函数方程的解法(论文)

1、巢湖学院2012届本科毕业论文（设计）本科毕业论文（设计）题目 浅谈函数方程的解法 院（系） 数学系 专业 数学与应用数学 学生姓名 学号 本科毕业论文(设计)诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。本人签名：日期：13浅谈函数方程的解法摘 要众所周知，在数学之中有两类性质截然不同的方程，其中一类如我们中学学过的代数方程、三角方程等等，他的解

2、只是个别数值；而另一类如我们在数学分析中接触过的隐函数方程，她的解则是函数，后一类我们统称为函数方程。函数方程在我们平常生活中占有举足轻重的低位，所以研究函数方程的解法具有非常重要的价值和必要。函数方程的解法千变万化，十八世纪初期，欧拉、拉格朗日等数学大师就已经用函数方程解决问题了，著名数学家柯西就曾对下面的几个函数方程做出了深入的研究，并且创立了一种求解函数方程的重要方法：柯西法。函数方程的探究不仅可以拓展我们对函数的理解，它在许多涉及数学的科学中有着重要的作用，所以有必要对函数方程进行较为深入和广泛的探讨，以便对函数方程有着全面的认识和理解。本文着重探讨了函数方程的一些重要和常见解法，简单

3、的列举一些实例来阐述一系列方法并加以总结。关键词：函数方程；赋值法；数学归纳法；柯西法；解法Discussion on the function equationAbstract As everyone knows, in mathematics has two kinds of different equations, one of a kind as our high school algebra equations, trigonometric equation and so on, his solution is just the individual value; and anoth

4、er class as we in the mathematical analysis in contact with the implicit function equation, her solution is a function, we collectively referred to as function equation. Function equation in our daily life has play a decisive role in the low, so the study of function equation solution value is very

5、important and necessary. Function solution of the equation the myriads of changes, the early eighteenth Century, Euler, Lagrange, master of mathematics has been using function equation to solve the problem, the famous mathematician Cauchy had the following function equation to make an in-depth study

6、, and created a solution of function equation important method: Cauchy method. Function equation of inquiry can not only broaden our understanding of the function, it is involved in numerous mathematical science plays an important role, so it is necessary to function more thorough and wide-ranging d

7、iscussion, in order to function equation has a comprehensive knowledge and understanding. This paper focuses on the function equation of some important and commonly used method, simple enumerate some of examples of a series of methods and tries to sum up.Key words: Function equation, Assignment meth

8、od, Mathematical induction, Cauchy method, Solution目 录前言一解函数方程的方法（一）换元法 1（二）待定系数法 2（三）递推法 3（四）赋值法 5（五）解方程组法 5（六）数学归纳法 7（七）不动点法 8（八）参数法 9（九）柯西法 10（十）解微分方程法 11结束语 13参考文献 13前言如果函数在其定义域内的一切值均满足所给函数方程，那么称是该函数方程的解。函数方程的解是一个或几个，甚至无限多个函数。有关函数方程方面的 题目大致可分为三类：确定函数的表达式；确定满足函数方程的函数的性质；确定函数的值。在中学的数学竞赛中也经常遇到与函数方程

9、求解相关的问题,这类问题的分析,主要是直接求解某一给定的函数方程或根据数学实际问题写出函数方程后再求解其它拓展问题。求解这类题型是有一定难度的,这些困难同函数方程本身有关,因为暂时探索出解函数方程的方法还不全面,大量的函数方程至今仍未解出，本文重点介绍从函数方程中抽象、概括出来的几类常用的函数方程解法的分析。一.函数方程的解法(一)、换元法 换元法又叫定义法，它是已知复合函数及复合函数的内函数，求外函数，从而求出函数的表达式的一种方法。是解函数方程的基本方法之一。也就是对函数方程进行适当的变量代换，得到一个新的函数方程，从而得到原方程的解。例1.1 设且，求解。 解：不妨设，则有 故 所以有例

10、1.2 已知，求； 解：由题可知，令，则有 由此可得 化简之 故有 在使用换元法时，最好要要遵循有利于标准化有利于运算的基本原则，还需注意的是换元后勿忘还元，而且换元后要注意变量范围的确定，一定要使新变量的取值范围相对应于原变量的取值范围，不能扩大也不能缩小。（二）、待定系数法当我们知道函数的类型及函数的某些特征，我们可以用待定系数法来解更为方便简洁。其基本解题步骤为（1）确定所求问题含待定系数的解析式；（2）根据恒等条件，列出含待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数。例2.1 对任意R，函数满足且试求函数方程的解解：根据方程的结构，我们先求出形如的解，其中是待定常数将代入方程得：即所以，

11、解得再设原方程的解为其中A，B是常数由得A=-2，B=3故原方程解为；例2.2 若 为多项式函数，求 解：为多项式函数，而 、不改变多项式的次数故为二次函数，不妨设 有 故可有 故即为所求，也可以验证它满足题目中的条件需求。一般的，已知函数的类型（有理函数、指数函数、对数函数、幂指函数等等）或函数的某些特征（如已知函数在某一特殊点的值或周期性、对称性等），都可以考虑是否可以用待定系数法来求解。 （三）、递推法函数方程的定义在正整数上时,且方程是以递推数列形式给出时,我们可以使用递推法求解之.从要求解的函数方程出发，从简单情况入手，逐步递推，求出方程的解。递推法对于实数集上的函数方程未必适用。递

