根与系数的关系练习题

1、元二次方程根与系数的关系习题主编：闫老师i、一 元准备知识回顾:次方程 ax2 bx c 0(a0)的求根公式为I f4ac 0)。b Vb4ac_2X (b2a2、元二次方程ax2 bX c 0(a0)根的判别式为:b2 4ac(1)0时，方程有两个不相等的实数根。0时，方程有两个相等的实数根。(3)0时，方程没有实数根。反之：方程有两个不相等的实数根，则；方程有两个相等的实数根，则;方程没有实数根，则韦达定理相关知识i若一元二次方程ax2 bX c 0(a 0)有两个实数根Xi和X2 ，那么XiX2Xi ?X2。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系,简称 韦达定理。2、如果一元二

2、次方程X2pxq 0的两个根是Xi 和X2，则 XiX2Xi ?X23、以xi和X2为根的一元二次方程(二次项系数为i)是 X2 (xi x2 )x xi ?x2 0；有一根为1，则a b c；有一根为 1，则a b c；若两根互为倒数,则c;若两根互为相反数，则b4、在一元二次方程ax2 bx c 0(a0)中，有一根为 0,则c5、二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式ax2 bx c的因式时，如果可用公式求出方程 ax2 bx c 0(a 0)的两个根x2，那么 ax2 bxc a(x x1)(xX2).如果方程ax2 bx c 0(a0)无根,则此二次三项式ax2bx c不能分

3、解.基础运用例1:已知方程3x2 (k 1)x2 0的一个根是1,则另一个根是解:变式训练:1、2、已知X 1是方程3x2 2x k 0的一个根，则另一根和k的值分别是多少? 方程X2 kx 6 0的两个根都是整数，则k的值是多少？2:设X1和X2是方程2x2 4x 3 0，的两个根，禾I用根与系数关系求下列各式的值:/八22(1) X1X2(2) (X1 1)(X2 1)(3)-X1X2(4) (xi X2)变式训练：1、已知关于x的方程3x2 10x k 0有实数根，求满足下列条件的k值:1）有两个实数根。2）有两个正实数根。3）有一个正数根和一个负数根。 （4）两个根都小于 2。2、已知

4、关于x的方程X2 2ax a 0。1）求证:方程必有两个不相等的实数根。2）a 取何值时，方程有两个正根。3）a 取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。4）a 取何值时，方程到少有一根为零？选用例题：例 5、若方程 x2 4 x m0与 x2 x 2m 0有一个根相同,求 m 的值。例 3：已知方程 ax 2 bxc 0(a 0)的两根之比为1:2,判别式的值为1,则a与b是多少？例 4、已知关于 x 的方程x2 2(m 2)x m2 5 0有两个实数根,并且这两个根的平方和比两个根的积大16，求 m 的值。基础训练:1 .关于X的方程ax2 2x1 0中，如果a 0，那么根的情况是(A

5、) 有两个相等的实数根(B) 有两个不相等的实数根(C) 没有实数根(D) 不能确定2 .设X1,X2是方程2x2 6x 20的两根，贝U X1X22的值是()(A) 15 (B) 12(C) 6(D) 33. 下列方程中，有两个相等的实数根的是(A)2y2+5=6y(B)x2+5=2/5 x(C)羽 x2/2x+2=0(D)3x2 26x+1=04. 以方程X2+ 2x 3 = 0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是()(A) y2+5y 6=0 ( B) y2+5y+ 6=0(C) y2 5y+ 6=0(D) y2 5y 6=05. 如果X1，X2是两个不相等实数，且满足 X12 2x1

6、= 1，X22 2x2 = 1，那么X1 - X2等于()(A) 2( B) 2(C) 1( D 16.关于x的方程ax2 2x+ 1 = 0中，如果a<0，那么根的情况是(A)有两个相等的实数根(B) 有两个不相等的实数根(C) 没有实数根(D)不能确定7.设xi, X2是方程2x2 6x+ 3= 0的两根，贝U xi2 + x/的值是(A) 15(B) 12(C) 6( D 38. 如果一元二次方程X2+ 4x + k2= 0有两个相等的实数根，那么9. 如果关于x的方程2x2(4k+1)x + 2 k2 1 = 0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是,Xi X2 =10. 已知

7、X1，X2是方程2X 7x + 4 = 0的两根，则X1 + X2=(X1 X2)2 =11. 若关于X的方程(m2 2)x2 (m 2)x + 1 = 0的两个根互为倒数，则、能力训练:1、不解方程，判别下列方程根的情况：(1) x2 x=5 9x 2 6羽 +2=0(3)x2 x+2=02、当m 时，方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m 时，方程mx+4x+1=0有两个不相等的实数根;3、已知关于x的方程10x2 (m+3)x+m- 7=0,若有一个根为0,贝U m ,3这时方程的另一个根是;若两根之和为一7 ,则m=，这时方程的5两个根为.4、已知3寸2是方程x2+mx+7=0

