清华高等数值分析往年考题包含2011年2012年考题照片

1、高等数值分析历年考题高值试题（李津老师）一，填空题(4*7) 1.求矩阵的二范数，条件数。矩阵A=0,2;3,0 2.把一个矩阵SVD，然后求个广义逆算个结果 3.CG法，求余量的方向 二、简答 1.三类矩阵哪些能被Householder变换变换出来 2.GMRES的性质，每次余量是否变小 3.本质上是证明牛顿迭代的超线性收敛 三、计算 1.strum算法的使用，比书上习题还简单 2.Arnoldi过程中断时的若干性质证明 3.第八章Galerkin方法的求解，边值条件改成一阶导数。定理8.4.3的变形。 答疑的时候一定要去听听，李老师在讲牛顿迭代的超线性收敛和Galerkin方法时眉飞色舞，

2、果断就考了。2012高等数值分析 （贾仲孝老师）首先庆贺自己研究生的第一门也是最后一门考试顺利结束，哦也，再也没有考试啦！ 贾哥延续了考题沿用往年题的优良传统，详情见拍照，全部是历年考题，基本上是按着去年 考题来的，只有一道题第二个小问号改了一下而已。 1. 用householder和givens变换做QR分解，由于矩阵特殊，非常简单。如果拿不准，不妨用 GS方法做一遍验证一下，因为不同的QR分解只是符号有差异而已，GS还是比householder简 单很多的。 2.1证明rayleigh商最大值等于A的最大特征值，将x拆成各个特征向量之和就容易证。 2.2幂法求一个特征值，一步收敛 3. 第

3、三次作业第三题，也是去年的原题，基本上都不用想，直接默写就行了 4.1 去年考题。注意到Ak*R（k-1）=R（k-1）*A（k-1），那么就类似冒泡算法把Ak移到最 右边变成一个A 4.2 有点小恶心，去年这个问号问的是Qk第一列是特征向量x1，只需要两边同乘以e1即可， 但今年问的是最后一行是特征向量xn，顿时就不会证了，当时打眼一看觉得貌似A也不能说 明是可逆的，就没往反幂法这个方向去，但是后来想想其实最多也就是lamdaN=0，其他不为 0，也许可以分情况讨论下？后来有同学说假设可逆用了反幂法也没得到什么结论.不知道 .还好就是5分，丢了就丢了吧 5 考过多年的经典背诵题，默写rayl

4、eigh ritz方法和贾哥定理，以及Arnolid和精化Arnoli d算法 6.1 lagrange差值，三个点而已 6.2 最佳平方逼近，解一个2*2的法方程组就完事2003高等数值分析(贾仲孝) 1 证明不动点定理（存在唯一性）2 第三章习题83 共扼剃度法ak的选取，以及正交的证明4 梯形法（迭代，相容，稳定区间）具体为 dy/dt + y=0 y(0)=1?5 求正交阵使H*（2/3 1/3 2/3）'=e1求I2ww' （w的二范数为1）的特征值已知H，问计算Ha的运算量6 摄动原理 误差分析7 拉各朗日插值（这里实际考的是代数基本定理的应用）8 忘了2005高等

5、数值考题（贾哥版）下面是B卷内容，总共六道题1.用Givens变换QR分解一个3*2的矩阵，并求解一个最小二乘2.证明：对于Minres和Gmres(1)A有k个特征值时，至多k步收敛(2)A有n个不同的特征值，r0由k个属于不同特征值的特征向量构成时，k步收敛（这里没有 “至多”）3.A为m*n矩阵，m>n(1)用完全QR分解，不完全QR分解以及SVD表示A+(2)用完全QR分解以及SVD得到min|Ax-b|问题的xls和rls，并加以证明4.(1)证明Arnoldi过程中断时找到准确解(2)证明Arnoldi过程中断时不会发生方法中断(3)当A为正定对称阵时，证明Lanczos方法

6、不会发生方法中断（即W'AV非奇异，讲义上有的）5.A=uv'。u,v均为向量，A的秩为1(1)证明u'v为A的特征值(2)A还有哪些其他的特征值？（答案：0）(3)用幂法求A的主特征值，几步可收敛？为什么？（答案：1步）6.关于CG的问题(1)类似于推导alpha(k)，直接用书本上的方法就可以了(2)当A=I-BB'时，其中B的秩为p，用CG求解Ax=b问题，最多几步可收敛？为什么？（答案：min(p+1,n)）感觉把讲义上的东东都看懂了就没问题了，贾哥还是很好的人哪 _d2005高等数值分析试题（陆金甫老师）1.A=1,3;1,3;1,1;1,1，b=记不

