2020-2021中考数学—平行四边形的综合压轴题专题复习含答案解析

1、2020-2021中考数学一平行四边形的综合压轴题专题复习含答案解析一、平行四边形1 .如图，四边形 ABCD中，对角线 AC BD相交于点 O, AO=CO, BO=DO,且 ZABC+Z ADC=180 :(1)求证：四边形 ABCD是矩形.(2)若/ADF: /FDG3: 2, DFAC,求 / BDF的度数.:三【答案】(1)见解析；(2) 180.【解析】【分析】(1)根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出 /ABC=90,根据矩形的判定得出即可；(2)求出/FDC的度数，根据三角形内角和定理求出/DCO,根据矩形的性质得出OD=OC,求出ZCDO,即可求出答案.【

2、详解】(1)证明：AO=CO, BO=DO四边形ABCD是平行四边形，Z ABC=Z ADC, / ABC+Z ADC=180 ,/ ABC=Z ADC=90 ,四边形ABCD是矩形；(2)解：. /ADC=90, /ADF: / FDC=3: 2,/ FDC=36 ；.DFXAC,/ DCO=90 - 36 =54 ；四边形ABCD是矩形，.OC=OD,/ ODC=54 / BDF=Z ODC- / FDC=18 ,【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推 理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形.2.已知：在菱

3、形 ABCD中，E, F是BD上的两点，且 AE/ CF. 求证：四边形 AECF是菱形.C【答案】见解析【解析】【分析】由菱形的性质可得 AB/ CD, AB= CD, /ADF=/CDF,由SAS可证 ADF CDF,可得 AF= CF,由ABECDF,可得AE= CF,由平行四边形的判定和菱形的判定可得四边形 AECF是菱形.【详解】证明：二.四边形ABCD是菱形 . AB / CD, AB= CD, ZADF= / CDF . AB=CD, /ADF=/CDF, DF= DF .ADFACDF (SAS.AF=CF,1. AB/ CD, AE/ CF/ ABE= / CDF, / AE

4、F= / CFE/ AEB= / CFD, / ABE= / CDF, AB= CD .ABEACDF (AAS) .AE=CF,且 AE/ CF 四边形AECF是平行四边形又. AF= CF, 四边形AECF是菱形【点睛】本题主要考查菱形的判定定理，首先要判定其为平行四边形，这是菱形判定的基本判定.3.如图，四边形 ABCD中，/BCD=/D=90： E是边AB的中点.已知AD=1, AB=2.(1)设BC=x, CD=y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(2)当/B=70时，求/AEC的度数；(3)当4ACE为直角三角形时，求边 BC的长.【答案】(1) y J x2 2x 30 X

5、 3 ； (2) /AEO105。； ( 3)边 BC 的长为2或. 2【解析】试题分析：(1)过A作AH，BC于H,得到四边形 ADCH为矩形.在4BAH中，由勾股定 理即可得出结论.(2)取CD中点T,连接TE,则TE是梯形中位线，得 ET/ AD, ETCD,ZAET=ZB=70 :又 AD=AE=1,得到 Z AED=Z ADE=Z DET=35.由 ET 垂直平分 CD,得 / CET= / DET=35,即 可得到结论.(3)分两种情况讨论： 当/ AEO90 时，易知 CBE CAE CAD,得/ BCE=30 , 解4ABH即可得到结论. 当/CAE=90时，易知CDABCA,

6、由相似三角形对应边成比例即可得到结论.试题解析：解：(1)过A作AHLBC于H.由/D=/BCD=90,得四边形 ADCH为矩形.在4BAH 中，AB=2, Z BHA=90, AH=y, HB= X 1 , /. 22 y2 x 12,贝u yx2 2x 30 x3(2)取CD中点T,联结TE,则TE是梯形中位线，得 ET/ AD, ETCD,/ AET=Z B=70 :又 AD=AE=1,Z AED=Z ADE=Z DET=35.由 ET垂直平分 CD,得 / CET=/DET=35,/ AEC=70 +35 =105 :(3)分两种情况讨论:当/ AEO90 时，易知 CBE CAE C

