极限运算法则两个重要极限

1、v1.0可编辑可修改复习旧课：1.无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系导言：前面我们介绍了极限的定义，为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限2.3极限的运算法则2.3.1极限的性质定理1：(唯一性)如果极限？SkipRecordIf.?存在，则它只有一个极限。即若？SkipRecordIf.?,?SkipRecordIf.?，贝U?SkipRecordIf.?定理2:(有界性)若极限？SkipRecordIf.?存在，则函数？SkipRecordIf.?在？SkipRecordIf.?的某一空心邻域内有界定理3:(局部保号性)如果？SkipRecordI

2、f.?,并且？SkipRecordIf.?(或？SkipRecordIf.?),则在？SkipRecordIf.?的某一空心邻域内，有?SkipRecordIf.?(或？SkipRecordIf.?)。推论若在？SkipRecordIf.?的某一空心邻域内有？SkipRecordIf.?(或?SkipRecordIf.?)，且？SkipRecordIf.?，贝U?SkipRecordIf.?(或?SkipRecordIf.?)。2. 3.2极限的运算法则定理1：设？SkipRecordIf.?,?SkipRecordIf.?，则(1) ?SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf

3、.?(2) ?SkipRecordIf.?若？SkipRecordIf.?.(常数)，则?SkipRecordIf.?(3) ?SkipRecordIf.?证明因为？SkipRecordIf.?,?SkipRecordIf.?,利用2。2定理，它们可以分别写为：?SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?,?SkipRecordIf.?讲述我们先介绍极限的运算法则证明从略。以上性质只又?SkipRecordIf.?的情况加以叙述，其它的形式也有类似的结果。其中？SkipRecordIf.?均为无穷小量，则有：(1)?SkipRecordIf.?+?SkipRecordIf.?

4、=A+B+?SkipRecordIf.?由2.2定理知？SkipRecordIf.?仍为无穷小量，所以？SkipRecordIf.?+?SkipRecordIf.?以A+B为极限.即？SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?.容易证明：？SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?例1求？SkipRecordIf.?解?SkipRecordIf.?=15例2求？SkipRecordIf.?解?SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?例3求？SkipRecordIf.?解因为？SkipRecordIf.?=0根据无穷大于无穷小的关系所以有？Sk

5、ipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?注意：求极限时，必须注意每一步的根据，否则会出现错误。例4求？SkipRecordIf.?解?SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?例5?SkipRecordIf.?解?SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?例6求？SkipRecordIf.?解?SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?结论：?SkipRecordIf.?设？SkipRecordIf.?为多项式当？SkipRecordIf.?时，?SkipRec

6、ordIf.?因为？SkipRecordIf.?为多项式，所以极限值等于在?SkipRecordIf.?处的函数值因为？SkipRecordIf.?为两个多项式商的极限，且在x=1处分母的极限不为零，所以极限值等于函数值。在x=-1处，分母为零，9精品文档不能直接计算极限。例7求？SkipRecordIf.SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.小结:1 .极限运算法则.求极限方法）设？Skip Record If.?为多项式，则? Skip Record If.在x=-1处，分母为零,不能直接计算极限。2） ? SkipIf.?,则? Ski

7、p RecordIf. ? ”型，先设法RecordIf.?、？SkipRecordIf.?均为多项式，且？SkipRecord约去非零因子。?SkipRecordIf.3）若？SkipRecordIf.?，贝U?SkipRecordIf.用因式分4）若？SkipRecordIf.?为“？SkipRecordIf.?”型时,解找出“零因子”。）结论：？SkipRecordIf.）若？SkipRecordIf.?有界，则?SkipRecordIf."?SkipRecord）若？SkipRecordIf.?为“？SkipRecordIf.?”型时,一般是通If.?”型，用无穷分或有理化后

8、再处理。小量分出法，即分子、分母同时除以x的最高2.4两个重要极限2.4.1判别极限存在的两个准则准则1（夹逼定理）设函数？SkipRecordIf.?在？SkipRecordIf.?的某一次募。邻域？SkipRecordIf.?内满足?SkipRecordIf.且有极限？SkipRecordIf.?,则有？SkipRecordIf.准则2如果数列？SkipRecordIf.?单调有界，则？SkipRecordIf.?一定存在。2.4.2两个重要极限1,极限？SkipRecordIf.?例8计算？SkipRecordIf.?解?SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?Ski

9、pRecordIf.?=?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?=1例9计算？SkipRecordIf.?解?SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?例10计算？SkipRecordIf.?解?SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?结论：?SkipRecordIf.?例11计算？SkipRecordIf.?解?SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?例12求？SkipRecordIf.?解?SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?S

10、kipRecordIf.?例13求？SkipRecordIf.?解错误做法：？SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?1正确做法：？SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?2.极限？SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?例14计算？SkipRecordIf.?先通分，再计算。解？SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?例15计算？SkipRecordIf.?解？SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?例16计算？SkipRecordIf.?解=?SkipRecordIf

11、.?=?SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?例17计算？SkipRecordIf.?解？SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?例18计算？SkipRecordIf.?解？SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?例19?SkipRecordIf.?解令？SkipRecordIf.?所以？SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?小结：1.?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?；?SkipRecordIf.?=1；?SkipRecordIf.?=?SkipRecordIf.?2.?SkipRecordIf.?;?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?=1；?SkipRecordIf.?=1作业P271(3)(6),P311(1)(6)(9)2(1)(3)一般?SkipRe