空间几何体表面积与体积公式大全

1、1、空间几何体的表面积与体积公式大全全（表）面积（含侧面积）柱体圆柱>2、锥体棱锥：S棱锥侧圆锥：S圆锥侧1 西底h丄 西底I*S全S 底s侧3、台体棱口： S棱台侧圆台：S棱台侧1（2（c上底12（C上底C下底）hC下底）14、球体球：S球4 r球冠：略球缺：略1、体积柱体棱柱圆柱2、锥体棱锥圆锥V柱Sh4 S全 S上 S侧 S下>h h3、台体棱台圆台1 ,V台 3h（S上 JS上S下 S下）1 2 2V圆台3 h （r上Vr上r下r下）4、球体球：V球球冠：略球缺：略棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线I计算。拓展提咼1、祖暅原理：（祖暅：

2、祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截 面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。2、阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是2r的圆柱形容器内装一个最大的球体则该球体的全面积等于圆柱的侧面积体积等于圆柱体积的1。分析：圆柱体积：V圆柱S h （2r ) 2r 2圆柱侧面积：S圆柱侧ch 因此：球体体积：V球2 2 r3(2 r) 2r球体表面积：S球4 r2通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图）即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和3、台

3、体体积公式公式：V台 1h（S上 h上 St St）证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD。延长两侧棱相交于一点P设台体上底面积为S上，下底面积为St咼为h °易知：PDC S PAB，设 PEhi，则 PF hi h由相似三角形的性质得：詈PEPFPhi整理得:hJS上 hh1L（相似比等于面积比的算术平方根）Js 下 h1 h2又因为台体的体积二大锥体体积一小锥体体积1()V台 3St(h1 h)13S上 hi代入：h1即:V台JS上 hJs下尽上 h（JS下 尽）得：V13h1(S下 S上)1 7S上 h 37S下1sS下h13S下h（S上Js上S下S下）4

4、、-V台3h（S上Js上S下S下）球体体积公式推导分析:将半球平行分成相同高度的若干层（n层），n越大，每一层越近似于圆柱,2 rn半球的体积等于这些圆柱的体积之和。每个圆柱的体积Vi S h =i2ri2(-r)n2(-r) n2(-r) nr21r21212(-)n2(-)n2(-)n2 2rn rn 1、(r)n2r21 (口)nn时，每一层都可以看作是一个圆柱。这些圆柱的高为 -，则:n半球体积为：V半球 Vn 7(ri2 r22 2 2 C彳r dn 1 ().().()n nn2 2 2 20 1 2 (n 1)r)-r3n n '-(n 1) n(2 n 1)6 2n(1

5、 1)(2 丄)n n 6 时，10n13(1 -)(2r131(n 1)(2 n 1)26nr3(1晋）球体积为：V球4 r35、3球体表面积公式推导分析：球体可以切割成若干（n个）近似棱锥,当n 时，这些棱锥的高为球体半径，底面积为球面面积的-,则每一个棱锥的体积n则所有的小棱锥体积之和为球体体积。即有:1 1V1 3 -S球 r，芳-s"0厂6、 正六面体（正方体）与正四面体1433ns球r n 3 r（1）体积关系 如图：正方体切下四个三棱锥后,剩下的部分为正四面体 设正方体棱长为a， 则其体积为：V正方体a 四个角上切下的每一个三棱锥体积为:111213V三棱锥 3S h

6、3（2a）a 6a中间剩下的正四面体的体积为：1 1 1V正三棱锥3S h 32sin 60V2a 匚 1 3 V3) 3a这样一个正方体可以分成四个三棱锥与中间一个正四面体 即：打3 4打3 a3（2）外接球正方体与其体内最大的正四面体有相同的外接球。（理由：过不共面的四点确定一个球。）正方体与其体内最大的正面体有四个公共顶点。所以它们共球。回顾：两点定线三点定面三点定圆四点定球正方体内切球与正四面体的四条棱相切。与正四面体四条棱相切的球半径 二正方体棱长的一半设正四面体棱长为a，则与其棱都相切的球半径为ri7、有:1 a42ri 2 72 Ta利用祖暅原理推导球体体积。构造一个几何体，使其

