九年级数学上册专题突破讲练解决坡角、坡比问题试题(新版)青岛版

1、解决坡角、坡比问题【重点难宜易错点点点精通】坡度、坡角1.坡度：坡面的铅垂高度h和水平宽度I的比叫做坡面的坡度 （或坡比），记作i=h：l。h2.坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a,且i=j-=tana。方法归纳：（或技巧归纳）坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越 小，坡面越缓。总结：1.理解坡度、坡角的有关概念。2.能够解决与坡度有关的三角函数问题，掌握三角函数的综合应用问题。例题 如图，某地计划在坡比为i= 1： 4 的山坡 OP（OQ 为地面水平线）上逐排建造楼 房 AB CD等。已知楼高（AB CD 等）均为 20 米，又知该地在冬季正午时太阳光线（图示 箭头方向

2、）与地面所成的角最小为40 。（1）求斜坡 OP 的坡角的度数；（2） 为使冬季正午时后面的楼（ CD）完全不被前面一幢楼（AB）挡住阳光，问两楼间的斜坡距离 BD 至少为多少米？（最后结果四舍五入精确到0.1 米）（以下数据供选用:sin 14 30 = 0.25 , tan 14 = 0.25 , cos75 30 = 0.25 , cos14 =0.97 ,tan40 = 0.84 ）解析：（1）根据坡比即可计算出坡角的度数（2）可过 D 作 OQ 的平行线，延长 AB与平行线相交于点 H 构造直角三角形，根据坡度坡角的定义再解答即可。1答案：（1 厂坡比为i= 1: 4,即 tan /

3、 POQ- = 0.25 ,二斜坡 OP 的坡角的度数为 14。4（2）如图，过 D 作 OQ 的平行线，交 AB 的延长线于点 H,设 BH 为x，则 AH= 20+x,DH= BHktan / POQ= 4x，由题意可知，（20+x）： 4x= 0.84，解得x= 8.47 , 即卩 BH= 8.47 ,【真鬆旌鬆名校题議豊经典】2DH33 9DH= 4x= 33.9 , BD=35.0 （米），即两楼间的斜坡距离 BD 至少为 35.0 米。cos14 0.973利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤:审题按题意画出正确的示意图，弄清已知和未知。+I将已知条件转化为示意图中的边、角或它们

4、之间的关系，把转化 =实际问题转化为解直角三角形的问题。如果没有现成的直角I I三角形，可通过作辅助线构造直角三角形。求解根据直角三角形元素之间的关系解有关的直角三角形。满分训练 如图，一人行天桥的高是10 米，坡面 CA 的坡角为 30,为了方便行人推车过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面CD 的坡角为 18。解析：DA= DB- AB 求出 AD 的长。(3)新坡长约为 32.36 米。Qo点拨：此题主要考查运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题,比较复解题关键是构造直角三角形表示出坡度。【拓展當结+提升茹分誉读】答案：(1 )在 Rt DBC 中,sin18CBoCB CD-C

5、Dsin18 0.309竺32.36 (米)，(2)先由三角函数求出 AB DB 再利用(1)根据所给角的正弦， 可求出 CD 同( 2)即可。0.01米)A 处 15米的花(1)求新坡长CD (精确到0.01米)413.45 (米)，原坡脚向外延伸约13.45 米。(3)vAE= 15,DA= 13.45 , DE= 4,. DE+ DA AE,.离原坡脚 15 米的花坛应拆除。 点拨：本题可借助于计算器进行计算，计算结果要注意符合题目中精确到0.01 米的要求。（2）在 Rt ABC 中 tan30CB中 tan18 CBAB10:AB 倉10 3-1732（米）。在RtCDBCB DB=

