立体几何10道大题

1、立体几何练习题1.四棱锥中，底面为平行四边形，侧面面，已知，1）设平面与平面的交线为，求证：；5.BC 2 AD ，AB/ DC AB丄求证：；求直线与面所成角的正弦值2.如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形， AD=AC=1 0为AC的中点，P0平面ABCD P0=2 M为PD的中点。（1）证明：PB如图，四棱锥 P ABCD中， ABC BAD 90 , PAB与 PAD都是等边三角形.1）证明： CD 平面 PBD ；2）求二面角 C PB D 的平面角的余弦值4.如图，四棱锥 P-ABCD中, PA1底面ABCD AC丄AD底面ABCD为梯形,BC PA=AB=BC

2、=3 点 E 在棱 PB上，且 PE=2EB求证：平面 PABL平面PCB(n)求证：PD/平面EAC（川）求平面 AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值.如图3已知矩形 ABCD所在平面垂直于直角梯形 ABPE所在平面于直线AB 3平面AB ，且ABCD I 平面 ABPE AB，且 AB BP 2 , AD AE 1 , AEAE/BP (1)设点M为棱PD中点，在面 ABCD内是否存在点 N，使得MN平面 ABCD ？若存在，请证明；若不存在，请说明理由；(2)求二面角D PE A的余弦值.6.如图，在直三棱柱 ABC- ABC中，平面 AiBC丄侧面 AiABB,且AA=AB=2(1)

3、求证：AB丄BC(2)若直线AC与平面AiBC所成的角为，求锐二面角 A- AiC- B的大小.7.在四棱锥V- ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面 VAD是正三角形，平面VADL底面 ABCD(1)求证AB丄面VAD(2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小.8.如图，在五面体 ABCDE中，四边形 ABCD为菱形，且/ BAD=，对角线AC与BD相交于O, OF丄平面 ABCD BC=CE=DE=2EF=2(I)求证：EF/ BC(n)求面AOF与平面BCEF所成锐二面角的正弦值.9.如图，在四棱锥 P- ABCD中，底面为直角梯形，AD/ BC / BAD=90 , PA丄底面AB

4、CD且PA=AD=AB=2BCM N 分别为 PC PB的中点.(I)求证：PB丄DM(n)求BD与平面ADMN所成的角.10.如图，在等腰梯形 ABCD中，AB/CD , AD DC CB 1, ABC 60°，四边形ACFE为矩形，平面 ACFE 平面 ABCD， CF 1.1)求证： BC 平面 ACFE ；2)点 M 在线段 EF 上运动，设平面 MAB 与平面 FCB 二面角的平面角为 (90o)，试求 cos 的取值范围 .立体几何试卷答案（2）证明：连接AC由余弦定理得，6分 取中点，连接，贝y .（川）如图，以射线 0A为轴，以射线0B为轴，以射线 OS为轴，以为原点

5、，建立空间直角2、试题解析：（1 ）证明：为AC的中点，即0为BD的中点，且 M为PD的中点,又平面ACM平面ACM,连接BD,交AC于点M则=2 所以PB1）证明见解析；（2）试题解析：（1）证明：过P作P0 平面ABCD于0，连0A 依题意PA PB PD , P0 面 PBD，二面则0A 0B 0D 又 ABD为Rt ，故0为BD的中点.PBD 面 ABCD 在梯形 ABCD 中，CD2 DB2 CB2,4.【解答】（I）证明：PA1底面 ABCDBC?底面 ABCD 二 PA1BC.又 AB丄 BC PAD AB=A - BC丄平面 PAB 又BC?平面PCB 平面 PAB丄平面PCB

6、(n)证明： PC 丄 AD,BAC= , / DCA2 BAC=在梯形 ABCD中，由 AB丄 BC, AB=BC 得/ 又AC丄AD故 DAC为等腰直角三角形, DC= AC= (AB) =2AB.连接EM在 BPD中,=2,. PD/ EM又PD? /平面EAC EMf 平面 EAC PD/平面 EAC （川）解：以A为坐标原点，AB AP所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则A (0, 0, 0), B (0, 3, 0), C(3, 3,0),P (0, 0, 3), E (0, 2,1)=(X,y, 1）为平面AEC的一个法向量，则=(3,3, 0),= (0,