7、AD,得 / BCE=30 ,则在 4ABH 中，/B=60, /AHB=90, AB=2,得 BH=1,于是 BC=2. 当/CAE=90 时，易知CDABCA,又 AC JBC2 AB2皿 AD CA 1 x2 41 .17(舍负)贝U 一 x AC CB . x2 4 x2易知/ACM90,所以边BC的长为1 折.2综上所述：边BC的长为2或1 府点睛：本题是四边形综合题.考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质.解题的关键 是掌握梯形中常见的辅助线作法.4.如图(1)在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连接 AE,彳BF，AE,垂足为G 交AD于F(1)求证：AF=DE；(2)连

8、接DG,若DG平分/EGF如图(2),求证：点 E是CD中点；(3)在(2)的条件下，连接 CG,如图(3),求证：CG= CD.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) CG= CD,见解析.【解析】【分析】(1)证明ABAF AADE (ASA)即可解决问题.(2)过点D作DMGF, DNLGE,垂足分别为点 M, N.想办法证明 AF= DF,即可解决 问题.(3)延长AE, BC交于点P,由(2)知DE= CD,利用直角三角形斜边中线的性质，只要 证明BC= CP即可.【详解】(1)证明：如图1中，A f n冈在正方形 ABCD中，AB = AD, / BAD= / D= 900,/

9、 2+Z 3=90 又 BFL AE,/ AGB= 90 / 1 + / 2=90 ,Z 1 = / 3在 BAF与AADE中，/ 1 = / 3 BA=AD / BAF=Z D, .BAFMDE (ASA).AF= DE.(2)证明：过点 D作DMGF, DNGE,垂足分别为点 M, N.由(1)得/1=/3, /BGA= /AND=90, AB= AD .BAGAADN (AAS).AG= DN,又 DG平分/EGF, DMXGF, DNXGE,.DM = DN,.DM=AG,又/AFG=/DFM, / AGF= / DMF .AFGADFM (AAS),1 1 - . AF = DF=

10、DE= AD= CD,22即点E是CD的中点.(3)延长AE, BC交于点P,由(2)知DE= CD,图3/ ADE= / ECP= 90 : / DEA= / CEP.ADEAPCE (ASA).AE= PE,又 CE/ AB,BC= PC,在 RtBGP 中，BC= PC, 1 CG= BP= BC,2.CG= CD.【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性 质定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问 题，属于中考压轴题.5.如图，在 4ABC中，/ACB=90, /CAB=30,以线段 AB为边向外作等边 A

11、BD,点E 是线段AB的中点，连接CE并延长交线段 AD于点F.(1)求证：四边形 BCFD为平行四边形；(2)若AB=6,求平行四边形 ADBC的面积._一 .一07M【答案】(1)见解析；(2) S平行四边形ADBb27、3.2【解析】【分析】(1)在 RABC 中，E 为 AB 的中点，贝U CE=- AB, BEAB,得至ij Z BCE=Z EBC=60:由22 AEF BEC 得 / AFE=/ BCE=60.又 / D=60 ,得 / AFE=/D=60 度.所以 FC/ BD,又因为 /BAD=/ ABC=60,所以 AD/ BC,即 FD/BC,则四边形BCFD是平行四边形.

12、(2)在RtABC中，求出BC, AC即可解决问题；【详解】解：(1)证明：在 4ABC 中，/ACB=90, Z CAB=30 ,/ ABC=60 ,在等边 4ABD 中,Z BAD=60 ； ，/BAD=/ ABC=60 , E 为 AB 的中点，. . AE=BE 又/ AEF=Z BEC八八 一人，一 。，一 八11 .AEH4BEC 在 ABC 中，/ ACB=90 , E 为 AB 的中点，.CEAB, BE=- AB,22 . CE=AE/ EAC=Z ECA=30 ,/ BCE4 EBC=60又.， AEF BEC,，/AFE=/ BCE=60又. / D=60 ； . . /

13、 AFE=/ D=60 ； . . FC/ BD,又 / BAD=/ABC=60 ，AD/ BC,即 FD/ BC,，四边形 BCFD是平行四边形；(2)解：在 RtABC中，. /BAC=30, AB=6, . BC=AF=3 AC=3/3 , . S平行四边形BCF=3 X3y3 = 9 J3b , SAACF= X 33y3 =93 , S平行四边形 ADB5 27Y3 222【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直 角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考 题型.6.如图，在菱形 ABCD中，AB=4,

14、 ZBAD=120, 4AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC, CD 上.(1)证明：BE=CF(2)当点E, F分别在边BC, CD上移动时(4AEF保持为正三角形)，请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值.(3)在(2)的情况下，请探究 CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如试题分析：(1)先求证 AB=AC,进而求证 ABC 4ACD为等边三角形，得 / 4=60,AC=AB进而求证 ABEACF,即可求得 BE=CF(2)根据AB4ACF可得Saabe=Sxacf,故本据S四边形AECF=Sx AEC+S ACF=Sa AEC

