非正弦周期交流电路知识学习

1、非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路5-1. 非正弦周期量的分解非正弦周期量的分解5-2. 非正弦周期量的有效值非正弦周期量的有效值5-3. 非正弦周期电流的线性电路非正弦周期电流的线性电路5-4. 非正弦周期电流的平均功率非正弦周期电流的平均功率非正弦周期电路非正弦周期电路v非正弦电流的普遍性和特殊性工程中常有一些非正弦非正弦信号。如计算机中的脉冲信号；测量技术中将非电电量转换成的电信号；由语言、音乐、图象转换成的电信号；许多电子仪器在工作时所需的控制信号等等。既然是非正弦的电学量，就不能用正弦交流电的相量分析方法相量分析方法进行讨论分析，这里讨论对非正弦

2、电流量的分析方法。它是非正弦量的一种特例。对非正弦的电学量分析的理论依据，仍然是受电路约束方程约束方程制约的，所用的数学工具是傅立叶级傅立叶级数数，分析方法基本属于频域分析范畴。一、概述非正弦周期交流信号的特点非正弦周期交流信号的特点 不是正弦波不是正弦波按周期规律变化按周期规律变化半波整流电路的输出信号半波整流电路的输出信号非正弦周期交流信号举例非正弦周期交流信号举例示波器内的水平扫描电压示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波周期性锯齿波交直流共存电路交直流共存电路+E es 计算机内的脉冲信号计算机内的脉冲信号 Tt5-1. 非正弦周期量的分解v如图，当一个直流电源和一个正弦电源串联时，可以得

3、到电路的总电动势为当电路中接入一电阻R时，电流为电路中的电流是非正弦周期量是非正弦周期量。tEEeEem sin1010tREREReim sin10Re1iE0+e1E0E1moet一、非正弦周期量一、非正弦周期量的分解周期性方波周期性方波的分解的分解tttt基波基波直流分量直流分量三次谐波三次谐波五次谐波五次谐波七次谐波七次谐波例例基波基波直流分量直流分量直流分量直流分量+基波基波三次谐波三次谐波直流分量直流分量+基波基波+三次谐波三次谐波v根据数学中傅立叶级数理论，任何满足狄里赫利条件的周期函数都可以展开成三角级数。如函数 f (t) 可展开分解为10cossin)(kkmkmtkCtk

4、BAtf10)sin(kkkmtkAA式中kkmkmkkmkmsinACcosAB或kmkmk2km2kmkmBCarctgCBA二、傅立叶展开对周期量的分解二、傅立叶展开对周期量的分解傅立叶级数的系数由上面得到的系数，可求出Akm及k 。200) t(d) t(f21A20km) t(dtksin) t(f1B20km) t(dtkcos) t(f1Ckmkmk2km2kmkmBCarctgCBA三、傅立叶展开对周期性电流量的分解三、傅立叶展开对周期性电流量的分解v如果一个电流量具有周期T (=2/)，就可以根据傅傅立叶展开立叶展开，分解得到由直流分量A0、基波A1msin(t+1)、二次谐

5、波A2msin(2t+2)、等高次谐波分量组成。0nkkm0)tksin(AA) t(f这样，我们可以根据已学过的理论对级数各项进行讨论。对直流量用直流电路理论；对正弦量用相量理论，我们已经有了比较完善的理论工具。v(1)全波电压整流波形的傅立叶展开式为例ut2oUmm0m0m0U2tcosUttdsinUA20mkm) t(dtksintsinUB0BkmtsinUum区间，在0dksinsind) 1kcos() 1kcos(21积分后为零。故可知系数即20mkm) t(dtkcostsinUC20m)t(dtkcostsin) t(dtkcostsinU0m) t(dtkcostsinU

6、200d ) 1ksin() 1ksin(21dkcossin01k) 1kcos(1k) 1kcos(211k21k11k12kmC) 1k(U42m( k为偶数)0( k为奇数)可得m0U2A0Bkm) 1k(U4C2mkm( k为偶数)由此：)t4cos152t2cos321 (U2tsinUummut2oUmtsinUum2BCarctgkmkmkkmkmCA5-2. 非正弦周期量的有效值非正弦周期量的有效值v由第三章得出的有效值公式由第三章得出的有效值公式TdtiTI021不仅适用于正弦量，也适用于非正弦的周期量。不仅适用于正弦量，也适用于非正弦的周期量。若某非正弦的周期电流已分解成