8、的一个根，求另一个根及 m的值。5、求证：方程(m2+1)x2 2mx+(m+4)=0没有实数根。6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是 15和1+/5。7、设Xi,X2是方程2x2+4x 3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值:(X 1 + 1)(X2+1)X2X1+ X1X22(3) Xi + X 1X2+2 X 1m=&如果X2 2(m+1)x+m+5是一个完全平方式，则 9、方程2x(mx 4)=x2 6没有实数根，则最小的整数 m= 10、已知方程2(x 1)(x 3m)=x(m 4)两根的和与两根的积相等，则m= 11、设关于X的方程X2 6x+k=0的两根是m和n

9、且3m+2n=20则k值为2 1(4) X1X2 +- X 112、设方程4x2 7x+3=0的两根为Xi,X2，不解方程，求下列各式的值：22' I(1) X 1 +X2(2)X1 X2(3) JXj 寸 X213、实数S、t分别满足方程19s 2+ 99 s + 1= 0和且19+ 99 t + t 2= 0求代数.st + 4s + 1 ” 式的值。14、已知a是实数，且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程x2+2ax+11IQ QQ2 (a x a 1)=0 有无实根?15、求证：不论k为何实数，关于x的式子(x - 1)(x 2) k2都可以分解成两个 一次

10、因式的积。16、实数K在什么范围取值时，方程kx2 2(k 1)x (k 1)0有实数正根?训练(一)1、不解方程，请判别下列方程根的情况；(1)2t 2+3t 4=0,; (2)16x2+9=24x,;(3)5(u 2+1) 7u=0,;2、若方程x2 (2m 1)x+m2+1=0有实数根，则m的取值范围是_p= ,q=3、一元二次方程x2+ px+q=0两个根分别是2+J3和2(3，则4、 已知方程3x2 19x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是 , m=;5、若方程x2+mx- 1=0的两个实数根互为相反数，那么 m的值是_6、m,n是关于x的方程x2-(2m-1)x+m2+1=0

11、的两个实数根，则代数式nm=。7、 已知关于x的方程x2 (k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k的值； &如果a和P是方程2x2+3x 1=0的两个根，利用根与系数关系，求作一个一11兀二次方程，使它的两个根分别等于a+= 和P +；Pa9、已知a,b,c是三角形的三边长，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形10. 取什么实数时，二次三项式 2x2(4k+1)x+2k 2- 1可因式分解.11.已知关于X的一元二次方程m 2 X 2+ 2(3m) x + 1= 0的两实数根为a,B,1 1若8=+B，求S的

12、取值范围。1、已知方程2、如果关于训练(二)X2 3x+1=0 的两个根为 a , P，贝Ua + B =, aB =；X的方程X2 4x+m=0与X2 X 2m=0有一个根相同，则 m的值3、已知方程2x2 3x+k=0的两根之差为22，则k=4、若方程x2+(a2 2)x 3=0的两根是1和一3，贝U a= ;5、 方程4x2 2(a-b)x ab=0的根的判别式的值是;6、 若关于X的方程x2+2(m 1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为;7、已知Pv0,qv0，则一元二次方程X2+px+q=0的根的情况是_8以方程X2 3x 1=0的两个根的平方为根的一元二

13、次方程是9、设X1,X2是方程2x2 6x+3=0的两个根，求下列各式的值：(1)X 12X2+XiX22丄 1X1X210. m取什么值时，方程 2x2 (4m+1)x+2m 1=0(1)有两个不相等的实数根，(2)有两个相等的实数根，(3)没有实数根;11.设方程x2+ px+q=0两根之比为1:2，根的判别式 =1，求p,q的值。12.是否存在实数k，使关于x的方程9x2 (4k 7)x 6k20的两个实根X1,X2，3X2满足0 =2，如果存在，试求出所有满足条件的k的值，如果不存在，请说明理由。元二次方程根与系数关系专题训练主编：闫老师1、如果方程ax3、以2和3为根的一元二次方程(

14、二次项系数为1)是 4、如果关于X的一元二次方程x2+72x+a=0的一个根是172，那么另一个根 是， a的值为。 5、如果关于X的方程x2+6x+k=0的两根差为2,那么k= 6、已知方程2x2+mx- 4=0两根的绝对值相等，贝U m= 元二次方程Px2+qx+r=0(P工0)的两根为0和 1,则q ： p= &已知方程X2 mx+2=啲两根互为相反数，贝U m= 9、已知关于X的一元二次方程(a2 1)x2 (a+1)x+1=0两根互为倒数，则 a=。 已知关于X的一元二次方程mX 4x 6=0的两根为X1和X2，且X1+X2= 2，则m ，(X 1 +x2) " J