15、+Sa ABE=Sa ABC 即可解题；(3)当正三角形 AEF的边AE与BC垂直时，边 AE最短.4AEF的面积会随着 AE的变化 而变化，且当AE最短时，正三角形 AEF的面积会最小，又根据 Sacef=S四边形aecfSxaef,则 CEF的面积就会最大.试题解析：(1)证明：连接AC,2 /1 + /2=60 ； / 3+/2=60 ；/ 1 = 7 3,3 / BAD=120 ,/ ABC=Z ADC=60四边形ABCD是菱形,.AB=BC=CD=AD.ABG 4ACD为等边三角形/ 4=60 : AC=AB,在 4ABE和 4ACF 中，rzi=Z3AB=AC ，ZABC=Z 4

16、.ABEMCF. (ASA)，BE=CF(2)解：由(1)得ABE0ACF,贝U Sa abe=Sa acf.故S 四边形 aecf=Sa aec+Sa acf=Sa aec+Sa abe=Sa abc,是定值.作AHBC于H点，贝U BH=2,S 四边形 AECF=S/ ABC=-=九7二=46；(3)解：由 垂线段最短”可知，当正三角形 AEF的边AE与BC垂直时，边 AE最短.故4AEF的面积会随着 AE的变化而变化，且当 AE最短时,正三角形AEF的面积会最小，又 Sa ce=S 四边形AECF- SaAEF,则CEF的面积就会最大.由(2)得，SACEF=S四边形 AECF SaAE

17、F=46-y M 2百 X (2仃)？-()2=/5.点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证ABEACF是解题的关键.7.如图，在平行四边形 ABCD中，AD DB,垂足为点D,将平行四边形 ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为 EF, EF交对角线BD于点P.(1)连结CG,请判断四边形 DBCG的形状，并说明理由；(2)若AE= BD,求/EDF的度数.A S【答案】（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；（2） ZEDF= 120.【解析】【分析】（1）根据平行

18、四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可. 【详解】解：（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，四边形ABCD是平行四边形，四边形BCGD是平行四边形，.ADXBD,/ CBD= 90 ； 四边形BCGD是矩形；(2)由折叠可知：EF垂直平分BD, BDXEF, DP= BP, .ADXBD, .EF/ AD/ BC,AE PD /1BE BP .AE= BE,.DE是RtA ADB斜边上的中线，,-.DE=AE= BE,.AE= BD,.DE=BD= BE,.DBE是等边三角形，/ EDB= / DBE= 60 ,.

19、 AB/ DC,/ DBC= ZDBE= 60 ； / ED已 120 :【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用 定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度8.如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E (30, 0),交y轴于点D (0,八1、r 、一r 40),直线AB： y=-x+5交x轴于点A,交y轴于点B,交直线DE于点P,过点E作3EFL x轴交直线 AB于点F,以EF为一边向右作正方形 EFGH(1)求边EF的长；(2)将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒 J10个单位的速度匀速平移，得到正方形EiFiGiHi,

20、在平移过程中边 FiGi始终与y轴垂直，设平移的时间为 t秒(t0).当点Fi移动到点B时，求t的值； 当Gi, Hi两点中有一点移动到直线 DE上时，请直接写出此时正方形日FiGiHi与4APE重叠部分的面积.F K 3【答案】(i) EF= i5; (2)i0 ;i20 ;【解析】【分析】(i)根据已知点E (30, 0),点D (0, 40),求出直线 DE的直线解析式y=-x+40,可3求出P点坐标，进而求出 F点坐标即可；(2)易求B (0, 5),当点Fi移动到点B时，t=i0 J70 770 =i0；MH 4RDMH中，EM 3 F点移动到F的距离是Ji0t, F垂直x轴方向移动

21、的距离是 t,当点H运动到直线DE上时，在 RtFNF 中，-NF=i , EM=NG=i5-FN=i5-3t,在PK 1=一NF 3t=4, Sm1 X (i2+5)X iiU23 ；当点G运动到直线 DE上时，在 RtFPK中, 248PKPK=t-3, FK=3t-9,在 RtPKG中，KG15 3t 94,t=7, S=15X (15-7) =120.3【详解】(1)设直线DE的直线解析式y=kx+b, 将点 E (30, 0),点 D (0, 40),30k b 0b 4043 ,40- y = x+403直线AB与直线DE的交点P (21, 12),由题意知F (30, 15),E

