一元二次方程的解法及韦达定理

1、元二次方程的解法及韦达定理编号:撰写人:审核:一、一元二次方程的解法：2x -5x+6=0例题1：用配方法、因式分解、公式法解方程:【总结】以上的三种方法之中，最简单的方法是哪一种【一元二次方程的解法总结】1、直接法：对于形如一 x2=a的方程，我们可以用直接法。方程的解为x= ± ja推论：对于形如(x+a) 2=b的方程也是用直接开方的方法。 注意点：二次项的系数为1，且a>0如果a为根式，注意化简。25x =1例1：解方程：例2:解方程:x2= 4 2 羽例3:解方程:24x +12x+9=122、配方法：对于形如：步骤：把二次项的系数化为ax2+bx+c=0 (其中a工

2、0)的方程，我们可以采用配方法的方法来解。1.两边同时除以a,可以得到:72 bX+ x+a 配方：/ b(x+2a 移项：(x+ A)2aC=0a2 b 2=(2a)2-c用直接法求出方程的解。X=- 2a ±應厂注意点：解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。例：解方程：x2+x=13、公式法：对于形如：ax2+bx+c=0 （其中a丰0）的方程，我们也可以采用公式法的方法来解。 根据配方法，我们可以得到方程的解为：X=-2a 士檢 c进一步变形，就可以知道:形如：ax2+bx+c=0 （其中aM 0）的方程的解为:Xi =b 7b2 4acX2=b Tb2 4ac2a2a

3、注意点： 解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。 解题步骤要规范。例：2解方程：x +5x+2=0除了以上几种教材里的方法，一元二次方程还有其他的解法。4、换元法对于一个方程，如果在结构上有某种特殊的相似性，可以考虑用换元法；或者，当这个题 目有比较复杂的根式，换元法也是可以考虑的解法。例1：解方程：(x2+5x+2) 2+(x2+5x+2)-2=0例2:解方程：念X 4 马5 3x 15、有理化方法：对于一个方程，如果含有两个根式，并且这两个根式内的整式的和或者差是特定的数值, 就可以考虑用有理化的方法。例：解方程： Vx 7x10 VX 7X6 46、主元法：对于一个方程，如果有两

4、个未知数，那么，我们可以确定其中的一个为“主元“，将另一个 未知数设定为常数，用公式法可以解出结果。例：解方程除了这种方法，遇到这种题目，你还有别的解法吗二、判别式的运用：我们知道：方程ax2+bx+c=0 (其中a丰0)的解为:X1 =b ylb4ac,X2=2a其中，我们把：(1)当 >0的时候, 当 =0的时候, 当 <0的时候, 判别式的运用：b Jb2 4ac2a=b2-4ac称之为判别式 方程有两个 不同的实数根。 方程有两个 相同的实数根。方程没有实数根。没有实数根与没有根是两个不同的概念。(1)求方程系数的取值范围。例：已知方程ax2+8x+a=0有两个不同的实数根

5、，求a的取值范围。(2)求最大值最小值的问题。PX_2一 的最大值和最小值。X2 3x 6例2:已知a>0,b>0,且a+2b+ab=30,求a、b为何值时，ab取得最大值。（其中a丰0）的解为:三、韦达定理2对于方程ax +bx+c=OX1= b Jb2 4acX2=2a2a那么就有：X1+X2=除了这两个式子之外,b,x 1X2=a还有几个,a我们也必须要熟悉的:d)|X1-X2|=匸a教材没有提及，所以，运用的时候要加以证明，在做选择题或者填空注：以上的几个公式， 题时可以直接运用。下面给出公式（1 ）的推理:|X1-X2|=X2)27(X1X4x1x2J(与4(2)戸厂V

6、a a V a韦达定理的应用：1、运用韦达定理求方程的解或者系数的范围。例题1： 如果关于x的方程：X2 J2x a 0的一个根是1-J2,求方程的另一个根及 a的值。例题2：已知关于x的方程(a2-1)x 2-(a+1)x+1=0的两个根互为倒数，求a的值。2、构造方程进行计算：2 2例题 1:已知 3a+2a-1=0,3b +2b-1=0。求 |a-b| 的值例题2：已知a,b,c都是整数，且有 a+b+c=0,abc=16,求a、b、c三个数中的最大数的最小值。例题3:已知在四边形 ABCD中，对角线AC BD相交于点0,且&ao=4,S cod=9,求四边形ABCD 面积的最小

7、值。一元二次方程习题1、等腰 ABC两边的长分别是一元二次方程x2-9x+18=0 的两个解，求这个三角 形的周长。【举一反三】 例题1 : Rt ABC两边的长分别是一元二次方程x2-5x+6=0的两个解，求这个三角形的面积。例题2 :矩形的两边的差为2 ,对角线的长为4 ,求矩形的面积。2、解方程：(1) X -2=-2x;(2) X ( x-3 ) +x-3=0 ;(3) 4x2+12x+9=81 .3、先化简，再求值：（a-1 ）*（-1 ），其 中a为方程x2+3x+2=0的一个根.【举一反三】例题1:设a,b分别是方程x2+3x+1=0_的两个根，求：（1）a 2+b2+ab 的值

8、；（2）求 a3+b3 的值例题 2:已知：5a2+12a-1=0,b2-12b-5=0, 且：ab 丰 1 ,求：ab 5ab2 5b的值。4、关于x的方程(a-5 ) x2-4x-1=0有实数根，求a的取值范围。【举一反三】例题1 :已 知关于X的方程x2-2 ( k-3 ) x+k 2-4k-1=0_'(1) 若这个方程有实数根，求k的取值范围；(2) 若这个方程有一个根为1 ,求k的值；(3) 若 以方程 x2-2 ( k-3 ) x+k 2-4k-1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y= m的图象上，求满足条件的m的最小值.X例题3 :6、关于例题2 :已知关于的方程（1 ）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根,问取什么整数时，方程（1 ）有整数解已知a>0,b>0 ，且：a+2b+ab=30,求ab的最大值。（n丰0）是关于x的方程x +mx+2 n=0的根，求m+n的值。x 的方程 a ( x+m) +b=0 的解是 xi=-2 , X2=1 , ( a, m, b 均为常数，0), 解方程方程a（ x+m+2）2+b=0。7、设方程（x-a）（ x-b） -x=0 的两根是 c、d，解方程（x-c） （ x-d） +x=0。8、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人欢乐流感，每轮传染中平均一 个人传染了几个人.