7、傅立叶级数若某非正弦的周期电流已分解成傅立叶级数10)sin(kkkmtkIIi则其有效值为则其有效值为TkkkmdttkIITI0120)sin(1v上式根号中的积分式可以分解为四项：上式根号中的积分式可以分解为四项：TkkkmdttkIITI0120)sin(1200201IdtITT0dt)tksin(II2T1T01k2kkm0 12012221)(sin1kkmTkkkmIdttkIT0)sin()sin(21011 TkqqkqmkmdttqtkIIT(1)(2)(3)(4)(qk 由此，可得到有效值为其中，其中，222120122021IIIIIIkkm,2,22211mmIII

8、I同理，非正弦周期电压的有效值为同理，非正弦周期电压的有效值为222120UUUUI1，I2分别为基波、二次谐波等的有效值，它们本身都是正弦波。可见各有效值等于其相应幅值的 。21 22221201220 UUUUUUkkm结论：周期函数的有效值为直流分量及结论：周期函数的有效值为直流分量及 各次谐波分量有效值平方和的方根。各次谐波分量有效值平方和的方根。例例一全波可控整流电路，控制角为，正弦部分的幅值为Im=310V，求其电流的平均值和有效值。Imoi t 2 解解由题意，知相角0之间电流值为零，之间电流值为正弦量Imsint。则电流的平均值为tdtIImsin1周期面积)cos1 (mI电

9、流的有效值为tdtItdtIImm22cos21sin12222sin)2sin(22IIm 5-3非正弦周期电流的线性电路的计算非正弦周期电流的线性电路的计算 电路如图所示，已知电路如图所示，已知 u 为非正弦周期电为非正弦周期电压（或电流压（或电流i），如何求解电路中各电流），如何求解电路中各电流电压呢？电压呢？iuLRC 解决这个问题的方法是借助于傅立解决这个问题的方法是借助于傅立叶级数。叶级数。因为非正弦周期电压可分解为下列形式：因为非正弦周期电压可分解为下列形式：)2sin()sin(22110 tUtUUumm 那么它的作用就和一个直流电压及一系列不同那么它的作用就和一个直流电压及

10、一系列不同频率的正弦电压串联起来共同作用在电路中的频率的正弦电压串联起来共同作用在电路中的情况一样。电路如图所示。情况一样。电路如图所示。图中：图中：00Uu )sin(111 tUum)2sin(222 tUum这样的电源接在线性电路中所引起的电流这样的电源接在线性电路中所引起的电流及电压，就可以用及电压，就可以用叠加原理叠加原理来计算。来计算。iu1LRCu2u0即：即：)2sin()sin(2221110210 tItIIiiIimm式中，式中，I0=02211111CLRUZUImmm 11tanLCR222222212CLRUZUImmm 2122tanLCR221CkLkRUZUI

11、kmkkmkm 1tankk Lk CR非正弦周期电流的线性电路的解题步骤：非正弦周期电流的线性电路的解题步骤： （1）将非正弦周期电源电压分解成傅立叶级数，看）将非正弦周期电源电压分解成傅立叶级数，看作由恒定分量和各次正弦谐波分量串联的结果。作由恒定分量和各次正弦谐波分量串联的结果。（2）利用叠加原理计算电压的恒定分量和各次正弦）利用叠加原理计算电压的恒定分量和各次正弦谐波分量单独存在时所产生的电流分量。谐波分量单独存在时所产生的电流分量。（3）将所得的电流分量叠加起来，即为所需的结果。）将所得的电流分量叠加起来，即为所需的结果。注意：感抗和容抗的变化。注意：感抗和容抗的变化。LXL 1Lk

12、XLk CXC 11CkCkXkCkX11 5-4非正弦周期电流电路中的平均功率非正弦周期电流电路中的平均功率计算非正弦周期电流电路中的平均功率和在正弦交计算非正弦周期电流电路中的平均功率和在正弦交流电路中一样，也可应用下式：流电路中一样，也可应用下式：TTuidtTpdtTP0011设非正弦周期电压和电流如下：设非正弦周期电压和电流如下：kkkmtkUUu sin10kkkkmtkIIi sin10则可得下列五项：则可得下列五项：dtIUTT0001) 1 (TkkkkmdttkIUT010sin1)2( TkkkmdttkUIT010sin1)3( TqqkqqmkmkdttqtkIUT0

13、11sinsin1)4( TkkkkkmkmdttktkIUT01sinsin1) 5( 其中，第（其中，第（2）、（）、（3）及（）及（4）三项含有不同频率的）三项含有不同频率的两个分量的乘积，其积分结果为零；第（两个分量的乘积，其积分结果为零；第（1）项的积）项的积分结果为分结果为U0I0；第（；第（5）项的积分结果为）项的积分结果为11coscos21kkkkkkmkkmIUIU 21011000cosPPPPPIUIUPkkkkkk可见，非正弦周期电流电路中的平均功率等于恒定分可见，非正弦周期电流电路中的平均功率等于恒定分量和各正弦谐波分量的平均功率之和。量和各正弦谐波分量的平均功率之