22、F= 15;(2)易求 B (0, 5),BF=10V10 ,，当点F1移动到点B时，t=10ji6 Ji6=10;当点H运动到直线DE上时，F点移动到F的距离是痴t,在 RtFNF 中，-NF=1NF 3.FN=t, FN=3t,.MH= FN= t,EM= NG= 15- FN= 15- 3t, 在 RtDMH中，MH 4一 ,EM 3t 4, - .EM = 3, MH= 4,145S= (12) 1110238 ，24当点G运动到直线DE上时,F点移动到F的距离是Mt,PF=3ji0,-PF=t- 3710 ,在 RtFPK 中，PK 1 -,F K 3.PK= t-3, FK= 3t

23、9,在 RtA PKG中,PKKGt 34=15 3t 93.t = 7,.S= 15 x（15-7） = 120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角 形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影 部分的面积是解题的关键.9.（感知）如图，四边形ABCQ CEFG均为正方形.可知 BE=DG.（拓展）如图 ，四边形 ABCR CEFG匀为菱形，且 /A=/F.求证：BE=DG（应用）如图 ，四边形ABCD CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线 上.若AE=2ED, /A=/F, EBC的面积为8

24、,菱形CEFG的面积是.（只填结 果）试题分析：探究:图图由四边形 ABCD,四边形CEFG均为菱形，禾IJ用 SAS易证得 BCE DCG,贝U可得BE=DG；应用：由 AD/ BC, BE=DG 可得 Saabe+Sacde=SabecfSacdG=8,又由 AE=3ED 可求得 CDE 的面积，继而求得答案.试题解析：探究：二.四边形ABCR四边形CEFG匀为菱形，BC=Cq CE=CG / BCD=Z A, / ECG之 F. / A=Z F,/ BCD=Z ECG / BCD-/ ECD=Z ECGjECD 即 / BCE玄 DCG.在ABCE和ADCG中,BC=CDBCE= DCG

25、CE=CG.-.BCEADCG (SAS ,BE=DG.应用：二.四边形ABCD为菱形,.AD/ BC, BE=DG,Saabe+SacdefSabecfSacdg=8 , .AE=3EDSa cde= - 82 ,4SaecgfSacde+S/cdgf10二. S 菱形 cef(=2Sa ecG=20.10.在VABC中，ABC 90, BD为AC边上的中线，过点 C作CE BD于点E,过点A作BD的平行线，交 CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取 FG BD ,连接BG,DF.1 求证：BD DF ;2求证：四边形 BDFG为菱形;3若AG 5, CF ,求四边形BDFG的周长.G【答

26、案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 8【解析】【分析】1利用平行线的T生质得到CFA 900,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证，2利用平行四边形的判定定理判定四边形BDFG为平行四边形，再利用 1得结论即可得证，3设GF x,则AF 5 x,利用菱形的性质和勾股定理得到CF、AF和AC之间的关系，解出x即可.【详解】1 证明：QAG /BD , CF BD ,CF AG ,又Q D为AC的中点，1DF -AC , 2一 1-又Q BD -AC ,2BD DF ,2 证明：QBD/ /GF, BD FG ,四边形BDFG为平行四边形，又Q BD DF ,四边形BDFG为

27、菱形，3 解：设 GF x ,则 AF 5 x, AC 2x ,在 RtVAFC 中，(2x)2 (77)2 (5 x)2,解得：x1 2, x216人、力-（舍去），3GF 2,8.菱形BDFG的周长为【点睛】正确掌握这些（与点 A、C不重 垂足为点F.本题考查了菱形的判定与性质直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识, 定义性质及判定并结合图形作答是解决本题的关键.11.已知边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点 合），过点 P作P已PB , PE交射线DC于点E,过点E作EF，AC, （1）当点E落在线段CD上时（如图），求证：PB=PE 在点P的运动过程中，PF的长度是否

28、发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变 化，试说明理由；（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P的运动过程中， APEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不【答案】（1）证明见解析；点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为 叵;（2）2画图见解析，成立；（3）能，1.【解析】分析：（1）过点P作PG BC于G,过点 P作PHI DC于H,如图1.要证PB=PE只 需证到PG4PHE即可； 连接BD,如图2.易证ABOPAPFE则有BO=PF,只需 求出BO的长即可.（2