7、截面与半球截面处处相等，根据祖暅原理可得两物 体体积相等。证明：作如下构造：在底面半径和高都是r的圆柱内挖去一个与圆柱等底等高的圆锥。如图:在半球和挖去圆锥后的组合体的相同截面上作研究，设圆柱和半球底面半 径均为R，截面高度均为h，倒圆锥的截面半径为r衛，半球截面半径为则：挖去圆锥后的组合体的截面为： S R22 S2r 球 1倒圆锥的底面半径与高相等,半球截面面积为:由相似二角形易得:在半球内，由勾股定理易得:r 球 1 V R h22S2R h即：S S2，也就是说：半球与挖去倒圆锥后有圆柱在相同的高度上有相同的截面。由祖暅原理可得：Vl V2 所以半球体积：V半球Sh 1sh 即，球体体

8、积：V球2 2 R3-Sh343233R8、正方体与球V正方体正方体的棱长球体的直径d34 甩 33 (2)6 aV正方体：6:球体的直径d正方体的体对角线3L4 3 4 d丁3 3V球 3 r 3 (?)云 a V 球: V正方体丿3:2(3) 规律: 正方体的内切球与外接球的球心为同一点; 正方体的内切球与外接球的球心在体对角线上; 正四面体的内切球与外接球的的半径之比为：1: 73正四面体内切球与外接球体积之比为：1： 373正四面体内切球与外接球表面积之比为：1: 39、正方体外接球半径、正方体棱长、内切球半径比为:正四面体外接球、正四面体外接球、正四面体与球73:2: 1正四面体、内

9、切球体积比为：3正四面体、内切球表面积比为：3(1)正四面体的内切球解题关键：利用体积关系思考:6:6:内切球的球心到各个面的距离相等，球心与各顶点的连线恰好把一个正四面体分成四个三棱锥,每个三棱锥的底面为原正四面体的底面，高为内利用体积关系得:所以：r 4h，切球的半径r。/1 1 2 14 (一 一 a sin 60 r ) 一32ar 3其中h为正四面体的高。1 2(2 a sin60) h,1 2由相关计算得：h Ja 2 (丄a J3)1 3 2TaV正四面体12a2sin 60V正四机体V球18: ®你(2)正四面体的外接球463216 aJ 233 a 7?a外接球的半

10、径=346（Ta）468V正四面体2sin 60V6TaV球:V正四面体3423a ： 12 a(212 a3 J3 : 2(3)规律: 正四面体的内切球与外接球的球心为同一点; 正四面体的内切球与外接球的球心在高线上; 正四面体的内切球与外接球的的半径之和等于高; 正四面体的内切球与外接球的半径之比等于1：正四面体内切球与外接球体积之比为:1： 27正四面体内切球与外接球表面积之比为:1： 9正四面体外接球半径、正四面体棱长、内切球半径比为：376:12： 76正四面体外接球、正四面体、内切球体积比为：2743 ：18：75正四面体外接球、正四面体、内切球表面积比为：9 :672:10、圆柱

11、与球(1)圆柱容球(阿基米德圆柱容球模型)圆柱高二底面直径二球的直径球体体积=2圆柱体积3球面面积二圆柱侧面积四、底面半径为r方法总结角三角形。1 2 2即: R球体直径、圆柱的高、圆柱底面直径构成直设球体半径为R，圆柱高为h，F面举例说明立体几何的学习方法a，求它的内切球和外接球的半径例：已知正四面体的棱长为，显然内切球与外接球的球心是重合的。且是正四面体的高线交点。再分析球心与一些特 殊的点、线、面的位置、数量关系。在内切球这种情况下，球心垂直于每 一个面，且到每一个面的距离相等；在外接球这种情况下，球心到每个顶 点的距离相等。方法1展平分析：（最重要的方法） 如图：取立体图形中的关键平面

