第1部分专题1 2013届高三数学高考前客观题常考八个问题

1、 在下面10个小题中，有2个表述不正确，请在题后用“”或“×”判定，并改正过来1真子集：若AB，但xB，且xA，则AB；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集()2全称命题p：xM，p(x)的否定是綈p：x0M，綈p(x0)；特称命题p：x0M，p(x0)的否定是綈p：xM，綈p(x)()3设非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10；abx1x2y1y20.()4设非零向量a，b，且a，b，则数量|a|b|cos 叫向量a与b的数量积；规定0与任意非零向量的数量积为0.如果a·b<0，则角一定为钝角()5形如abi(a，bR)的数叫做复数

2、；若a0，且b0时，则abi为纯虚数()6点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2)位于直线AxByC0的两侧的充要条件是(Ax1By1C)·(Ax2By2C)<0.()7若xys(定值)，那么当xy时，xy有最大值；若xyP(定值)，那么当xy时，xy有最小值2 .()8归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理()9否命题是对原命题的条件和结论同时否定命题的否定仅仅否定原命题的结论(而条件不变)()10设是a与b的夹角，则|a|cos 叫做a在b的方向上的投影，|b|cos 叫做b在a的方向上的投影b在a的方向上的投

3、影是一个实数，而不是向量()名师点拨12.3.4.×5.6.7.×8.910.第4题忽视向量a，b方向相反情形；第7题用基本不等式求最值必须满足x，y均为正数，订正如下：订正4设非零向量a，b，若a，b，则a与b的数量积为|a|b|cos ；规定0与任意向量的数量积为0.若a·b<0，则是钝角，或(即向量a，b的方向相反)订正7若xys(定值)，x>0，y>0，那么当xy时，xy有最大值；若xyP(定值)，x>0，y>0，那么当xy时，xy有最小值2 .在下面8个小题中，有2个表述不正确，请在题后用“”或“×”判定，并改正过

4、来1交集的补集等于补集的并集，即U(AB)(UA)(UB)；并集的补集等于补集的交集，即U(AB)(UA)(UB)()2若pq，且qp，则p是q的充分不必要条件，綈q是綈p的充分不必要条件()3. 向量，中三终点A、B、C共线存在实数，使得且1.()4若a0，则a·b0b0.()5复数zabi(a，bR)与复平面内的点Z(a，b)与复平面向量(a，b)一一对应()6若ac2>bc2，则a>b；若<，则a>b.()7当a，b大于0时，不等式 (当且仅当ab时，取等号)成立()8若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos a，b.()名师点拨12.3.4.&#

5、215;5.6.×7.8.第4题中，非零向量垂直，数量积为0；第6题没注意字母的符号订正4若a0，则a·b0b0或ab.订正6若ac2>bc2，则a>b；若<，则b>0>a，或a>b且ab>0.1考生不能正确理解集合中代表元素所表示的意义，数集与点集混淆、函数的定义域与值域混淆、图形集与点集混淆等，如x|y 与y|y 以及(x，y)|y 分别表示函数y的定义域、值域以及函数图象上的点集2考生容易忽视两个集合基本运算中端点值的取舍导致增解或漏解，求解集合的补集时由于错误否定条件导致错解，如已知A，误把集合A的补集写为导致漏解；集合运算

6、时，切莫遗漏空集3考生易混淆充要条件的判断中“甲是乙的什么条件”与“甲的一个什么条件是乙”4考生易混淆向量共线(平行)与直线平行，向量共线(平行)是指两向量所在的直线平行或重合，但两直线平行时一定不会重合5考生要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行；00(R)，而不是等于 0；0与任意向量的数量积等于0，即0·a0；但不说0与任意非零向量垂直6考生易误认为向量数量积的运算律与实数相同，实际上在一般情况下(a·b)·ca·(b·c)；a·b0时未必有a0或b0.7复数相等的充要条件是复数问

7、题实数化的主要解题途径，往往易忽视题目中给出的条件，导致错误两复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可比较大小8解形如一元二次不等式ax2bxc>0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论9考生应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把0直接转化为f(x)·g(x)0，而忽视g(x)0.10容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x) 的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数yx(x<0)时应先转化为正数再求解11求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如是指

8、已知区域内的点(x，y)与点(2,2)连线的斜率，而(x1)2(y1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1,1)的距离的平方等12类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比用数学归纳法证明时，易盲目认为n0的起始取值n01，另外注意证明传递性时，必须用nk成立的归纳假设13在循环体结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果1漏解陷阱忽视空集致误【例1】 设集合Ax|x24x0，xR，Bx|x22(a1)xa210，aR，xR，若BA，求实数a的取值范围错解A0，4，BA.(1)当BA时，B0，4，则0和4是方程x22(a1)xa210的根解得a

