微积分中值定理

1、第三章第三章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用本章导数的应用包括：本章导数的应用包括：2、利用导数讨论函数的性态（、利用导数讨论函数的性态（3.33.5节）节）3、导数在经济中的应用（、导数在经济中的应用（3.6节）节）1、利用导数求函数的极限、利用导数求函数的极限 (3.2节节)(xf 导数)(xf函数中值定理中值定理 罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理 中值定理 3.1 中值定理中值定理泰勒定理我们先通过几何图形直观理解罗尔定理我们先通过几何图形直观理解罗尔定理:3.1.1 罗尔罗尔(rolle)定理定理 0 xyab图1ab图2a0 xy1abb2（1）连续；）连续；（2）可导

2、；）可导； （3）端点处函数值相等。）端点处函数值相等。点处一阶导数为零。:)(满足设xfy ;,)1 (上连续在闭区间ba;),()2(内可导在开区间ba).()()3(bfaf. 0)(),(fba使则至少存在一点 如何证明？0 xyabab一、定理一、定理3.3.1(罗尔定理罗尔定理)函数 f(x) 在最大值点或最小值点处一阶导数为零。证明证明关键关键点点a0 xy1abb2,) 1 (mm , 0)( xf故. ),( bax,),(内任意一点均可作为此时ba. 0)(f使),()(bfaf因为处内的在不妨设),(bam,)(mf即).,(, 0)(baf下证.,)(,) 1 (mmb

3、axf和最小值上一定取得最大值在知由条件,)2(mm 内取到，在至少有一个与即),(bamm.取到.,)()(baxccxf，为常数则证证证明关键点：f(x) 在最大值点或最小值点处一阶导数为零。故故m和和m不可能同时不可能同时在区间端点在区间端点a,b处取到，处取到，由极限的不等式性质知:xfxffx)()(lim)(0 xfxffx)()(lim)(0存在，）知由条件（)(2f )()()(fff则. 0证毕,)()(上的最大值在是因为baxfmf, 0)()(,fxfbax都有所以对分母0分子0分式0注：注：(1) 罗尔定理三个条件是充分条件，只要三个条件满足，就保证结论成立，若定理中的

4、三个条件缺少其中任何一个，定理结论不一定成立.如下图:abxy点不连续在图二b中解出形，可以从多少，但对于简单的情值为的个数，也没有指出值，而不能肯定一个即它肯定了至少存在0)( f,罗尔定理是定性的结果(2)abxy不连续图一0 xabxy)()(bfaf图四abxy0 x不可导图三条件及结论上满足罗尔定理的在验证函数例2 , 0sin1xy 上连续；，为初等函数，故在20sin) 1 (xy 解：解：）内可导；，（在上存在，故在20sin)2 , 0(cos)()2(xyxxf02sin0sin3）（，上满足罗尔定理的条件，在故20sinxy )2 , 0(0cossinxx于是有均属于或

5、故)2 , 0(232轴线平行于弧上，至少有一点的切等的连续且光滑的曲线在两个端点的纵坐标相x在性及范围的根的存的条件判断导数方程由）（0)()(1 xfxf注意与零点定理应用的区别注意与零点定理应用的区别及柯西定理推导拉格朗日中值定理)2(三、应用三、应用二、几何意义( )0f x 用零点定理判断方程的根的存在性及范围并指出各根所在区间有几个实根说明，不求设,0)()()3)(2)(1()(xfxfxxxxf解：，令0)(xf. 321321xxx，易知此方程有三个实根连续，在为初等函数，易知又因为3 , 22 , 1 )()(xfxf内可导，在)3 , 2(),2 , 1 (. 0)3()

6、2() 1 (fff且上应用罗尔定理，在2 , 1 . 0)()2 , 1 (11f使则至少. 0)()32(22f使，同理，至少.0)()(实根至多有两个为二次多项式，又xfxf.)3 , 2(),2 , 1 (,0)(内分别位于有且仅有两个实根所以 xf至少有故0)( xf两个实根，例2例例3 3 设设 为为n次多项式，次多项式， 没有实根，试证明没有实根，试证明 最多最多( )np x( )0np x( )0np x 只有一个实根只有一个实根. .证证 设设 至少有两个不等的实根，设为至少有两个不等的实根，设为 ，不妨设，不妨设( )0np x 12,x x12,xx因因 在在 上连续，