15、。 已知方程3x2+x 1=0,要使方程两根的平方和为 一，那么常数项应改已知方程5x2+mx- 10=0的一根是一5,求方程的另一根及m的值。已知2+73是X2 4x+k=0的一根，求另一根和k的值。证明：如果有理系数方程X2+px+q=0有一个根是形如A+JB的无理数(A、B均 为有理数)，那么另一个根必是A JB。+bx+c=0（a工0）的两根是xi、X2, 那么 X1+X2=, X1 X2=2、已知x1、x2是方程2x2+3x 4=0的两个根,另P么：xi+X2=；X1 X2=1Xi1X2x2i+x22=；（X1+1）（X2+1）=X1 X2 I7、为。12、已知一元二次方程的两根之和

16、为5,两根之积为6,则这个方程为13、若a、p为实数且|a + B 3 I +(2 ap ) 2=0，则以a、p为根的一兀 次方程为。(其中二次项系数为1)14、已知关于X的一元二次方程X2 2(m 1)x+m2=0o若方程的两根互为倒数, m=;若方程两根之和与两根积互为相反数，则 m=15、已知方程x2+4x 2m=0勺一个根a比另一个根p小4，则a =; m=。16、已知关于X的方程X2 3x+k=0的两根立方和为0，则k=17、已知关于X的方程X2 3mx+2(m- 1)=0的两根为X1、X2，且丄 X1 X2m=1&19、20、21、是22、23、0关于X的方程2x2 3x+

17、m=0当时，方程有两个正数根；当m_时，方程有一个正根，一个负根；当 m时，方程有一个根为0o 若方程 X2 4x+m=0<X2 X 2m=G有一个根相同，贝U m=求作一个方程，使它的两根分别是方程x2+3x 2=0两根的二倍，则所求的方 程为。一元二次方程2x2 3x+1=0的两根与X2 3x+2=0的两根之间的关系24、。25、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根 的绝对值大？（1）x243x 50,（2）x224643026、已知X1和X2是方程2x2 3x 1=0的两个根，禾U用根与系数的关系，求下列各 式的值：33X 1X2+X1X 2 27、已

18、知xi和X2是方程2x2 3x 1=0的两个根，禾U用根与系数的关系，求下列各 式的值：1X212X128、已知X1和X2是方程2x2 3x 1=0的两个根，禾U用根与系数的关系，求下列各 式的值：（X 21 x22）229、已知X1和X2是方程2x2 3x 1=0的两个根，禾U用根与系数的关系，求下列各 式的值：X1 x230、已知X1和X2是方程2x2 3x 1=0的两个根，禾U用根与系数的关系，求下列各 式的值：2XaX131、已知X1和X2是方程2x2 3x 1=0的两个根，禾用根与系数的关系，求下列各 式的值：52251- X 厶 2+X1232、求一个一元二次方程，使它的两个根是

19、2+和2屁33、已知两数的和等于6,这两数的积是4,求这两数。34、造一个方程，使它的根是方程3x2 7x+2=0的根；（1）大3; （2）2倍；（3）相反 数；倒数。35、方程x2+3x+m=（中的m是什么数值时，方程的两个实数根满足：（1） 一个根比 另一个根大2； （2） 一个根是另一个根的3倍；（3）两根差的平方是17。36、已知关于x的方程2x2（m1）x+m+1=（的两根满足关系式xi -X2=1,求m的值 及两个根。37、a、p是关于X的方程4x2 4mx+m+4m=（的两个实根，并且满足9（1）（1） 1，求m勺值。10038、已知一元二次方程8x2 (2m+1)x+m- 7=

20、0,根据下列条件，分别求出 m勺值:(1) 两根互为倒数；(2) 两根互为相反数；(3) 有一根为零；有一根为1;1(5)两根的平方和为一。6439、已知方程x2+mx+4=0X2 (m 2)x 16=0有一个相同的根，求m的值及这个 相同的根。40、已知关于x的二次方程X2 2(a 2)x+a2 5=0有实数根，且两根之积等于两 根之和的2倍，求a的值。41、已知方程x2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3,两根的平方和 等于29,求b、c的值。42、设：3a2 6a11=0, 3b2 6b11=0且ab,求a4 b4的值。43、试确定使x2+(a b)x+a=O的根同时为整数

21、的整数a的值。44、已知一元二次方程(2k 3)x2+4kx+2k 5=0,且4k+1是腰长为7的等腰三角形 的底边长，求：当k取何整数时，方程有两个整数根。45、已知：a、p是关于X的方程x2+(m 2)x+1=0的两根，求(1+ma + a 2)(1+m B +B 2)的值。46、已知xi，x 2是关于X的方程X2+px+q=0的两根，xi+1、X2+1是关于x的方程 x2+qx+p=0的两根，求常数P、q的值。47、已知XI、X2是关于x的方程x2+n2x+n=0的两个实数根；yi、y2是关于y的方程 y2+5my+7=0勺两个实数根，且xi yi=2,x2 y2=2,求m n的值。48