9、1.(2)当B0或B4时，BA.则4(a1)24(a21)0，解得a1.此时B0，满足题意综上可知，实数a的取值范围是a±1.错因分析 集合B是方程x22(a1)xa210的实根所构成的集合；BA有B，与B两种情形，本题忽视方程无实根，即B的情况，导致漏解正解 在上述解题过程中，补上B.此时，4(a1)24(a21)<0，解得a<1.因此，实数a的取值范围是a1或a1. 造成本题错误的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质空集是一个特殊集合，由于思维定势，往往在解题中遗忘这个集合，导致错误或解题不全面当题目中出现AB，ABA，ABB(已知B)时，要注意A可能为这

10、种情形；尤其要注意在解决含参数的方程或不等式的问题时，往往遗漏的讨论而导致漏解【补偿训练1】 (2012·济宁调研)已知Ax|x23x20，Bx|ax20，且ABA，则实数a取值的集合C是_解析ABA，BA.当B时，a0，满足题意当B时，A1,2，B.则1或2.解之得a2或a1.因此C0,1,2答案0,1,22算理陷阱错用平面向量的运算律与性质【例2】 若非零向量a与b满足：a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角的余弦值正解 a3b与7a5b垂直，(a3b)·(7a5b)0，即7|a|216a·b15|b|20，同理得7|a|230a·

11、;b8|b|20，得46a·b23|b|2，即a·b|b|2，代入，得|a|2|b|2，|a|b|，cosa，b.易错提醒 转化条件得到7|a|216a·b15|b|20与7|a|230a·b8|b|20，然后两式相减得出a·bb2，出现以下错误：(1)误用消去律，得ab，由共线定理知，向量a与b的夹角为0°.(2)错用数量积，得2|a|b|cos |b|2，得cos . 两个向量的数量积是一个实数，有模的形式与坐标运算形式，注意两种不同形式的变化与应用：一是要注意若两边是数量积的形式时不能用消去律；二是要充分利用条件，灵活运用数量积

12、的性质解题【补偿训练2】 已知下列各式：a2|a|2；(a·b)2a2·b2；(ab)2a22a·bb2.其中正确的个数有_个解析由数量积的定义和性质可以判定只有、正确，、不正确对于：.对于：(a·b)2(|a|b|cos )2|a|2|b|2cos2 |a|2·|b|2a2·b2.答案23概念陷阱复数的概念要明辨【例3】 若zsin i是纯虚数，则tan的值为()A7 B7 C D7或正解 由z为纯虚数，知sin 0，且cos 0.则sin ，从而cos .所以tan .tan7.答案A易错提醒 本题常见的错误主要有两点：一是混淆复

13、数的有关概念，忽视虚部不为0的限制条件，错得sin ，且cos ，导致错选C.二是记错两角差的正切公式，导致计算有误 在求解概念类问题时，一定要仔细辨析试题中待求的问题，在准确理解好概念的前提下进行解答，才能有效地避免概念性错误在本题中，搞清纯虚数与复数的相关概念是关键，复数问题实数化是求解复数问题的主要途径之一【补偿训练3】 (2011·北京高考改编)在复平面内，复数zi(12i)对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析zi(12i)i2i22i2.复数z对应的点为(2,2)在第二象限答案B4条件陷阱忽视基本不等式求最值的条件【例4】 若x，y>0，且

14、x2y3，求的最小值错解 3x2y2， ，.又2 ，因此2×.所以的最小值为.错因分析 本题的错误主要在于在两式中，连续使用基本不等式，等号成立的条件是x2y，且，xy0，这与x>0，y>0矛盾，因此等号不成立正解 1，当且仅当时，即当x33，且y3时，等号成立所以的最小值为1. 利用均值不等式ab2及变形ab2等求函数最值，务必注意实数a，b大于0.积“ab”或和“ab”其中之一应是定值，特别是要注意等号成立的条件本题中多次应用基本不等式必须保证等号同时成立，若某一条件不满足时，可以通过拆项、添项、配凑因式、调整系数等方法使之满足条件【补偿训练4】 (2012·

15、;惠州模拟)已知x>0，y>0，且1，若x2y>m22m恒成立，求实数m的取值范围解x0，y0，1，x2y(x2y)48.当且仅当，即x2y时等号成立x4且y2时，x2y取到最小值8.依题意，x2ym22m对x0，y0恒成立，应有m22m8，解之得4m2.所以实数m的取值范围是(4,2)5图解陷阱线性规划作图要准确【例5】 (2012·济南质检)已知函数f(x)ax2bx1(a，bR，且a>0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则的取值范围为()A(，1) B(，1 C(2,1 D(2,1)正解 a>0，函数f(x)的图象开口向上又f(0)1，

