华南理工大学高等数学多元函数的重点知识点和例题分析ppt课件

1、11. 二元函数二元函数1定义域：规律与一元函数类似定义域：规律与一元函数类似( , )zf x yarcsinarccos,0,0.xyzabab的定义域例例3 3 求求解：要求满足解：要求满足1,1xxaaaxabybyybb 本人完成：本人完成：13422函数符号的运用函数符号的运用33( , )2,(,).f x yxyfxy设求P335P335：3 3解：直接代入法解：直接代入法33(,)()2()fxyxy 本人完成：本人完成：5，6332xy 32函数符号的运用函数符号的运用22(,)3,( , ).f xy xyxyf x y设求P333P333：例：例6 6解：换元法解：换元

2、法xyuxyv令本人完成：本人完成：92222( , )322uvvuf u vuuvv22uvxvuy22( , )f x yxxyy42、 二元函数的偏导数的定义二元函数的偏导数的定义00000000( , ),(,)(,)(,)(xzf x yxyyyxxxzf xx yf xyx对对二二元元函函数数在在点点处处，当当 固固定定在在 ，而而在在有有增增量量时时，相相应应函函数数有有增增量量称称为为对对 的的偏偏增增量量）0000000000000000(,)(,)(,)(,)limlim( , )(,)z,(,),(,) xxxxxxyxyzf xx yf xyxxzf x yxyxff

3、xyzxyxx如如果果极极限限存存在在，则则称称此此极极限限为为在在点点处处对对 的的偏偏导导数数，记记作作 500000000( , ),(,)(,)(,)(yzf x yxyxxyyyzf xyyf xyy对对二二元元函函数数在在点点处处，当当 固固定定在在 ，而而在在 有有增增量量时时，相相应应函函数数有有增增量量称称为为对对 的的偏偏增增量量）0000000000000000(,)(,)(,)(,)limlim( , )(,)z,(,),(,)yyyyyxyxyzf xyyf xyyyzf x yxyyffxyzxyyy 如如果果极极限限存存在在，则则称称此此极极限限为为在在点点处处对

4、对 的的偏偏导导数数，记记作作 63、 二元函数的偏导数的求法二元函数的偏导数的求法( , ),( , )zzf x yzf x yyxx 对对求求时时，将将中中的的变变量量 看看成成常常数数，而而对对自自变变量量 求求导导。0000(,)(,)( , )xxxyfxyfx y0000(,),(,)( , )yyxyzfxyfx yy同同理理对对7P345，15123(1,2)3,(1,2).yzzx yyfx设设求求60zxyx解解： (1,2)6 1 212. zx2233zxyy 22(1,2)3 13 215. yf本人完成：本人完成：16345，1784、 二元函数的二阶偏导数二元函

5、数的二阶偏导数,zzx yxy 对对, ,继继续续关关于于求求偏偏导导221( , )xxzzxfx yxx（） 22( , ) xyzzxfx yx yy（ ） 23( , ) yxzyzfx yy xx（ ） 224( , )yyzyzfx yyy（ ） 本人完成：本人完成：26，2795、 二元函数的全微分二元函数的全微分( , )zzzf x ydzdxdyxy的的全全微微分分为为：本人完成：本人完成：3400000000(,)(,)(,)(,)xyxyxyzzzf xydzdxdyxy的的全全微微分分为为：P358，3722sin(),.zxxy设设求求d dz z2222sin()

6、cos() 2zxyxxyxx解解：22cos() 2zxxyyy2222222sin()2cos()2cos()dzxyxxydxxyxydy106、 多元复合函数的求导法那么多元复合函数的求导法那么),(),(),(yxvyxuvufz ).,(),(yxyxfz 复合函数为复合函数为,xvvzxuuzxz ),(),(),(yxyxvyxu都都在在点点及及如如果果 ,的的偏偏导导数数和和具具有有对对yx在对在对且函数且函数),(vufz ),(vu应应点点那么复合函那么复合函数数),(),(yxyxfz 的两个的两个在对应点在对应点),(yx偏导数存在偏导数存在, 且可用以下公式计算且可

7、用以下公式计算具有延续偏导数具有延续偏导数,的情形的情形.zzuzvyuyvy uvxzy xz uzxu vzxv yz uzyu vzyv 变量树图变量树图uv ( , ),( , )zfx yx y 解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu).cos()sin(yxyxyexy yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cos()sin(yxyxxexy P360例例31,sinyxvxyuvezu 设设.yzxz 和和求求本人完成：本人完成：41，42，43，46137、隐函数微分法、隐函数微分法1.( , )0( )dyF x yyy xdxx

8、由由确确定定了了，求求方方程程两两边边关关于于 求求导导.( , , )0( , ),zzF x y zzz x yxyx y由由确确定定了了，求求方方程程两两边边关关于于求求导导本人完成：本人完成：55，57，59，60148、二元函数极值、二元函数极值00(,)0,xfxy驻驻点点：. 0),(00 yxfy),(),(00yxyxfz在在点点设设函函数数 的某邻域内延续的某邻域内延续, 有一阶及二阶延续偏导数有一阶及二阶延续偏导数, 0),(00 yxfx又又, 0),(00 yxfy,),(00Ayxfxx 令令,),(00Cyxfyy ,),(00Byxfxy ),(),(00yxy

9、xf在在点点则则处能否获得极值的条件如下处能否获得极值的条件如下:(1)时时02 BAC有极值有极值,时时当当0 A有极大值有极大值,时时当当0 A有极小值有极小值;(2)时时02 BAC没有极值没有极值;(3)时时02 BAC能够有极值能够有极值,也能够无极值也能够无极值.15求函数求函数 极值的普通步骤极值的普通步骤: :),(yxfz 第一步第一步解方程组解方程组 0),(0),(yxfyxfyx求出实数解求出实数解,得驻点得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值.CBA、第三步第三步 定出定出2BAC 的符号的符号,再断定能否

10、是极值再断定能否是极值.例例 求函数求函数xyyxyxf3),(33 的极值。的极值。解解,33),(2yxyxfx .33),(2xyyxfy 求解方程组：求解方程组： . 033, 03322xyyx得驻点得驻点 .,22xyyx).1 , 1( ),0 , 0(,6),(xyxfxx , 3),( yxfxy.6),(yyxfyy , )0 , 0( 处处在在, 0)0 , 0( xxfA, 3)0 , 0( xyfB. 0)0 , 0( yyfC92 BAC. 0 因此，驻点因此，驻点. )0 , 0(不是极值点不是极值点,6),(xyxfxx , 3),( yxfxy.6),(yyxfyy , )0 , 0( 处处在在, 0)0 , 0( xxfA, 3)0 , 0( xyfB. 0)0 , 0( yyfC92 BAC. 0 因此，驻点因此，驻点. )0 , 0(不是极值点不是极值点, )1 , 1( 处处在在, 06)1 , 1( xxfA, 3)1 , 1( xyfB. 6)1 ,