7、清楚了，欢迎补充，反正4×1的:)1）用householder变换完成QR分解2）用QR分解的结果，求|b-Ax|的最小二乘解2.A=6,3;3,2 b=0;-11)用CG法解这个方程2)说了一堆CG里面关于A共轭的东西之后，让你证名CG法理论上至多需要n步就可以得到精确解（有提示，先证明r(k)正交）3.A=1 0 0 01 1 0 00 1 1 00 0 1 1,v1=1,0,0,0',完成Arnoldi过程4.F(x)记不清了，不过可以从G(x)推出来。G(x)= 0.25(x2-0.1×ex1+1)0.25(x1-0.125×x12)D=x1,x2

8、|0<=x1,x2<=0.51)这个迭代是否存在唯一不动点？用Ostrowsky定理说明这个迭代的收敛性2)x00,0'用newton迭代计算x15.变分问题1)-(u对x的2阶偏导u对y的2阶偏导)f(x,y)在边界上(u对n的偏导alpha×u)=0推倒这个问题的Galerkin变分问题与Ritz变分问题，怀疑下面还有些问题。2)给了一个微分方程，条件是第三类边界条件，用RitzGalerkin方法求U2(X),基函数是phi(k)(x)=Xk6.叙述并证明Newton迭代收敛并且是超线性收敛的那个定理。（貌似就是存在唯一不动点+F(x)在不动点的邻域上可导，

9、导数连续，不动点处的导数非奇异，则邻域内存在闭球使newton迭代有意义，且超线性收敛于不动点）。2006高等数值分析A卷（贾仲孝）1A=1，1，1，1；0，1，2，3，r是最小化二乘问题|b-Ax|的残差，r可能是下面那个向量？给了3个向量。用法方程，根据A'r=0解。2A=sqrt（2），1，1；0，1，1，b=（1，1，1）（1）用Givens变换求A的QR分解（2）用QR求最小化二乘问题|b-Ax|3.（1）证明对Arnoldi方法和GMRES方法，Arnoldi过程中断，方法找到了精确解。（2）证明如果Arnoldi方法中断，则Arnoldi过程一定不中断。4.（1）证明对于

10、MINRES和GMRES，如果A只有k个不同的特征值，则k步收敛。（2）如果A的特征值互不相同，x0=0，b由A的k个特征向量组成，证明MINRES和GMRES方法k步收敛。5（1）推导alpha（k），证明r（k）与一个什么向量垂直（记不起了。很简单，就是几步数学演绎）（2）为什么在绝对精确的计算下，CG，Lanczos，MINRES，Arnoldi，GMRES方法至多n步一定找到精确解。6（1）叙述Rayleigh-Ritz方法和精化的Rayleigh-Ritz方法的主要收敛结论。（2）描述Arnoldi方法和精化的Arnoldi方法。补充：1.备选项：(a) 1 1 1 1' (

11、b) 1 -1 -1 1' (c) -1 1 1 -1'5(1).给定phi(x_k) = (1/2)(x_k)'A(x_k)- (x_k)'b； 递推式x_k+1= x_k + alpha * p_k，问alpha多少时使得phi(x_k+1)最小，并证明b - A(x_k+1)和p_k垂直。2006高等数值分析（白峰衫）填空题4*101) a=1 0.5;0.5 1 求普半径 条件数2) QR上述矩阵3) n维内急空间是赋范空间，无穷就不一定了。 判断4) 稀疏矩阵gauss分解就是不完全LU，能用来预处理。判断5) u'=(u-u1)(u-u2)

12、u1>u2 问两点的稳定情况。6) 对称正定阵的问题可以一般化讨论3对角即可。判断7) 特征值问题条件数和解方程条件数是一回事。(就是去年那个题目)判断8) 多重网格xxx。粗网络平滑高频，细网络平滑低频。判断9) 线性规划内点问题是多项式问题。任何线性规划问题都能数值求解。 判断10)去年那个正则点题目计算题 10(建议现在大脑里装个matlab)某该死的矩阵lanczos3q0=(1 2 2)A=4 1 11 3 11 1 2计算题15奇异值分解 求广义逆秩A=4 1 ;1 1;1 2计算题15去年那个迭代题目，验证11是解，求牛顿迭代式以及x1 x0=0.5 0.5 另外给了一个迭