7、2, 1),1)解得x= , y=-=(X',y，1）为平面PBC的一个法向量,=(3, 0, 0),= (0,-3, 3),，解得 X' =0, y' =1,.=(0, 1,1).（取PB中点为F,连接AF可证 为平面PBC的一个法向量.）/ cos <平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值为注：以其他方式建系的参照给分.5. （ 1）详见解析；（2）-3试题分析：（1）连接AC , BD交于点N，连接MN，证明MN 平面ABCD，从而MN 即为所求；（ 2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解试题解析：（ 1）连接 AC BD 交于点 N 连

8、接 MN 贝 MN 平面 ABCD/ M为PD中点，N为BD中点， MN为 PDB的中位线，二 MN/PB ,又平面ABCD 平面ABPE ,平面 ABCD I 平面 ABPE AB , BC平面ABCD，BC AB，6【解答】本小题满分14 分）1）证明：如右图，取AiB的中点D,连接AD,因 AA=AB,贝U ADXAiB由平面AiBC丄侧面AiABB,且平面AiBCn侧面AiABB=AB。得AD丄平面 ABC,又BC?平面ABC,所以 ADX BC.因为二棱柱 ABCAiBiCi是直二棱柱,则AA丄底面 ABC 所以AA丄BC 又AA Q AD=A从而 BC丄侧面 AABB,又AB?侧面

9、AiABB，故AB丄BC.（2）解：连接CD由（1）可知AD丄平面ABC则CD是 AC在平面ABC内的射影 / ACD即为直线AC与平面AiBC所成的角，则在等腰直角 AiAB中，AA=AB=2,且点D是AiB中点,且， 过点A作AEL AiC于点E,连DE由（i）知 AD丄平面 ABC,贝U ADL Ac,且 AEn AD=A/AED即为二面角 A- AiC- B的一个平面角，且直角 AiAC中:且二面角 A- A1C- B 为锐二面角 ,即二面角 A- A1C- B 的大小为7.【解答】证明：（i）由于面VAD是正三角形，设 AD的中点为E,贝U VEL ad 而面 VADL底面 ABCD

10、 贝U VE1 AB.又面ABCD是正方形，则 AB丄AD,故AB丄面VAD连AF, BF由VDB所成的二面（2）由AB丄面VAD则点B在平面VAD内的射影是 A,设VD的中点为F ,VAD是正,贝U AFL VD,由三垂线定理知 BFL VD故/ AFB是面VAD与面角的平面角设正方形ABCD勺边长为a ,则在 Rt ABF 中，AB=a AF=a, tan / AFB=故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为.8. 【解答】（本小题满分 12 分） 证明：（I）T四边形 ABCD为菱形 AD/ BC,且 BC?面 ADEF AD?面 ADEF BC/面 ADEF 且面 ADEfA面 BCE

11、F=E F - EF/ BC.解：(n)T F0丄面 ABCD - F0 丄 AQ F0丄 OB又 OBI AQ以0为坐标原点，0A 0B OF分别为x轴, y轴，z轴，建立空间直角坐标系,取CD的中点 M 连 0M EM 易证EM丄平面 ABCD又 BC=CE=DE=2EF=2得出以下各点坐标:B（ 0，1 ， 0 )， C(-， 0，0），D( 0, - 1 , 0),F( 0，0,), E(-），向量=(-），向量=（-，- 1， 0），向量设面BCFE的法向量为:，得到时，1, , 1)面A0F的一个法向量 设面AOF与面BCEF所成的锐二面角为 0,则 cos 0 =故面AOF与面B

12、CEF所成的锐二面角的正弦值为如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，设BC=1,则 A (0, 0, 0) P( 0, 0, 2), B (2, 0, 0), M( 1 , 12, 1), D (0, 2, 0)(I)因为=0所以PB丄DM(n)因为=0所以PB丄AD.又PB丄DM因此的余角即是 BD与平面ADMN所成的角.因为所以=因此BD与平面ADMr所成的角为10.试题解析:(1)证明：在梯形ABCD中,/ AB/CD ,AD DC CB 1, ABC 60°, AB 2,- AC2 AB2BC2 2AB?BC?cos60o2BC , BC AC,平面 ACFE平面ABCD，平面ACFEI平面ABCD AC , BC 平面ABCD ,平面ACFE.(2 )由1)分别以直线CA,CB,CF为x轴，y轴，z轴发建立如图所示空间直角坐标系,令FMuuu AB73)，则 C(0,0,0), A(屁,0), B(0,1,0), M( ,0,1),uuuuurV3,1,0), BM( , 1,1).设 n1(x,y,z