6、DBtan 18 0.325 30.77 （米）。二 DA= DB AB= 30.77 17.32 =5（答题时间：30 分钟）、选择题1.河堤横断面如图所示， 堤高 BC= 6 米，迎水坡 AB 的坡比为 1 : 3，则 AB 的长为（）A. 12 米B. 4 3 米C. 5 3 米2.如图，将一个 Rt ABC 形状的楔子从木桩的底端点P 沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动。已知楔子斜面的倾斜角为15，若楔子沿水平方向前进 6cm（如箭头所示），则木桩上升了（）6A.6 前15cmB.6cos15cmc. 6315cmD.ancmB*3.如图，一网球从斜坡的点 0 抛出，网球的抛物线为

7、*4.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时 测得地面上的影长为 8 米，坡面上的影长为 4 米。已知斜坡的坡角为30,同一时刻,米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2 米，则树的高度为（）（6+ .312y= 4x2X,斜坡 0A 的坡度i= 1:2,则网球在斜坡的落点A 的垂直高度是（A. 2B. 3.5D. 8根长为A.C.B C)B. 12 米6）米（4 2二、填空题5.若一辆 QQ 车的最大爬坡度数为45,有一段斜坡路的坡度为1.3 : 1，则这辆车_ （填“能”或“不能”）在这段斜坡上行驶。7*7. 一个正方形物体沿斜坡向上滑动，其截面如图所示

8、，正方形角/ A= 30,/ B= 90, BC= 3 米，则：（1） AC 的长是_DEFH 运动到什么位置，即当 AE=_ 米时，有 DC= A+ BC。*10.我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的 162 米增加到 176.6 米，以抬高蓄水位。如图是某一段坝体加高 工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE 背水坡坡 角/ BAE= 68，新坝体的高为DE,背水坡坡角/ DCE= 60。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度A（结果精确到 0.1米。参考数据：sin68 0.93，cos68 0.37，tan68 2.50，31

9、.73 ）。*6.如图是某工厂货物传送带的平面示意图。送带与地面的夹角， 使其由原来的 45减小为送带 AC 的长为_ 米。为提高传送过程的安全性，工厂计划改造传AB 长为 6 米，那么新传30。已知原传送带DEFH 勺边长为 1 米，坡_ 米；（2）当正方体*8.九年级某班开展数学活动，活动内容为测量如图所示的电杆的照射下，电杆影子的一部分（B 日落在地面上，另一部分（EF）上的小明的影子为 DG 已知斜坡的倾角/ FEH= 30, CD= 1.6m=1.7m则电杆的高约为 _m（精确到 0.1，参考数据:AB 的高度。在太阳光落在斜坡上，站在水平面DG= 0.8mBE= 2.1mEF2 1

10、.41 ,3 1.73 ）三、解答题9.某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1: 1.8 改为 1 : 2.4 （如图）。如果改动后电梯的坡面长为13 米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC 的长。8*11.如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即 tana的值。测量员在山坡 P 处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖 C 的仰角为 37，塔底 B 的仰角为 26.6。已知塔高 BC= 80 米，塔所在的山高 0B =220 米，OA= 200 米，图中的点 O B、C、AP 在同一平面内，求山坡的坡度。（参考数据 0.60

11、 ,CD 小李在山坡的坡脚 A 处测得广告牌底部 D60。沿坡面 AB 向上走到 B 处测得广告牌顶部 C 的仰角为 45, 1: 3 , AB= 10 米，AE=15 米。（i= 1 : 3 是指坡面的铅直高度的仰角为 坡度i=AH 的比）（1）求点 B 距水平面 AE 的高度 BH（2）求广告牌 CD 的高度.（测角器的高度忽略不计，结果精确到21.414 ,3 1.732 ）已知山坡 AB 的BH 与水平宽度0.1 米.参考数据:91. A 解析：Rt ABC 中，BC= 6 米，BC: AC= 1: 3 ,贝 U AC= BCX 3= 6 3,. AB=AC+BC= 62+ （ 6,3

