偏微分与全微分

1、現代管理數學chapter 3極佳化方法3-1若考慮含有若考慮含有 n 個自變數個自變數 x1, xn 的函數的函數則當則當 x2, , xn 固定不變時固定不變時，f 可視為可視為 x1 的函數，因此依的函數，因此依照前面的定義，可得導數照前面的定義，可得導數 此稱為此稱為 y 對於對於 x1 的偏導數的偏導數(partial derivative)以符號以符號 、fx1 或或 f1 表之。表之。xy1(,),nyf xx 11112120011(,)(,)limlimnnxxf xxxxf xxxyxx xf11、現代管理數學chapter 3極佳化方法3-2 試求 z = 3x2-6xy

2、2+ln(x2+y2+1) 的偏導數函數，及在點(1,-1)之偏導數。解解： = 6x-6y2+ = -12xy+ = 61-6(-1)2+ = = -12(1)(-1)+ = 12+ =xzyzxzyzx2+y2+12xx2+y2+12y(1,-1)(1,-1)12+(-1)2+1213212+(-1)2+12(-1)32334現代管理數學chapter 3極佳化方法3-3 設某汽車工廠生產小客車與卡車的成本函數為 c = 0.12x2+0.04y2+0.04xy+320 x+80y+30其中 c 代表成本(以百萬元為單位)，x、y分別代表卡車與小客車的生產數量(以千輛元為單位) 。 若目前

3、的生產數量為 x=500，y=1000，試求卡車與小客車的邊際成本(marginal cost) 、 ，並解釋其意義。解： = 0.24x+0.04y+320 = 0.24500+0.041000+320 = 480 當生產小客車數量維持不變，每多生產一輛卡車，總成本增加480000元。 = 0.08y+0.04x+80 = 0.081000+0.04500+80 = 180 當生產卡車數量維持不變，每多生產一輛小客車，總成本增加180000元。xcycxcycx=500y=1000x=500y=1000x=500y=1000x=500y=1000現代管理數學chapter 3極佳化方法3-4

4、 在第3-1節中，導數 所表示的是一個極限值，而不是兩個數量 dy、dx 的商。然而，若將符號看成 dy 被 dx 除時 ，卻能解釋許多的現象。因此我們先定義 dx 及 dy 的意義如下： 由於 f(x) = lim所以當增量 x 非常小時， y f(x) x 若以 dy , dx 代替 y , x ，則得下面的定義：xydxdy0 x現代管理數學chapter 3極佳化方法3-5設 y = f (x)為一函數，(1)自變數 x 的微分(differential) dx 是 x 的增量， 即 dx = x(2)因變數 y 的微分 dy 為 dy = f(x) dx 由上述定義可知，y 的微分d

5、y為 x 與 dx的函數。又由於已知 = f(x)，所以我們可將看成兩個微分 dy、dx 的商。再者，dy 可當作 y 的近似值。也就是說，當 x 變動時，dy 可視為因變數 y 的改變量。dxdydxdy現代管理數學chapter 3極佳化方法3-6 設 y = x3，當 x = 2 ，x = 0.01時，y 的真實變動值為 y = f(x+x) f(x) = (2.01)3 23 = 8.120601 8 = 0.120601若以微分 dy 來估計 y ，則在 x = 2，dx = 0.01， dy = f (x) dx = 3x2 dx = 3(2)2(0.01) = 0.12其誤差為

6、0.120601 0.12 = 0.000601以上微分 dy 的概念可推廣至n個自變數的函數。現代管理數學chapter 3極佳化方法3-7設設 y = f (x1, , xn)，則，則我們稱我們稱 dy 為因變數為因變數 y 的的全微分全微分(total differential)。1212nnfffdydxdxdxxxx現代管理數學chapter 3極佳化方法3-8 全微分 dy 所表示的是當所有自變數 x1,xn一起變動而使得因變數 y 改變的量，因此當我們令 dx1= x1 , dx2= x2 , , dxn= xn 且x1 , x2 , , xn 皆非常小時，y 的增量 y 大約等

7、於 dy，即 y dyxxfxxfxxfnn 2211現代管理數學chapter 3極佳化方法3-9 設長方形兩鄰邊的長度分別為 x = 10 及 y = 15，但測量不甚精確，所測得之 x、y 分別為 10.1及 15.2，試求長方形面積誤差的近似值。解： 面積 a = xy da = 15(0.1) + 10(0.2) = 1.5 + 2 = 3.5 若直接以 x、y 值代入求 a，則 a = (10.1)(15.2) (10)(15) = 153.52 150 = 3.52 因此 da 可視為 a 的近似值。yxxydyyadxxa現代管理數學chapter 3極佳化方法3-10 假設某