29、）根据条件即可画出符合要求的图形，同理可得（1）中的结论仍然成立.（3）可分点E在线段DC上和点E在线段DC的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求 出符合要求的AP的长.详解：（1） 证明：过点 P作PG BC于G,过点P作PHI DC于H,如图1.四边形 ABCD是正方形，PGJ BC, PH, DC, / GPC4 ACB=Z ACD=Z HPC=45 :PG=PH, / GPH=Z PGB=Z PHE=90 , . PE PB即 / BPE=90, / BPG=90 - / GPE之 EPH在 PGB和APHE中，PGB= PHEPG=PH , BPG= EPH. .PG PHE (AS

30、A), .PB=PE连接BD,如图2.C图2 四边形ABCD是正方形，. / BOP=90 . . PE PB即 / BPE=90,/ PBO=90 - / BPO=Z EPFEF PC即/PFE=90,/ BOP=Z PFE在 BOP和 PFE中，PBO= EPFBOP= PFEPB= PE.,.BOPAPFE (AAS),BO=PF. 四边形ABCD是正方形，.OB=OC, /BOC=90；. .PF=.2点pp在运动过程中，pf的长度不变，值为Y2.2(2)当点E落在线段DC的延长线上时，符合要求的图形如图3所示.(3)若点E在线段DC上，如图1 .Z BPE4 BCE=90,Z PBC

31、+Z PEC=180. Z PBG90 .若APEC为等腰三角形，则 EP=ECZ EPCW ECP=45,Z PEC=90,与 Z PEQ90 矛盾，当点E在线段DC上时，APEC不可能是等腰三角形. 若点E在线段DC的延长线上，如图 4.D若APEC是等腰三角形， / PCE=135, .CP=CE /CPE4 CEP=22.5. / APB=180 - 90 - 22.5 = 67.5 . / PRC=90+2 PBR=90+/ CER / PBR玄 CER=22.5, / ABP=67.5 , / ABP=Z APB.AP=AB=1. .AP的长为1.点睛：本题主要考查了正方形的性质、

32、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角 平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理、三角形的内角和定理及外角性质等知 识，有一定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键.12.如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，连结 CE,过顶点C作C。CE,交AD延 长线于F.求证：BE=DF.【答案】证明见解析.【解析】分析：根据正方形的性质，证出 BC=CD /B=/ CDF, /BCD=90,再由垂直的性质得到/ BCE=Z DCF,然后根据 “ ASA明 BCE BCE即可得到 BE=DF详解：证明：CFCE,/ ECF=90, 又 / BCG=90, / BCE+Z E

33、CD =Z DCF+Z ECD / BCE玄 DCF,在 BCE与 DCF中， / BCE玄 DCF, BC=CD / CDF之 EBC.,.BCEABCE (ASA),.BE=DF.点睛：本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答 此题的关键.13.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线BD上一动点(P与B、D不重合)， /APE=90,且点E在BC边上，AE交BD于点F.(1)求证： PA4PCB；PE=PC；(2)在点P的运动过程中， ”的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，请说明理由；(3)设DP=x,当x为何值时，AE/ PC,并判断此时四边形 P

34、AFC的形状.1 C【答案】(1)见解析；AP AE 2 ；(3) x=J-1;四边形PAFC是菱形.【解析】试题分析：(1)根据四边形 ABCD是正方形，得出 AB=BC /ABP=/ CBP ,再根据PB=PB 即可证出PA4PCB, 根据 / PAB+/ PEB=180, / PEC+Z PEB=180,得出 / PECh PCB 从而证出 PE=PC (2)根据 PA=PC PE=PC 得出 PA=PE 再根据 /APE=90,得出 / PAE4 PEA=45 ,即可求AP出八上；(3)先求出/CPE4 PEA=45 ,从而得出 /PCE，再求出/ BPC即可得出/ BPC=/ PCE

35、从 而证出 BP=BC=1 x=2 1,再根据 AE/ PC,得出 /AFP=Z BPC=67.5,由PAg4PCB 得出Z BPA=/ BPC=67.5, PA=PC从而证出 AF=AP=PC得出答案.11试题解析：(1)二.四边形 ABCD是正方形，AB=BC, / ABP=/ CBP= / ABC=45 . PB=PB,APABAPCB (SAS .由 PAg PCB可知，/ PAB=Z PCB. Z ABE=Z APE=90, . . / PAB+Z PEB=180,又 / PEC吆 PEB=180 ,/ PECh PAB=Z PCB,. PE=PCAP(2)在点P的运动过程中，的值不