12、）2= 12 （米）。2. C 解析：Ttan15 =木桩上动的距离。二木桩上升了 6tan 15cm故选 G3.B 解析：斜坡 0A 的坡度i= 1: 2，设 A 的坐标是（2x,x）,把 A 的坐标代入抛1212物线y= 4x qx得：x= 8x 2? （2x），解得：x= 3.5 ,x= 0 （舍去），即网球在斜坡的落 点 A的垂直高度是 3.5，故选 B。4. A 解析：延长 AC 交 BF 延长线于 D 点，则/ CFE= 30,作CELBD 于 E,在 Rt CFE 中，/ CFE=30, CF= 4m -CE= 2 （米），EF= 4cos30 = 2 3（米），在 Rt CED

13、 中,.同一时刻，一根长为 1 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2 米， CE DE= 1:1 12,二 DE= 4 （米）， BD= BF+ EF+ ED= 12+ 2 3 （米），在 Rt ABD 中, AB= qBq（代 + 23） = （ 6 +. 3）米。5.不能 解析：斜坡路的坡度为1.3 : 1，坡角的正切值 tana= 1.3 tan45。，即卩坡角大于 45,所以这辆车不能在这段斜坡上行驶。6. 6 寸 2 解析：如图，过点 A 作 ADLCB 交 CB 的延长线于点 D。：/ ABD= 45。，/ ACD =30,AB= 6 米，.在 Rt ABD 中，AD= AB

14、sin / ABD= 6X# = 3 , 2 米，在 Rt ACD 中,AD7.(1) 6 (2) 3 解析：(1):坡角/ A= 30,/ B= 90, BC= 3 米， AC= 2BC= 63米；(2).如图，连接 CD 假设 AE=x,可得 EC= 6x,正方形 DEFH 的边长为 1 米，即DE= 1 米， DC = DE+ EC?= 1 +( 6 x)2,AW+ BC=x2+ 9, DC=AW+BC?,A1+( 6 x)2=x+ 9,解得：x= 7 米。3108. 8.0 解析：延长 AF 交 BH 于点 N,过点 F 作 FMLBH 于点 M, / FEH= 30, EF= 1.7

15、m,11 FM= 0.85m -EM= EFcos30- 1.47m由题意可得 AB/ FM - MM= D? / CD= 1.6mDG=0.8m二AB=CDBN= DG0.851.6,、HMN = 08，MN=0.425mTBE= 2.1m BN= 2.1 + 1.47 + 0.425 = 3.995 （m,AB 1 6肃=丽，解得：AB- 8.（m。9.解：在2= 132。 BD= 5X1.8 = 9o BC= DC BD= 12 9 = 3 （米）。的长为 3 米。Rt ADC 中 , / AD DC= 1： 2.4 , AC= 13 ,由AD+DC=AC,得 AD+（ 2.4AD） A

16、D=5（负值不合题意， 舍去）。 DC= 12.在 Rt ABD 中，/AD BD= 1： 1.8 , 答：改动后电梯水平宽度增加部分BCBE162, AE= 64.8tan682.50DE 176.6176.6=:=102.1tan 60.31.73则 AC= CE- AE= 102.1 64.8 = 37.3 （米）。答：工程完工后背水坡底端水平方向增加度 AC 约为 37.3 米。11.解： 如图， 过点 P 作 PDLOC 于 D, PE!OA 于 E,则四边形 ODPE 为矩形。 在 Rt PBD 中， T/BDP=90 , /BPD= 26.6 , BD= PD?tan/BPD=

17、PD?tan26.6 ;在 RtCPD 中，/ CDP= 90, /CPD= 37 PD?ta n37 PD?ta n26.6PD?tan26.6 -320 x0.50=10.解：在 Rt BAE 中，TBE= 162 米，/ BAE= 68在 Rt DCE 中，/ DE= 176.6 米，/ DCE= 60,ACE=的宽, BD= PD?tan/ BPD= PD?tan26.6 ; , CD= PD?tan/ CPD= PD?tan37 ; / CD BD= BC ,=80, 0.75PD 0.50PD = 80 ,解得 PD= 320 , BD = 160 , /OB= 220 , PE= OD= OB- BD= 60 , / OE= PD= 320 , AE=OE OA= 320 200= 120,1: 2.12.解：（