(完整版)必修五不等式知识点

1、不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质:对称Tabba(2)传递性：a b,b c a c加法法则：a ba c b c； a b,c da c b d（同向可加）乘法法则：a b, c 0ac bc ；a b, c 0 ac bca b 0, c d 0ac bd （同向同正可乘）第7面一，-11（5）倒数法则：a b,ab 0 一一 a b（6）乘方法则：a b 0an bn(n N* 且 n 1)开方法则：a b 0na n b(nN * 且 n 1)2-应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差一一变形一一判断符号一一结论）3、应

2、用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2 bx c 0或ax2 bx c 0 a 0的解集：22设相应的一兀一次方程 ax bx c 0 a 0的两根为x1、x2且x1 x2,b 4ac,则2,cax bx c 0(a 0)的解集xx1x x22、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：(1)分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；(2)将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇 穿过偶弹回；(3)根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集,2_ 3_如：x 1 x 1 x 201

3、是I禺重根3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。f(x)f(x)f (x)g(x) 00 f(x)g(x) 0;0g(x)g(x)g(x) 04、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式f xA在区间D上恒成立，则等价于在区间 D上f x .Amin若不等式f xB在区间D上恒成立，则等价于在区间 D上f x max B(三)线性规划1、用二兀一次不等式(组)表不平面区域二元一次不等式

4、Ax+By+C> 0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线 Ax+By+C=0同一侧的所有点(x, y),把它的坐标(x, y)代入Ax+By+C,所得 到实数的符号都相同， 所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0, y。，从Ax3+By+C的正负即可判断Ax+By+C> 0表示直线哪一侧的平面区域 .(特殊地，当 Cw 0时，常把 原点作为此特殊点) 3、线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于

5、x、y的一次不等式，故又称线性约束条件.线性目标函数：关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数.线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.可行解、可行域和最优解 ：满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线ax+by = 0,在

6、可行域内平移参照直线求目标函数的最优解a b（四）基本不等式ab 21,若a,bC R,则a2+b2>2ab,当且仅当a=b时取等号.2 .如果a,b是正数，那么a-b JOb（当且仅当a b时取""号）.2变形：<:a+b > 2'ab ； ab<，当且仅当a=b时取等号.23 .如果a,bC R+,a b=P（定值），当且仅当a=b时,a+b有最小值2匹;S2如果a,bC R+,且a+b=S（定值），当且仅当a=b时,ab有最大值 4注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求 它们的积的最小值，

7、正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的重要条件“一正，二定,4.常用不等式有：（1），匕直三222选用）；（2） a、b、c R, a b c ab若 a b 0, m 0 ,则 b b-m a a mTab 彳2彳（根据目标不等式左右的运算结构 a bbc ca （当且仅当a b c时，取等号）；（3）（糖水的浓度问题）不等式主要题型讲解（一）不等式与不等关系 题型一：不等式的性质1.对于实数a,b,c中，给出下列命题:b;1:bb;则a0,b22右ab,贝1Jacbc ；若a b 0,则a2 abba右a b 0,则； a ba右c a b 0,则c a其中正确的命题是22右acb

8、c，贝1J a21b ; 右a b 0,则一a若a b 0,则ab11； 右 a b,-, c bab题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）（二）解不等式题型三：解不等式- 4z+l >02 .解不等式2 + 1/+4>03 .解不等式（x 1）（x 2）2 0。5.不等式ax2 bx 124 .解不等式110的解集为x|-i vx<2,贝U a=, b=6 .关于x的不等式ax b 0的解集为（1,），则关于x的不等式ax b 0的解集为 x 27 .解关于x的不等式ax2 （a 1）x 1 0题型四：恒成立问题8 .关于x的不等式a x2+ a x+1 > 0 恒成立，则a的取值范围是 9. 若不等式x2 2mx 2m 10对0 x 1的所有实数x都成立，求m的取值范围.1910.已知 x 0, y 0 且一 一 x y1,求使不等式x y m恒成立白实数 m的取值范围。(三)基本不等式ab aq2题型五：求最值11 .(直接用)求下列函数的值域(1) y= 3x 2+-12(2) y=x+ 12xx12 .(配凑项与系数)(1)已知x 5,求函数y 4x 21的最大值。44x 5(2)当口 < X < 4时，求y x(8 2x)的最大值。求函数yX25x 5的值域。x2