7、上连续，( )np x12 ,x x在在 内可导，内可导，12( ,)x x且且 12( )()0,nnp xp x由罗尔定理知，至少存在一点由罗尔定理知，至少存在一点12( ,),x x使得使得( )0.np方程方程 的根，的根，( )0np x即即 是是x与题设矛盾与题设矛盾. 所以，所以，( )0np x 最多只有一个实根最多只有一个实根. .0)()1 , 0()()(1)21(0)1 ()0()1 , 0(1 , 0)(gxxfxgfffxf使证明：至少存在一点，又，内可导，且上连续，在在设, 00)0()0( fg分析：, 11) 1 () 1 ( fg.2121)21()21(

8、fg，又01) 1 (021)21(gg故由零点定理知上连续在又由题设知使, 0)(0)() 1 ,21(cxgcgc，故由罗尔定理，至少内可导，在0)()0(), 0(cggc. 0)() 1 , 0(), 0(gc，使证：证：例4 罗尔罗尔(1652-1719)是法国数学家是法国数学家.1652年年4月月21日生于昂贝尔日生于昂贝尔特特,1719年年11月月8日卒于巴黎日卒于巴黎. 罗尔在数学上的成就主要是在代数方面罗尔在数学上的成就主要是在代数方面,专长于丢番图方程的研专长于丢番图方程的研究究. 罗尔于罗尔于1691年在题为年在题为任意次方程的一个解法的证明任意次方程的一个解法的证明的论

9、文的论文中指出了：在多项式方程的两个相邻的实根之间，方程中指出了：在多项式方程的两个相邻的实根之间，方程 0)( xf0)(xf 至少有一个根。但罗尔并没有使用导数的概念和符号，至少有一个根。但罗尔并没有使用导数的概念和符号，后一个多项式实际上是前一个多项式的导数，罗尔只叙述了这个后一个多项式实际上是前一个多项式的导数，罗尔只叙述了这个结论，而没有给出证明。这个定理本来和微分学无关，因为当时结论，而没有给出证明。这个定理本来和微分学无关，因为当时罗尔是微积分的怀疑者和极力反对者，他拒绝使用微积分，而宁罗尔是微积分的怀疑者和极力反对者，他拒绝使用微积分，而宁肯使用繁难的代数方法。但在一百多年之后

10、，即肯使用繁难的代数方法。但在一百多年之后，即1846年，尤斯托年，尤斯托.伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数,尤斯托尤斯托.伯拉维提斯还把此定理命名为罗尔定理伯拉维提斯还把此定理命名为罗尔定理.中值定理拉格朗日)(2 . 1 . 3lagrangeabxyababxyab（拉格朗日中值定理）一、定理2 . 1 . 3满足：设)(xf上连续在闭区间）（,1ba内可导在开区间）（),(2ba)()()(),(fabafbfba使则至少存在一点明分析拉格朗日中值定理的证0)()()(abafbff分析：要证结论等价于( )( )( )( )0 xxf bf af

11、xfxba即0)()()(xxabafbfxfdxd即.,)()()()(上应用罗尔定理在因此我们对函数baxabafbfxfxf根据待证结论构根据待证结论构造辅助函数造辅助函数:明拉格朗日中值定理的证xabafbfxfxf)()()()(设内可导，且上连续，在在可验证),(,)(babaxfabbafabfbfaf)()()()(故由罗尔定理知，0)(),(fba使至少0)()()(abafbff即abafbff)()()(即证毕证注：即得，令在拉格朗日中值定理中),()() 1 (bfaf.特殊情况是拉格朗日中值定理的罗尔定理，故罗尔定理几何意义)2(.abba平行于割线上，至少有一条切线

12、在连续且光滑的曲线弧abxyab端点的大小。个用公式时，不必讨论两公式仍成立，故应若，在拉格朗日中值公式中ab )3(例如：例如：f (x)在以在以a,b为端点的区为端点的区间上应用拉格朗日中值定理间上应用拉格朗日中值定理联系起来，函数改变量同函数导数微分中值定理，它将拉格朗日中值定理又称)4(.函数提供了理论基础为用导数研究几种等价形式：下微分中值公式，它有以拉格朗日中值公式又称.,),)()()(之间在baabfafbf10),)()()(ababafafbf则有若令,xxbxa.公式该公式也称为有限增量）xfxxf()(10,)(xxxf注： 例例1 1 验证函数验证函数 在区间在区间 上满足拉格朗日定理条件，并上满足拉格朗日定理条件，并( )lnf xx1, e求出定理中的求出定