2.1-用常数变易法求解二阶线性非齐次方程ppt课件

1、9-6 用常数变易法求解二阶线性非齐次方程用常数变易法求解二阶线性非齐次方程 与欧拉方程的解法与欧拉方程的解法1. 常数变易法常数变易法 0yp x yq x y假设假设 的两个线性无关的特的两个线性无关的特解是解是 与与 1x 2,x则其通解为则其通解为 1122.CxCx12,C C是任意常数是任意常数. 1122.y xCxxCxx令令代入代入 yp x yq x yf x 11221122.yCxxCxxCxxCxx令其为令其为0 11221122.yC xxCxxC xxCxx得得 1122.CxxCxxfx它的系数行列式正是它的系数行列式正是 与与 的朗斯基行列式的朗斯基行列式 2

2、x 1x 0W x 所以方程组有唯一的一组解所以方程组有唯一的一组解 12,CxCx积分求出积分求出 12,CxCx 1122.y xCxxCxx的解的解 yp x yq x yf x即得出非齐次方程即得出非齐次方程 1122112200CxxCxxCxxCxx即即 例例.0) 1( yyxyx的通解为,21xeCxCY 的通解.解解: 将所给方程化为将所给方程化为:1111 xyxyxxy已知齐次方程求2) 1() 1( xyyxyx),()(21xvexvxyx令建立方程组: 021vevxx121xvevx, 121xexvv解得积分得xexCvxCv) 1(,2211故所求通解为) 1

3、(221xxeCxCyx) 1(221xeCxCx解法解法 欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程代换可化为常系数微分方程.( (其中其中naaa21,为常数为常数)特点特点 各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同量的方次数相同2. 欧拉方程欧拉方程01)1(11)(yayxayxayxnnnnnn0a作变量变换作变量变换, )(ttexex或将自变量换为将自变量换为, tdtdydtyddtyddxyd232233333,tedtdydxdtdtdydxdy,tedtdydtyddxyd

4、22222,te代入原方程代入原方程11,2,ktkexkk 化为常系数微分方程化为常系数微分方程101110nnnnnnd ydydybbbb ydtdtdt其中其中 为确定的常数为确定的常数.01,nb bb,ln xt 2122,1,kkktkkkd ydyd yd yCCCekndxdxdxdx .ln5322xxyyxyx 求解方程求解方程解解例例这是一个欧拉方程这是一个欧拉方程,ln xt 令令dxdtdtdyy 则则,1tyx dxdtyxyxytt 112),(12ttyyx 代入原方程得代入原方程得,542tttteyyy (1),tex 和和(1)对应的齐次方程为对应的齐次

5、方程为, 054 yyytt(2)(2)的特征方程为的特征方程为, 0542 rr特征根为特征根为, 1, 521 rr(2)的通解为的通解为.251tteCeCY 设设(1)的特解为的特解为,)(2*tebaty ),22()(2*1baateyt 则则),444()(2*baateyt 代入原方程比较系数得代入原方程比较系数得将将)( ,)( ,* yyy,99tbat , 0,91 ba,912*ttey 得得(1)的通解为的通解为.912251tttteeCeCy 故原方程的通解为故原方程的通解为.ln912251xxxCxCy 小结小结欧拉方程解法思路欧拉方程解法思路变系数的线变系数的线性微分方程性微分方程常系数的线常