【详解】如图，过C的终点A作a的平行线AB交b的反向延长线OB于B,易得 OAB为直角r unr uuu二角形.且 0A AB 20, ob 2072 .故 c OB BA.r l 皿 uur r lrl /c -uur r

13、又b 5,故084x/2b, a 10,故8人 2a.r uuu uur r故 c OB BA 2a【答案】（1） 2 i ； （2）石6第11页共15页故答案为：2a 4.2b本题主要考查了平面向量的线性运算方法,需要画图利用几何知识构造三角形进行求解属于基础题三、解答题17 .已知复数z满足1 2i z 4 3i （i是虚数单位）求：（1） z ；（2） z2 z .【解析】(1)易得z(2)由(1)分别求得z2,z再计算z2 z求模长即可.【详解】由题z4 3i4 3i 1 2i10 5i(2)由z1 2i 1 2i 12i2 i,故 z2 z1 5i,故4 3i ,再利用复数的除法运算

14、即可1 2i第12页共15页125 2.26.,26本题主要考查了复数的四则运算与模长的计算等.属于基础题.A 1,4B 4,1 ,点C在直线x 1上.18.如图，在直角坐标系 xOy中,(1)求向量AB的坐标;(2)若A, B , C三点共线，求C点的坐标;(3)若四边形ABCD是矩形，求C点和D点的坐标.【答案】(1)3, 3 ；(2) C 1,6；(3) C 1, 4 , D 4, 1【解析】(1)根据向量坐标的计算求解即可(2)设C 1,C再根据三点共线列式求解即可(3)根据四边形 ABCD是矩形可知 ABBC,即可求得C.再设D x,y根据uuiiuuurBA CD求解即可.uuu因

15、为A 1,4 , B 4,1，故AB41 ,1 43, 3 .uur uuur(2)设C 1,c ,因为A, B, C三点共线，故AB AC, R,即3, 32,c 432,故 C 1,6c 61,c，因为四边形 ABCD是矩形，故ABuurBC,即3, 3 5,c 10,解得c 4,故C 1, 4设D x, y ,则因为BA uuD ,所以3,3x 1,y 4，解得 x 4, y 1.故D 4, 1所以 C 1, 4 , D 4, 1本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础题19. (1)已知 x, y R ,证明：2 x4 y4(2)已知正实数x , y满足x y8，口的最小值.y4CD2第

16、14页共15页【答案】(1)证明见解析；(2)19【解析】(1)利用作差法证明即可(2)化简x-2 y一8利用x yx y1构造基本不等式证明即可证明：因为2 x4 y422 2442 222 2x y x y 2x y x y 0.故 2 x4 y4(2)因为x y 1 ,所以 x2y 8x2y 8x2y 8x11 11 2J 19,当且仅当 一x y. x yx y12即y 2x, x -, y 一时等号成立.33故x2或8的最小值为19.【点睛】1的变换”方法.属于中档本题主要考查了利用作差法证明不等式以及基本不等式中题.20.在 ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 5, AC 5

17、 J3 .(1)若 ACD 30，求AD的长；(2)若 BCA 120 ,且 ABC的面积是曳3,求 ACD的大小； 4(3)若 CD BC , BD 2AD,求 AB 的长.【答案】(1) AD 5； (2) ACD 90 或 30。；(3) AB 15【解析】(1)在ADC中利用余弦定理求解即可.(2)根据 ABC的面积是75叵即可求得bc 50，可得 ABC为等腰三角形，故4A 30 ,再在 ADC中利用正弦定理求解ADC ,再求 ACD即可.设BD 2AD 2x,再根据CD BC可知一 5 一cos CDB , cos CDA2x再在 ADC中利用余弦定理求解52x,x即可.(1)在

18、ADC 中，AD2 CA22CD2 2CA CD cos即AD275 25 50 .3 -3225，解得 AD 5 .(2)因为ABC的面积是应3,4一 1故一AC275,3BC sin BCA4BC75'，3 ，解得BC53.又ACBC 5囱，BCA 120 .故 A180詈30在 ADC中有一AC一 sin ADCCDsin CADsin ADCAC sin CAD又 ADC 0,180，故 ADC 60 或 ADC 120ADC60时,ACD 1803060ADC120 时,ACD 1803012030 .ACD90或ACD 30 .设BD2AD2x,因为CDBC,故 cos5C

19、DB为，所以cos CDA52x在ADC中有AC22AD2CD22DA CDcos ADC ,2即 75 x 25 10x52x2X 25,即 X 5.第19页共15页故 AB= 3x= 15本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用，需要根据题意分析边角关系，进而利 用公式进行求解.属于中档题.21 .如图，在平面四边形ABCD中，AB与DC不平彳T, E, F分别是边AD , BC的中点.(1)已知uuirEFuuirDCuuuAB ,求实数的值;(2)已知AB4, CDuuir uuir6 , EF DC 24，求线段 EF的长度.【答案】(1)1 2,2； (2)19【解析】(1)根据

20、E , F分别是边AD , BC的中点有EDuur uurEA，FCuur heiFB，再用上卜两个四边形的向量关系表达EFr相加即可uur 1 um 1 uuu 11r(2)由(1)有 EF -DC AB,再将 EF22uuiruur uurDC 24利用DC, AB表达，进而得出uuruir、uuir1 uuir1 uiuuuirABDC12,再平万EF-DC= AB 代入AB22uurDC 12与AB4, CD 6求解即可.【详解】(1)因为E, F分别是边AD, BC的中点，故EDuur uurEA, FCuurFB .uur又EFuur uur uuu uurED DC CF ，EF

21、uuu uuuEA ABuuu BF,uur+可得2EFuuir uuu 小 uuirDC AB，故 EF1 uuir 1-DC AB .故uuruur(2)由(1)有 EF1 iur -DC 21 UUT故,DC21 uur1 AB2uuirDCuur又EFuuir1DCuuuuuur2 即EF-364UUTDC 24,1 uur1 uuuuuir uur2AB,故 EF DC 24 有 2DCuuir uuruur24uur 21 一 一 -AB,故 EFuur 2 iur irnrDC AB DC2 12 16 =19,48,又 CDuur6,故 ABuuirDC 12.1 UJITDC

22、 4uuu 2 AB1 UJIT2DC 4uur uur2DC ABuuur2AB故EF长为J19 .【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，包括基底向量的用法以及向量数量积与模长的综 合运用，属于中档题.22.某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC,其中斜边BC的长度为400米.为迎接“五一”观光游，欲在边界 BC上选择一点P ,修建观赏小径PM , PN ,其中M ,N分别在边界 AB, AC上，小径PM , PN与边界BC的夹角都为60 .区域PMB和区域PNC内种植郁金香，区域 AMPN内种植月季花.(1)探究：观赏小径 PM与PN的长度之和是否为定值？请说明理由;(2)为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN ,当P点在何处时，三条小径PM,PN,MN的长度和最小?(3)求郁金香区域面积和的最小值【答案】(1) PM与PN的长度之和为定值400 73 1 ；(2)当P点MN的中点位置时，三条小径 PM,PN,MN的长度和最小为600 33 1 ； 20000 3