12、图形进行分析!连接DO并延长交平面ABC于点G,连接Go连接Do并延长交BC于点E,则A、G、E三点共线。在平面AED中,由相似知识可得:EQi EG 101D GA 2Go，/ad 且G0iADAGB01CD GOo, sA doa00iAO即：AO 3 Ao,(6a3a40i01 14A0i 47676a a312V外接球"768V内切球43300iV6216方法2 :体积分析:（最灵活的方法）如图：设正四面体ABCD的内切球球心为0,连接A0、B0、CO、DO,则正四面体被分成四个完全一样的三棱锥。设内切球半径为r，正四面体的棱长为a则正面四体的高为：h Ja（132 2迅)f

13、a3 2 ，3则:4个完全一样的三棱锥体积有:4 - (-a2sin60 )32arV内切球21633(1V外接球(h3r)V6V6 aa)43(312J63T a方法3:方程分析：（最常见的做法）如图：显然A0、DO是外接球半径，O。"是内切球半径。在 Rt DO。"中,由勾股写得可得以下方程:2DO2OOi2DO2i其中:DOiDO DO1 AO1ABCD代入方程解得:DOVoa、4OOi(6 a124V外接球33DOV内切球43OOiJ 62163方法4:补形分析（最巧妙的思考）把正四面体补成正方体进行分析。如图:此时，正四面体与正方体有共同的外接球。正四面体的棱长为

14、a，则正方体棱长为：r正方体的外接球直径为其体对角线D怎（为fa正四面体的外接球半径为:J6a4内切球半径为:1逅a312V外接球V内切球3 U6r 216方法5:坐标分析（最意外的解法）建立如图所示的空间直角坐标系:6则A（0, 0,争），B（0,43a30),C（ 1a，fa，0），D（ 2a，0),设球心位置为z ,)由 |0A | |OB| |0C| |OD |2OA OB20C20D即:x / (z fa)2 /a) z (X2_ 2 (y ta) z222d=(x尹(y解得:x y0，4V外接球3R43V内切球3r主要方法:/63216 a3V63T az 16a，即: r 虽a，

15、R鱼a也a坐a'12 R 3124统一思想1、公式的统一对于每个几何形体的面积与体积公式，我们很想找出一个万能公式全部适用于所有形体，但是这只是一个理想状况，实际上不可 能，最多只可能适用于一部分而已。即使是这样，也只减小我们对 公式的记忆难度，增强学习的灵活性。（1）梯形的面积公式：S寸但b）h，同样适用于三角形、平行四 边形、长方形、正方形、扇形的面积计算。只是在使用时作微 调而已。在分析三角形时，上底变为0;分析长方形、正方形、 平行四边形时，上下底变成一样；在分析扇形时，上底变为0, 下底变成弧长，高为半径。棱柱、（2）台体的侧面积公式：S侧1（c c）h，同样适用于圆柱、圆锥

16、、棱锥、球的侧面积计算。只是在使用时作微调而已。分析圆柱、棱柱时，上下底周长变成一样；在分析棱锥时,线；在分析球体的面积时，上下底都取最大圆的周长，高取直1径，即：S球 2（2 r 2 r）2r 4 J台体的体积公式：V 3（S上Vs上S下 S下）h，同样适用于圆3柱、棱柱、圆锥、棱锥、球的体积计算。只是在使用时作微调 而已。在分析圆柱、棱柱时，上下底面积变成一样；在分析棱锥时，上底面积变为0;在分析圆锥时，上底面积变为0;在分析球体的体积时,高取直径，即：S球上底面积取0,下底取最大圆面积的2倍,12433（2 r）2r 3 r2、字母的统一在进行分析时，一般要把字母统一，这样便于进行比较!3、关系的统注意相似的关系：面积比等于相似比的平方，体积比等于相似 比的立方。球体、正方体、正多面体相似!转换思想1、平面与立体的转换这是立体几何的一种重要思想，即把立体的问题交给平面来解 决。但是要在特殊的面中进行，有时还要把面与面的关系交给 线与线来分析。如二面角的大小研究，通常会作垂直于两面的 交线的直线来分析。异面直线的有关系也要平移到同一面中研 究。在立体与平面的转换中平移是一种很实