8、產品的產出量與投入 x1、x2 的關係式則第一種投入的邊際生產力(marginal productivity)為若投入量分別為 x1= 120，x2 = 30，則產出量 q = (120)1/2(30)1/2 = (3600)1/2 = (602)1/2 = 60 又 (120)-1/2(30)1/2 = = = = 即當 x2 = 30 維持不變時，每增加投入 x1 一單位，大約可增加產出量 0.25 單位。 211xqq = x11/2 x21/2x1-1/2 x21/2211xq)12030(211/2)41(211/2)21(2141現代管理數學chapter 3極佳化方法3-11若將

9、兩種投入同時增加 一單位，則因 = (120) 1/2(30)-1/2 = = = 1即兩種投入同時增加一單位，則產出可增加 1.25 單位。若 x1 投入減少一單位，但希望產出水準維持不變 (q = 60) ，即由得知 dx2 = 0.25，即 x2 的投入量須增加至 30.25單位。212xq25.1)1)(1()1)(25.0(2211dxxqdxxqdqx11/2 x2-1/221)30120(211/2)14(211/222211)1()1)(25.0(0dxdxxqdxxqdq現代管理數學chapter 3極佳化方法3-12 設含有兩個自變數的函數為若自變數 x 與 y 亦為變數

10、t 的函數則 z 亦可視為 t 的函數。此時，可利用 z 的全微分除以 dt，而求得一般而言，若函數為且),(yxfz )(),(tytxdyyfdxxfdzdtdyyfdtdxxfdtdz),.,(21nxxxfz dtdxxfdtdxxfdtdxxfdtdznn.2211)(),.,(),(2211txtxtxnn此即多變數函數微分的連鎖法則。現代管理數學chapter 3極佳化方法3-13又若 x1 , x2 , xn 是另外兩個變數 r、s 的函數，即則),(),.,(),(2211srxsrxsrxnnrxxfrxxfrxxfrznn.2211sxxfsxxfsxxfsznn.221

11、1),.,(21nxxxfz 現代管理數學chapter 3極佳化方法3-14 若 z = x2y3，且 x = ，y = 3t3則由連鎖法則 = (2xy3)t+(3x2y2)(9t2) = 2( t2)(3t3)3t + 3( t2)2(3t3)2(9t2) = 27t12 + t12 = t12又，若將 x = ，y = 3t3 代入 z = x2y3中，則得 z =( t2)2(3t3)3 = t13dtdyyfdtdxxfdtdzt212212142434351t21221427ttdtdz4351134271212現代管理數學chapter 3極佳化方法3-15 若 ，且時 ，),

12、(yxfz )(xgy )(xgyfxfdxdyyfdxdxxfdxdz現代管理數學chapter 3極佳化方法3-16 abc公司生產兩種產品：相機及軟片，其生產 x 個相機及 y 個軟片的成本函數為 z = 30 x + 0.15xy + y + 900假設相機及軟片的需求函數分別為 y = 2000 r 400s其中 r：相機價格，s：軟片價格。試求 r =50 , s=2 時解： = (30+0.15y) +(0.15x+1)(-1) 當r =50 , s=2 時， 代入得srx9000ryyzrxxzrzsr900057.535)129015.0(225009000)115015.0

13、30(rzrz229025090009000srx115024005020004002000sry現代管理數學chapter 3極佳化方法3-17 設函數 f 的導函數為 f ，若 f 的導數亦存在，以 f 表之，則稱 f 為 f 的二階導函數(second order derivative) 。若以符節 表示一階導數時，則第二階導數以 表之。一般而言，若 n 為大於 2 的正整數 (n 2)，函數 f 第 n 階導數可定義為 f 的第 n-1 階導數之導數。通常使用下列符節表示dxdyd2ydx2d yndxn，f (n)(x) 或 dnf (x)現代管理數學chapter 3極佳化方法3-

14、18若 ，則 xxy323)32( 32)32( 6)32(6)32(996)32() 3(3)32( 3xxxxxxxxxdxdy222-2-2d2ydx2)32(6)(xdxddxdydxd-2 = 6(-2)(-3)(2-3x)-3= 2322!(2-3x)-3d3ydx3)32( !232)(xdxddxdydxd22-3 2= 2333!(2-3x)-4d nydxndxdd n-1ydxn-1= 23nn!(2-3x)-(n+1)現代管理數學chapter 3極佳化方法3-19 若 f 為 n 個自變數的函數 (n2)，我們亦可定義二階偏導數(second order partial derivative)。例如一階偏導數二階偏導數可定義為 和 稱為混合偏導數(mixed or cross partial derivative)，若以上兩種混合偏導數皆為連續，則),(yxfz yzxz,)(xzxxz)(,yzyyz)(yzxyx