22、、关于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根，x2+2(a+m)x+2a m2+6m- 4=0有大于0且小于2的根。求a的整数值。49、关于x的一元二次方程3x2 (4m2 1)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根 的倒数和，求m的值。50、已知：a、p是关于X的二次方程：(m 2)x2+2(m 4)x+m 4=0的两个不等 实根。(1)若m为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值； 若a 2+P 2=6时，求m勺值。51、已知关于X的方程mX2 nx+2=0两根相等，方程x2 4mx+3门=啲一个根是另一 个根的3倍。求证：方程X2 (k+n)x+(k m)=C

23、H定有实数根。52、关于X的方程X2 2mx 2=0,其中m n分别是一个等腰三角形的腰长和底4边长。(1)求证：这个方程有两个不相等的实根;(2) 若方程两实根之差的绝对值是 8，等腰三角形的面积是 12，求这个三角形 的周长。53、已知关于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有两个实根X1和X2(x i工X2)，在数轴 上，表示X2的点在表示X1的点的右边，且相距P+1,求P的值。54、已知关于X的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为a、p，且两个关于x的方程 x2+( a +1)x+ P 2=O与x2+( P +1)x+ a 2=0有唯一的公共根，求a、b、c的关系式。B,55、如果

24、关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+n2+3=0有两个实数根a、 那么(a 1)2+( B 1)2的最小值是多少？56、已知方程2x2 5mx+3n=的两根之比为2 : 3,方程x2 2nx+8m=0勺两根相等 (mnM 0)。求证：对任意实数k，方程mx+(n+k 1)x+k+1=0恒有实数根。F57、(1)方程x2 3x+m=0勺一个根是，则另一个根是 若关于y的方程y2 my+n=0勺两个根中只有一个根为0,那么m n应满 足。58、不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积2X +3x+1=0;59、不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积 3x2 2x 1=O;60、不

25、解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积 2x2+3=0;61、不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积2x2+5x=0。62、已知关于X的方程2x2+5x=n的一个根是一2,求它的另一个根及 m勺值。63、已知关于X的方程3x2- 1=tx的一个根是一2,求它的另一个根及t的值。64、设X1, X2是方程3x2-2x- 2=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式 的值：(1) (x 1-4)(x 2-4)；13X24+xi4X23;1 1(2) xXi X23x23xi 3+x23。65、设xi, X2是方程2x2 4x+1=0的两个根，求| xi -X2 I的值。66、已知方程x2+

26、mx+12=0勺两实根是X1和X2，方程x2 mx+n=啲两实根是xi+7 和X2+7,求m和n的值。67、以2，3为根的一元二次方程是( )+x+6=0 x+6=0+x6=0x6=068、以 3， 1为根，且二次项系数为 3的一元二次方程是 ( )2x+3=0+2x3=06x 9=0+6x9=02x+3=02x 3=069、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是 ()+2x 3=0+2x+3=0 70、以一3, 2为根的一元二次方程为_ 以匹，込为根的一元二次方程为2 2以5, 5为根的一元二次方程为 以4,-为根的一元二次方程为 471、已知两数之和为一7,两数之积为12,求这两个数。72

27、、已知方程2x2 3x 3=0的两个根分别为a, b,利用根与系数的关系，求一个 一元二次方程，使它的两个根分别是：(1)a+1空普a b 73、一个直角三角形的两条直角边长的和为 6cm面积为2 cm?,求这个直角三角 形斜边的长。74、在解方程x2+ px+q=0时，小张看错了 P,解得方程的根为1与3;小王看错了 q,解得方程的根为4与 2o这个方程的根应该是什么？,另一个根75、关于x的方程x2 ax 3=0有一个根是1,则a= 是o76、若分式x一竺卫的值为0,则x的值为x 1()A. 13或 1B.3C.D.77、若关于y的一元二次方程y2+my+n=0勺两个实数根互为相反数，则()=0且 nA 0=0且 m> 0C.m=0且 nW 0=0 且 0 78、已知xi, X2是方程2x2+3x 1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各 式的值：(1)(2x 1 3)(2x 2 3)；(2)x i3X2+xiX23o79、已知 a2=1 a, b2=1 b,且a b,求(a 1)(b 1)的值。另一个根80、如果x=1是方程2x2 3mx+1=(的一个根，贝U m=为81、已知 m+m- 4=0, 2n1 4 0 ,mn为实数，且m 1，则m nn2x+15