14、和。 结论：结论： 平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率 .)( cos210100PPPIUIUPkikukkkkk为了便于分析与计算，通常可将非正弦周期电压和电为了便于分析与计算，通常可将非正弦周期电压和电流用等效正弦电压和电流来代替。等效的条件是：等流用等效正弦电压和电流来代替。等效的条件是：等效正弦量的有效值应等于已知非正弦周期量的有效值，效正弦量的有效值应等于已知非正弦周期量的有效值，等效正弦量的频率应等于非正弦周期量的基波的频率，等效正弦量的频率应等于非正弦周期量的基波的频率，用等效正弦量代替非正弦周期电压和电流后，其功率用等效正弦量代替

15、非正弦周期电压和电流后，其功率必须等于电路的实际功率。这样等效代替之后，就可必须等于电路的实际功率。这样等效代替之后，就可以用相量表示。等效正弦电压与电流之间的相位差应以用相量表示。等效正弦电压与电流之间的相位差应由下式确定：由下式确定：UIP cos 式中式中P是非正弦周期电流电路的平均功率，是非正弦周期电流电路的平均功率，U和和I是非是非正弦周期电压和电流的有效值。正弦周期电压和电流的有效值。铁心线圈是一种非线性元件，因此加上正弦电压铁心线圈是一种非线性元件，因此加上正弦电压Vt314sin311u 后，其中电流电流A)105_t942sin(25.0)85t314sin(8 .0i不是正

16、弦量不是正弦量。试求等效正弦电流等效正弦电流。例题例题解解由公式可知，等效正弦电流的有效值为A593. 0)225. 0()28 . 0(I22平均功率为W8 .1085cos28 . 02311cosIUP111正弦电压与等效正弦电流之间的相位差为2 .85593. 023118 .10cosarcUIPcosarc例例方波信号激励的电路。方波信号激励的电路。已知：已知：STICLRm28. 6 A157pF1000 mH1 20、求：求：utT/2TSimIRLCuSi第一步：第一步：将激励信号展开为傅里叶级数将激励信号展开为傅里叶级数21)(102/0mTTmOIdtITdttiTI 直

17、流分量：直流分量：谐波分量：谐波分量：kItkkItd tktiBmmKm20)cos1()(sin)(1020K为偶数为偶数K为奇数为奇数0sin12)(cos)(2020tkkItdtktiCmkmkIBCBAmKmKmKmKm222（K为奇数）为奇数）01KmKmKBCtgsi的最后展开式为：的最后展开式为：ttIItkAIimmKKKmS3sin31(sin22)sin(10）tsin51tT/2TSimI)5sin513sin31(sin22tttIIimmStT/2TSimIIS01si3si5si等效电源等效电源IS01si3si5si直流分量直流分量A5 .78215720mI

18、IA10014.357.1221mmII基波最大值基波最大值sTIm28.6,A157 代入已知数据：代入已知数据：得：得：rad/s101028. 614. 32266TA2051A3 .33311513mmmmIIII三次谐波最大值三次谐波最大值五次谐波最大值五次谐波最大值角频率角频率A10sin10061tisA103sin310063tisA5 .780SIA105sin510065tis 电流源各频率的谐波分量为：电流源各频率的谐波分量为：tT/2TSimImV57. 1105 .7820600SRIU 第二步第二步 对各种频率的谐波分量单独计算：对各种频率的谐波分量单独计算：1.直

19、流分量直流分量 IS0 作用作用RIS0u0 对直流，电容相当于断对直流，电容相当于断路；电感相当于短路。所路；电感相当于短路。所以输出的直流分量为：以输出的直流分量为：u0IS020RLCA5 .780SI2.基波基波 作用作用tis6110sin100Ak11010k110100010113611261LCk50)()()()(1RCLRXXXXjRjXjXRZCLCLCLRXL20RC1siu1pF1000 mH1 CLL/srad106K50)(1ZmV2500050210100(6111）ZIU20RLC1siu1A10sin10061tis3.三次谐波三次谐波 作用作用tis63103sin3100A20RLC3siu319.895 .374)()()3(33331CLCLXXjRjXjXRZk31010333. 0101000103113631263LKC19.895.374)3(1Z19.895 .3742103 .33)3(6133ZIUSmV2 .89247.12tis6310