13、代式，同样初值求x1证明题10 (u'',v'')=(v,f) 以及一堆0的边界条件 u''''=f以及一堆0的边界条件证明上述两个问题等价证明题10引理3.3.22006高等数值分析（白峰杉）填空4'×101. A=(1,0.5;0.5,1),求2范数和条件数。2. 还是这个A，求QR分解。38. 判断对错，涉及到GUASS消去，线性规划，多重网格，求特征值时的条件数cond(A)，赋范空间，还有一个忘了。9. du/dt=(u-(u+)(u-(u-)，则(u+)是_（稳定/不稳定）的稳态解，(u-)是_（稳定

14、/不稳定）的稳态解。10. f(x)=f(x1,x2,x3)=.（忘了），求临界点、临界值、正则点、正则值。计算证明15'×210'×31.对称阵A=(4,1,1;1,3,1;1,1,2)，取3q1=(1,2,2)'，用Lanczos过程将其三对角化。2.f(x)=(f1(x),f2(x)=0。（1）验证x*=(1,1)'是方程的解。（2）写出Newton法迭代式，x0=(0.5,0.5)'，求x1。（3）给了一个迭代式fai(x)=.，证明它在x*有局部收敛性，并做一步迭代，计算x1。3. A=(4,1;1,1;1,2)，求SVD，

15、A的广义逆和A的秩。4.zm是Krylov子空间Km的向量，Lm=AKm。证明：(r0-Azm,v)，任取v属于Lm等价于|r0-Azm|=|r0-Az|，z属于Km。5.证明：求解方程：d4u/dx4=f，u(0)=u(1)=u'(0)=u'(1)=0等价于在空间L中找到这样的u满足：(u'',v'')=(f,v)，任取v属于L。（L主要的性质就是v(0)=v(1)=v'(0)=v'(1)=0。）2007高等数值分析(贾仲孝)1.(1) f ( x_0 ) = a， f ( x_1 ) = b， f ( x_2 ) = c， x

16、_k = ( k - 1 )/h, k = 0,1,2, 求 f ( x ) 的拉格朗日差值多项式。(2) 求 f(x) = |x| 在-1 , 1 上的最小平方逼近，基函数取1， x22.(1) 若 A 可对角化，则当 A 仅有 k 个不同特征值时，证明对于 A x = b MINRES方法与GMRES方法至多 k 步找到精确解。(2) 若A的特征值各不相同，对 A x = b 而言，取 x_0 = 0，b 可以表示成由 k 个特征向量，证明MINRES方法与GMRES方法k步找到准确解。3.A = | 0 3 4 | 3 0 0 | 4 0 1 |(1) 用Givens变换实现 A 的相思

17、变换使得 A 化成对称三对角矩阵 T ;(2) 用Householder变换实现A的 QR 分解。4.取 G = -1 1 , x = g(x) = (x2 - 1)/3 , 求证上述变换在 G 内有唯一不动点。5.取 x_k+1 = x_k + a_k d_k，其中 d_k 为迭代方向(1)若选取a_k使得| r_k+1 | = min | b - A x_k |，给出 a_k 的算式；(2)求证 r_k+1 与 A d_k 垂直；(3)若取d_k = r_k，证明对于任意的x_0，则上述方法均收敛。6.取 A = u v'，其中 u 与 v 不正交。(1)证明 v' u 为

18、 A 特征值；(2)证明 A 的其余特征值均为 0；(3)若对上述 A 使用幂法，则迭代几步之后收敛，收敛向量是什么？2007高等数值分析(白峰杉)一、 填空 13题每题6分，46题每题3分1、A=1 1/4 求A 求解Axb问题中的条件数cond2（A）1/4 1;2、求A的奇异值分解3、求解特征值问题Axx问题中的条件数4 求A的广义逆 A5 用A 进行jabobi松弛迭代 迭代矩阵为6 如果求方程xn+a1xn-1an=0的根等价于求一个矩阵的特征值，这个矩阵是？二、判断对错 并说明理由 每题3分1、2、列主元高斯消去法与LU方法是等价的，求解大型稀疏矩阵的列主元消去法，由于不必每次都选

19、取最大的主元，因此与LU方法不等价3、guass消去解方程时，如果增长因子很大，结果一定不可靠4、任何实矩阵的问题，不失一般性，都可以只研究上三角矩阵5、多元代数方程组的解由方程组唯一确定，而且复杂度是多项式的，易于求解6、粗网格解决的是高频分量，细网格是低频7、任意空间，如果可以定义内积，就一定是赋范空间三、A4 2 1 3*q1=1 求前两个ritz值2 3 1 21 1 2; 2四、方程 8x1-x12+x2-8=08x2-x22+x1-8=0 1、证明（1，1）是方程的解2、x0（0，0）,newton迭代，求x13，对于函数 x11/8*x12+1/8*x2-1x2- 1/8*x22