16、因此要使f(x)的一个零点在区间(1,2)内，则有即如图所示，阴影部分是上述不等式组确定的平面区域又式子表示平面区域内的点P(a，b)与点Q(1,0)连线的斜率又直线AQ的斜率k1，且直线4a2b10的斜率为2.显然不等式组表示的平面区域不包括边界所以的取值范围为(2,1)答案D易错提醒 本题常出现的错误主要有：(1)不能根据函数f(x)的图象特征及零点所在区间确定a，b所满足的线性约束条件；(2)忽视a>0的限制条件，导致错解；(3)不能准确作出约束条件表示的平面区域，边界错以为实线，错求的取值范围为(2,1，误选C；(4)数形结合能力差，不明确的几何意义，盲目求解 (1)本题是集函数

17、零点范围与线性规划的综合问题首先结合函数图象特征确定f(x)在指定区间存在零点的条件(a与b满足的约束条件)，再确定不等式组所表示的平面区域，从而将目标函数转化为平面区域内点与定点连线的斜率，数形结合求解(2)由a、b的线性约束条件作可行域，一定要注意不等式组中各个不等式是否带有等号，题目中作出的是无界区域，否则很容易忽视边界值导致求错目标函数的取值范围【补偿训练5】 (2011·安徽)设变量x，y满足|x|y|1，则x2y的最大值和最小值分别为()A1，1 B2，2 C1，2 D2，1解析如图，先画出不等式|x|y|1表示的平面区域，易知当直线x2yu，经过点B，D时分别对应u的最

18、大值和最小值，所以umax2，umin2.答案B6盲目类比致误【例6】 在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：1，把它类比到空间，写出三棱锥中的类似结论_正解 设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥ABCD四个面上的高，P为三棱锥ABCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd.于是我们可以得到结论：1.答案1易错提醒 从平面到空间的类比时缺乏对应特点的分析，在三角形中是其内一点到各边的距离与该边上的高的比值之和等于1，类比到空间就应该是三棱锥内一点到各个面的距离与该面上高的比值之

19、和等于1.本题如果不考虑比值的特点，就可能误以为类比到空间后是面积之比等，从而得到一些错误的类比结论 (1)类比推理是一种由此及彼的合情推理，“合乎情理”是这种推理的特征，一般的解答思路是进行对应的类比，如平面上的三角形对应空间的三棱锥(四面体)，平面上的面积对应空间的体积等(2)类比推理得到的结论不一定正确，故这类题目在得到类比的结论后，还要用类比方法对类比结论的正确性作出判断，例如本题在三角形中的结论是采用等面积法得到的，在三棱锥中就可以根据等体积法得到，这样不但写出类比的结论，而且这个结论还是一个正确的结论【补偿训练6】 若O是线段AB上一点，则有|·|·0.将它类比

20、到平面的情形是：若O是ABC内一点，则有SOBC·SOCA·SOBA·0.将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有_ _解析由线段到平面，线段的长类比为面积，由平面到空间，面积可以类比为体积，由此可以类比得一命题为O是四面体ABCD内一点，则有VOBCD·OVO ACD·OVO ABD·OVO ABC·O0.答案VO BCD·OVO ACD·OVO ABD·OVO ABC·O0主要题型：近两年高考命题看，本专题在解答题中不单独命题，常与相关内容交汇渗透，作为知识载体

21、或作为题目中一问(或某一环节)命题主要涉及：(1)以平面向量为载体的三角函数问题；(2)含参数的不等式恒成立问题；(3)数列中的不等关系(详见专题四的解题程序构建)方向1三角函数中的平面向量【例1】 (2012·徐州质检)已知向量a，b，其中x.(1)若|ab| ，求x的值；(2)函数f(x)a·b|ab|2，若c>f(x)恒成立，求实数c的取值范围 (1)由向量模的性质，得三角等式，再求三角函数值，从而求出角x；(2)运用向量运算化简函数f(x)，求f(x)max，得c>f(x)max.规范解答赏析构建解题程序解(1)ab，ab ，由|ab| ，得 ，即sin

22、 2x.x，2x2.因此2x或2x，即x或x.(2)a·bcossinsincossin 2x，f(x)a·b|ab|223sin 2x，2x2，1sin 2x0，2f(x)23sin 2x5，f(x)max5.又c>f(x)恒成立，因此c>f(x)max，则c>5.实数c的取值范围为(5，).解题程序第一步：由向量模性质，得三角等式第二步：根据三角函数值及角的范围求x.第三步：化简函数f(x)，并求f(x)max.第四步：由不等式恒成立，求c的取值范围第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，规范答题批阅笔记1.求解的关键利用向量的运算与性质转化为三角函数关