36、改变.由 PA PCB可知，PA=PC,.PE=PCPA=PE又 / APE=90 ,AP U7 s.PAE是等腰直角三角形，/PAE土 PEA=45, ：.AE= 7 .(3) AE/ PC,Z CPE=/ PEA=45 , 在 APEC 中，Z PCE=Z PEC= (180 45)=67.5 :在PBC中，Z BPC= (180 / CBP / PC日=(180 45 67.5 ) =67.5 .，/BPC=Z PCE=67.5, ，BP=BC=1, . x=BDBPA,？ 一 1. AE/ PC,/ AFP=Z BPC=67.5 ,由 PA PCB可知，/ BPA=Z BPC=67.5

37、, PA=PC ，/AFP=/ BPA, .-.AF=AP=PC，四边形 PAFC是菱形.考点：四边形综合题.14.倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径.下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成 类比猜想”的问 题.习题如图(1),点E、F分别在正方形 ABCD的边BC CD上，/ EAF=45 ,连接EF,则 EF=BE+DF说明理由.解答：.正方形 ABCD 中，AB=AD, / BAD=/ ADC=Z B=90,把ABE绕点A逆时针旋转 90至ADE；点F、D、E在一条直线上. . / E AF=905 =45 =/ EAF,又A

38、E = A&F=AF.AEAAEF (SA . EF=E F=DE +DF=BE+DF类比猜想：(1)请同学们研究：如图(2),在菱形ABCD中，点E、F分别在BC CD上，当 /BAD=120 , /EAF=60时，还有 EF=BE+DF马？请说明理由.(2)在四边形 ABCD中，点E、F分别在BC CD上，当AB=AD, / B+/D=180 ,1/ EAF=v / BAD时，EF=BE+DF马？请说明理由.D【答案】证明见解析.【解析】试题分析：（1）把ABE绕点A逆时针旋转120。至AADE,如图（2）,连结E ,F根据菱 形和旋转的性质得到 AE=AE, /EAF=/ E AF利用S

39、ASE明4AE图AE E得至U EF=E乎 由于/ADE廿ADC=120 ,则点F、D、E不共线，所以 DE +D F EF,即由BE+DF EF;（2）把 ABE绕点A逆时针旋转/ BAD的度数至AADE,如图（3）,根据旋转的性质得 到 AE =AE / EAF=Z E AF然后利用 “SASE明 AEH AE F 得到 EF=E J 由于 /ADE4ADC=180知F、D、E共线，因此有 EF=DE +DF=BE+网前面的条件和结论 可归纳出结论.试题解析：（1）当 /BAD=120, /EAF=60 时，EF=BE+D环成立，EF EF;11（2）当 AB=AD, /B+/ D=180

40、 , /EAF=/BAD 时，EF=BE+D城立.理由如下：如图（3）,Ef .AB=AD, 把ABE绕点A逆时针旋转/ BAD的度数至ADE；如图（3）, . / EAE/BAD, /1 = /3, AE =AE）E， =B* ADE B, / B+/D=180 , / ADE 4D=180 , 点F、D、E共线， 1 Z EAF=/ BAD, 11,2 一. / 1 + / 2=/ BAD,11/ 2+/ 3，/ BAD, ./EAF=/E AF 在AAEF和4人E由AE = AET LEAF = tfTAF.1.AEFAAE，RSAS ,EF=E : FEF=DE +DF=BR +DF归

41、纳：在四边形 ABCD中，点E、F分别在 BC CD上，当AB=AD, / B+/D=180 , a/ EAF= / BAD 时,EF=BE+DF 考点：四边形综合题.15.如图，正方形 ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点 B坐标为（3, 3）.将正方形 ABCO绕点A顺时针旋转角度 & （0 “V 90。），得到正方形 ADEF ED交线段OC于点G, ED的 延长线交线段BC于点 巳 连AP、AG.（1）求证：AO8 4ADG；（2）求/PAG的度数；并判断线段 OG、PG BP之间的数量关系，说明理由；（3）当/1 = /2时，求直线PE的解析式；（4）在（3）的条件下，直线 PE上是否存在点 M,使以M、A、G为顶点的