20、+1/8*x1-1 (1) 证明函数在x*处局部收敛(2) 如果0<x1,x2<1.5 证明函数是压缩的 且全局收敛五、如果矩阵的无穷范数定义为A= max Axx1则Amax aiji，j2008数值分析试题(贾哥版) 1、算一个2阶拉格朗日插值，f（x）=1/x，插值点，2、2.5、4，写出插值函数，分析在3点的偏差。1/60我记得。然后f（x）=sqrt（x），权函数=1，问一阶最佳平方估计的插值函数是多少？大概是4/5x+2/15？这题其实用chebyshev和拉格朗日都一样，一阶情况下一样的。2、用givens和householder变换把A QR了。A=0，3，4；3，

21、0，0；4，0，1。答案应该是G变化下，忘记了，H变换下，R=5，0，0.8；0，3，4；0，0，-3，只记得两个R不一样，QR向来不唯一吧。3、证明Arnoldi过程中断时Arnoldi方法找到了精确解，证明Arnoldi方法在第k步中断，则Arnoldi过程必不中断，证明A=A'0时lanczos方法一定不中断。比较简单4、简述算部分特征值的arnoldi一般方法和精细方法。略5、phi（x）=1/2（x，Ax）-（x，b），phi(x_k+a*p_k)在a取什么值时得到最小，其中x_k 是Ax=b的目前近似，p_k是搜索方向，并且证明，b-Ax_k+1垂直于p_k。这题目课件的C

22、G中都 有类似的证明，第一问求导，第二问直接算内积，把x_k+1=x_k+a_k*p_k的关系以及上面求导的a的值代入即可。这里没有提到CG，所以不能用CG的一些假设前提，比如Pk*p_k=0就好，实际上更简单了。第二问是在精确求解情况下，证明CG，lanczos，MINRES、Arnoldi，GMRES五种方法在k=n时都一定找到准确解。CG、M、G都是最优，有限步算法，比较简单，L、A主要是在k=n的条件下，AQ=QT成立，没有那个小尾巴了，证明T的非奇异后，算y算z算x，Ax一算等于b于是精确解。6、给了一个三阶矩阵A=-3，1，0；3，-2，3；0，1，-3，给了一个初始向量v0=1/

23、sqrt（3）（1，1，1），用幂法求主特征值和主特征向量。一部就收敛了，然后v1Av1得到这特征值-5。2009高等数值分析(贾哥版)1、(1)插值，f(x)=sqrt(1+x),给了3个点0，0.6，0.9(2)最小二乘，基函数为1,x2，在区间-1,1，f(x)=|x|2、证明(1)A只有k个不同特征值且能够对角化时，MINRES和GMRES至多k步收敛(2)A有n个不同特征值但是r0只由k个特征向量线性组合，MINRES和GMRES迭代k步收敛3、(1)x_(k+1)=x_k+alpha_k*d_k,求使得|x-x*|尽量小的alpha_k，其中x*=inv(A)*b(2)证明(x_k

24、-x*)垂直于d_k(3)f_k=A'*d_k，取f_k=b-A*x_k方法是否一定收敛4、(1)叙述幂法特征值lambda_a对应的特征向量为x_1,sin(x1,vk)=epsilon_k,证明|rho-lambda_1|=O(epsilon2)(2)A=1,1,1;1,1,1;1,1,1,用幂法求主特征值和特征向量 5、A=2,-1,-1;-1,2,-1;-1,-1,2(1)用Givens变换变成3对角(2)用Householder变换作QR分解2009高等数值分析_贾仲孝第四题和第五题记得不是特别清楚。1.1.) f(x)=sqrt(1+x),x_0=0,x_1=0.6,x_2

25、=0.9,求二次插值多项式。并计算f(0.44),计算在该点准确值与估计值的误差；2.) f(x)=abs(x),积分区间-1,1,phi(x)=1,x*x,权函数为1，求最佳逼近2. 矩阵A可以对角化，A*x=b，取x_0=0.对于MINRES和GMRES方法；1.) 当A仅有k个不同特征值时，证明至多k步即可收敛2.) 若A的特征值各不相同，b可以表示成k个特征向量的线性组合，证明k步找到准确解；3.矩阵A=2 -1 -1; -1 2 -1; -1 -1 21.) 利用givens变换把A转化成对称三对角矩阵2.) 利用householder变化实现A的QR分解4.Ax=b,x_*为方程的