12、推法涉及到两个方面的内容，一类是以递推表达式为特征的函数方程形式，另一类是以递归数列表达的函数方程形式。例3.1 定义在正整数上的函数,且 求 解: 令,有即取得 累加得 所以例3.2 已知是定义在自然数集上的函数，满足，且对任意，有：，求.解 由已知的函数方程，令，且，得 化简后，可得令累加得 将代入，经过化简可得故即为所求。若是定义在自然数集上的函数.(确定常数) , 如果存在一个递推(或递归) 关系,当知道了前面项的值 由可唯一确定的值, 那么称为阶递归函数. 递推法(或递归)是解决这类函数方程的重要方法.（四）、赋值法给方程中的某些元素赋上具体的数值，再运用数值的运算或推理来解决问题，

13、我们称此法为赋值法。例4.1已知函数满足条件且对于任意的 有 (1) 试求 解：令代入(1)中我们可以得到 (2) 令代入(1)又可得 (3) 令代入(1)我们有 (4) (2)(3)(4)得 即为所求， 常见赋特殊值有0,1，-1等；此方法的特点是当函数方程的自变量多于一个时，将其中的一个或几个自变量用一些特殊值代入，常常可以简化方程，或求得未知函数在某些特殊点的值。这样就能够得到以简取萦、化难为易的效果。（五）、解方程组法将函数方程的变量进行适当的变量代换或几次变量代换，得一个或多个新的函数方程，然后与原方程联立，解方程组中的未知函数，即可得出所求的函数方程的解。例5.1 设是一切实数有定

14、义的函数，且 （1） 求解 ：基本思想: 消去，求解 令，代入式得 （2） ，代入式得： （3） 又： （4） 由方程组（2）（3）（4）得 即：例5.2 设，且 （1）求.解： 从原方程的形式可以看出，作变量代换是有作用的，代入（1）得，把这个式子中的改写成，得 （2） 再令，代入（1）中可得把换成，可得（3）把（1）、（2）、（3）联立，就可以看成是一个关于的三元一次方程组。（1）+（2）-（3）解之，可得 例5.3 求解函数方程（1） 解：令，我们可以得到 于是（1）即为（2）将（2）中的换为可得 （3） 将（3）中的换为可得 （4） 同理可得到 （5） 得 故有（六）、数学归纳法 函数

15、迭代是特殊的函数复合形式，在现代数学中有一定的地位，通常我们使用数学归纳法来求解。例6.1 ，若 （1）求； ； ， 猜想 （2） 设时（2）成立，则当，我们可以得到 。 故即为所求。数学归纳法常用来求定义在自然数上函数方程的解。所以数学归纳法的原理通常被规定为自然数公理。由自然数集N的任何非空子集必有最大数。产生第二数学归纳法：（1）若F(1)成立 （2）假设时F(n)成立，若F(R+1)也成立，则F(n)成立； （七）、不动点法设函数的定义域为，若存在使得成立，则称为函数的不动点，不动点是由荷兰数学家不劳威尔提出的。用图像的话来说，不动点就是意味着函数与直线有公共点且此公共点为不动点。运用

16、函数的不动点求解函数方程也是一个重要且有效地数学方法。例2.7.1 已知：且满足：（1）对任意的，有；（2）。 求函数。解： 令则很显然是的不动点，不动点集为 令得，得故，所以有（舍去） 也就是是的不动点，从而，所以下证是的惟一不动点，假设 若，由得当时，故 与已知矛盾 若，由得得，且，也矛盾 故只有一个不动点。本题的求解关键是求出不动点，然后得出此数列为等比数列，进而求出它的通项公式。不动点定理时应用十分广泛的定理，很多数学问题都可以用到它的理论来解题，函数方程的解也不例外，同样可以应用它，而且有时会觉得比其它方法更为简单。（八）、参数法如果函数未知数较多，为求解简便，有时可增设一些参数（也

17、叫辅助未知数），以便更好地沟通数量关系，这叫设参数法；运用参数法函数方程其基本步骤为：引入参数，消去参数，再求解；例 8.1 已知有 ，求 解：设所求函数的参数方程为消去参数就可以得到 从而有例 8.2 解函数方程。解 设所求函数参数方程为，消去参数就可以得到 又因为或，故所以（九）、柯西法在函数的发展史上，许多函数方程的建立和解法都是由柯西提出的。比如柯西最早对方程加以研究，我们称此方程为柯西方程，由数学归纳法可知： ；当时，有（1）时，取，则 （设） 时，（2）时， ，即时，（3）时，取，则 即时，（4）时，构造满足 则 综合（1）、（2）、（3）、（4）可得柯西方程在解函数方程具有非常重

18、要的作用，许多函数方程都可以通过适当方法转化为柯西方程来求解；例9.1 用柯西法解解 因函数的定义域是正实数.设 代入原方程得，令可得，它是我们上面说的柯西方程故 代入可得不妨设，则有故，故所求函数为一个对数函数；柯西解法的基本步骤是：依次求出对于已知自变量的所有自然数值、整数值、有理数值，直至所有实数值的函数方程的解。（十）、解微分方程法 采用微分法也是解函数方程的一个重要的方法，对有些函数方程可以采取对其中某一变量求导的方法来求解。例10.1 已知，求。 解： 令 可得 由导数的定义对于有 即，两边对积分可得，又，故 所以即为所求。例10.2 设连续，存在且，并且对于任意的都有 （1） 求。解：在（1）中令得，所以 于是有 故，令有即，两边积分令，则，所以故即为所求。结