23、系，根据三角变换求值2.本题易错点：(1)向量运算与三角恒等变形能力差，化简失误(2)忽视角x这一条件，导致计算致错.方向2含参数不等式的恒成立问题【例2】 已知函数f(x)x3bx2cxd，当x和x1时取得极值(1)求b和c的值；(2)若对于任意x1,2，f(x)<2d21恒成立，求d的取值范围 f(x)f(x)求b，c在1,2上求f(x)的最大值解不等式f(x)max<2d21d的取值范围.规范解答赏析构建解题程序解(1)f(x)x3bx2cxd，f(x)3x22bxc.又x和x1是f(x)的极值点，即解之得检验b，c2符合要求(2)由(1)知f(x)x3x22xd，f(x)3

24、x2x2，令f(x)0得x1，x21，当x时，f(x)>0，即f(x)在上为增函数当x时，f(x)<0，即f(x)在上为减函数当x1,2时，f(x)>0，即f(x)在(1,2上为增函数又fd，f(2)2d，f(2)2d>fd，当x1,2时，f(x)max2d，又x1,2时，f(x)<2d21恒成立2d<2d21，解之得d<1或d>，故d的取值范围是.解题程序第一步：将问题转化为形如不等式f(x)a或f(x)a)恒成立的问题第二步：求函数f(x)的最小值f(x)min或f(x)的最大值f(x)max.第三步：解不等式f(x)mina(或f(x)ma

25、xa)第四步：明确规范地表述结论第五步：反思回顾查看关键点、易错点及规范解答如本题重点反思每一步转化的目标及合理性，最大或最小值是否正确批阅笔记不能将条件：对任意x1,2，f(x)<2d21恒成立，转化为：当x1,2时，f(x)max<2d21是失分的主要原因.一、选择题1已知Uy|ylog2x，x>1，P，则UP()A. B.C(0，) D(，0解析化简得Uy|ylog2x，x>1(0，)，P，所以UP.故选A.答案A2已知i是虚数单位，m，nR，且mi1ni，则()A1 B1Ci Di解析由mi1ni(m，nR)，m1且n1.则i.答案D3(2011·广东

26、)已知集合A(x，y)|x，y为实数，且x2y21，B(x，y)|x，y为实数，且xy1，则AB的元素个数为()A4 B3C2 D1解析AB的元素个数，即为直线与圆的交点个数由易知直线与圆有两个交点(0,1)，(1,0)，AB(0,1)，(1,0)答案C4已知命题p：2x，命题q：x，则下列说法正确的是()Ap是q的充要条件Bp是q的充分不必要条件Cp是q的必要不充分条件Dp是q的既不充分也不必要条件解析由2x，2x1.又x2，得2x.p是q的充分不必要条件答案B5已知a(1，sin2x)，b(2，sin 2x)，其中x(0，)若|a·b|a|·|b|，则tan x的值等于

27、()A1 B1C. D.解析由|a·b|a|·|b|知，ab.所以sin 2x2sin2 x，即2sin xcos x2sin2 x，而x(0，)，所以sin xcos x，即x，故tan x1.答案A6执行右边的程序框图，若输出的S是127，则条 件可以为()An5 Bn6Cn7 Dn8解析依据程序框图知，12222n127，则127,2n1128.n6.因此条件可以为n6.答案B7(2011·福建)已知O是坐标原点，点A(1,1)若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是()A1,0 B0,1C0,2 D1,2解析可行域如图，M点落在F

28、BC内，设M(x，y)，令z·xy，易得zmax022，zmin110，即z0,2答案C8已知正项等比数列an满足：a3a22a1，若存在两项am，an使得 4a1，则的最小值为()A. B.C. D不存在解析设等比数列an的公比为q(q0)，a3a22a1，a1q2a1q2a1，解之得q2.又4a1，aqmn216a，2mn216.因此mn6.则(mn)59.当且仅当n2m(即n4，m2)时取等号(mn)的最小值为9，从而的最小值为.答案A二、填空题9设集合A1,1,3，Ba2，a24，AB3，则实数a的值为_解析若a23，a1.检验此时A1,1,3，B3,5，AB3，满足题意，若a243，则无解，因此，a1.答案110若对a(，0)，R，使asin a成立，则cos的值为_解析asin aa(sin 1)0，依题意，得a(，0)，恒有asin a.sin 10，则sin 1.又1sin 1，因此sin 1，cos 0.故cossin sin cos cos .答案11若平面向量a，b满足|ab|1，ab平行于x轴，b(2，1)，则a_.解析设a(x，y)，则ab(x2，y1)，由题意，得a(1,1)或(3,1)答案(1,1)或(3,1)12已知Sk1k2k3knk，当k1,2,3，时，观察下列等式：S1n2n，S2n3n2n