26、精确解，x_*=(A-1)*b, x_k+1=x_k + alpha_k * d_k,其中d_k为搜索方向，d_k= A'*f，f为非零向量，1.) 确定alpha的表达式使得范数|x_* - x_k+1|尽可能小2.) 证明x_* - x_k+1 与 d_k 正交，(alpha的表达式中不要显示x_*)3.) 若取d_k = r_k= b - A*x_k,问算法是否收敛，说明理由5.1.) A为实数矩阵，且特征值满足lamda_1>lamda_2>=.>=lamda_n陈述幂法，并证明sin (v1,x1)=O(dieta),p为第k步幂法得到的特征值，证明|p-l

27、amda|=O(dietak),就是说精度是dieta的k次方量级。2.) 利用幂法求下列矩阵的主特征值和特征向量A= 1 1 1; 1 1 1; 1 1 1一步收敛，特征值是3，特征向量是1/sqrt(3)* 1 1 1'2009高等数值分析(白峰杉老师)总体来说，今年的题目不难，很多难的都没考。但是白老师今年出来3道多选题。同时很多东西光靠课件和教材是找不到，听课很重要一、填空（3*6=18）A=2,1;1,2;(1)求|A|1；求多项式方程组Ax=b的Cond1(A);(2)已知QR分解中的Q=-0.8944 -0.4472;-0.4472 0.8944， 求R=?若记A(0)=

28、A，用QR迭代求特征值，问A(1)=? (3)求A的特征值问题条件数(4)广义逆矩阵A+=?二、判断题（请说明理由，或者改正）（3*4=12）1、Newton法丢非线性方程组，只要初值充分接近解，那么一定收敛；2、如果一个多项式的条件数很大，那么这个问题有可能很不好求解；3、任意线性椭圆微分方程都可以4、由于有限维空间的范数相互等价，所以min|Ax-b|v都相同。三、多选题（3*10=30）1、多项式Pn(x)=xn+a1x(n-1)+a0，以下说法正确的是：A、多项式的实值根的个数（算重根）由方程的次数和系数决定；B、用Newton法求多项式的解一定收敛；C、D、E、多元多项式的根只有方程

29、的阶数决定。2、假设有n的观察变量，总共有m个采样值。形成矩阵A（m*n）。以下说法正确的是：A、如果矩阵的奇异值维r，其秩为r；B、变量的协方差矩阵为m阶；C、主成分分析的中心化指的是求每一行的平均值并减去该值；D、使用PCA实际上使用线性方法对数据进行降维和去噪；E、当矩阵很大的时候，使用奇异值分解算法稳定；3、线性规划问题。以下说法正确的是：A、单纯性问题如果有最优解，一定在顶点处求到；B、单纯性算法可以有效求解大部分问题；C、单纯性经典意义上的复杂度是指数的；D、内点法的复杂度指示多项式的；E、？三、计算题1、Househoulder变化（对教材的做法有一点改动）H2 2 1 0

30、9;=(I-2vv'/v'v)2 2 1 0'=a,0,0,0;(1)a=？v=？(2)证明Householder矩阵对称、正交；2、考虑一维poison过程 -(正三角)u=f。f=6x。区间在0,1；u(0)=0;u(1)=1;(1)采用中心差分迭代格式，步长h=0.25，离散化方程；(2)考虑线性方程组Ax=b，A对称正定。说明并证明极小化原理；3、非线性方程组F(x)=0;(1)用Newton法求解，写出G(x)；(2)当F(x)=Ax-b时，求出G(x);(3)写出G'(x*)的谱半径，从而证明收敛。2010高等数值分析(贾哥)今年贾哥很厚道啊，几乎拿

31、得是06年的卷子。我就不抄写了，和以前的题是一样的按着pretest上的年号-题号看就可以了。06-306-206-406-507-106-62010高等数值分析 (白峰杉)一、填空(18'，每空3分)：1.A4,3;3,4求二范数，和二范数的特征值的条件数2.将A进行QR分解，求household变换矩阵H= ；R=3.求A的奇异值分解的三个矩阵U= ;S= ;V= .二、判断并写理由/更正(12',每题3分)：1.解非线性方程的牛顿法是迭代法但不是不动点迭代2.多重网格的粗网格是对高频分量的改善，。3.QR分解求特征值，迭代得到的矩阵都是上hessenberg矩阵4.线性规划问题的优化。，平均意义下的计算复杂度是指数型的三、多项选择题(30',每题10,把你认为错误的写上理由)1.多元多项式方程组P(X)=(p1(x),p2(x),.,pm(x)=0，pk(x)的多项式次数为dk,k=1,2,.,mA.方程组解的个数上界满足d1+d2+.+d3B.m=1时结论A符合代数基本