数据包络分析

1、data envelopment analysis, dea l数据包络分析是著名运筹学家a.charnes 和 w.w. cooper 于1978年在“相对效率评价”概念基础上发展起来的一种新的统计分析方法。已经成为管理科学领域一种重要而有效的分析工具。l可以对企事业单位作出各种有效性评价 。l特点是评价的相对性 ，所得结论是与其他同类型的被评对象相比较而言的。 主要的技术工具是线性规划模型。l决策单元(decision making units, dmu)：l 一个有投入有产出的生产或经济组织。l 注1：dmu的概念是很宽泛的。厂商、城市或地区、行业、部门、学校、医院，甚至某个产品（在评价

2、产品质量时） 都是。l 注2 ：不同的研究，投入和产出会 不同。l注3：在评价时，把同类型的dmu放在一起。所谓同类型的dmu，是指3个相同： 1 目标和任务；2 外部环境；3投入产出指标。l注4 ：可以把一个企业一年四季度或者不同的年份看作是不同类型的dmu。l投入=输入；产出=输出。l生产活动：dmu的输入输出指标组成的向量。l 输入指标：l 输出指标：l 生产活动：tmxxxx),.,(21tsyyyy),.,(21),(yx.,.,2 , 1),.,(),.,(2121njyyyyxxxxtsjjjjtmjjjjl一些生产活动之集合（在一定的技术条件下，理论上存在的反映生产过程中投入和

3、产出关系的可能性的集合）称为生产可能集，表示为：l注1：生产可能集的具体形式是由公理体系确定的，不同的公理体系确定的生产可能集不相同。l注2：生产可能集是研究问题的一个平台。| ),(生产出来可由 xyyxt l1 平凡公理：设已有 个生产活动l则l平凡公理是说，已知的生产活动理所当然属于生产可能集。njtyxjj,.,2, 1,),(nnjyxjj,.,2, 1),(l 2 凸性公理。如果 和 是生产可能集中的生产活动，则l 也是生产可能集中的生产活动。l这里 是任意一个实数。l凸性公理是说，原投入的凸组合作为新的投入，则原产出的相同凸组合作为新的产出是可能的。),(yx)1(,)1(yyx

4、x),(yx1 ,0l3 无效性公理。设 是生产可能集中生产活动，若l l若l无效性公理是说，以较少的产出和较多的投入是可能的。),(yx）也是；则（yxxx,）也是。则（,yxyy l4.1 锥性公理。如果 是生产可能集中的生产活动，则l也是。这里 。l锥性公理是说，若以原投入的 倍进行投入，则可以生产原产出的 倍。),(yx),(kykx0kkkl4.2 收缩性公理。如果 是生产可能集中的生产活动，则l也是。这里 。l收缩性公理是说，生产活动 是可以缩小规模的。),(yx),(kykx10 k),(yxl4.3扩张性公理。如果 是生产可能集中的生产活动，则l也是。这里 。l扩张性公理是说，

5、生产活动 是可以扩大规模的。),(yx),(kykx1k),(yxl5 最小性。生产可能集是满足上述公理1-3和4.1，4.2，4.3三个公理之一的所有集合的交集。l l当 个dmu已知时，利用观测值l可构造经验生产可能集。l当满足公理1,2,3,4.1和5时，有l当满足公理1,2,3,和5时,有l当满足公理1,2,3,4.2和5时,有l当满足公理1,2,3,4.3和5时,有njyxjj,.,2 , 1),(,.,2,1,0,|),(11njnjjjjjjnjyyxxyxtn1,.,2, 1,0,| ),(111njjnjnjjjjjjnjyyxxyxt1,.,2, 1,0,| ),(111n

6、jjnjnjjjjjjnjyyxxyxt1,.,2, 1,0,|),(111njjnjnjjjjjjnjyyxxyxtl有3个dmu的输入输出情况如下：ldmu 1 2 3l输入 1 3 4l输出 2 3 1l有效生产活动：投入 与所应达到的最大产出 组成的生产活动 叫有效生产活动。l生产函数：所有有效生产活动中，x与y的函数关系叫生产函数。),(yxxyl这是由charnes, cooper,和rhodes给出的。l 思路：考虑 个同类型的 dmu ，其生产活动已知，且l .,.,2, 10),.,(0),.,(2121njyyyyxxxxtsjjjjtmjjjjnl将这 个dmu看成一个大

7、系统，任取其中一个，作为评价对象。例如，取第 个，记为 dmuj0。l 构造一个新的dmu，它的输入输出是这 个dmu的非负线性组合，于是，它的生产活动为：njnjjjjjyx11),(n0jnl上式中的系数 待定。l对于评价对象dmuj0来说，让新dmu的投入(与dmuj0投入相比)不增加，看其（新dmu ）产出是否能增加，于是有下述基于输出的模型 ：0joccrdnjzyyxxzfjnjjjjnjjjj,.,2 , 1, 0max1010l让新dmu产出不减少，看投入能否减少，得到基于输入的模型 ：njyyxxfjnjjjjnjjjj,.,2,1,0min1010iccrdl按照基于输入的

8、ccr模型 ：对于评价对象dmuj0来说，如果新dmu的产出不减少，其投入能够减少，则dmuj0不是有效的，反之，若新dmu的投入不能减少，则dmuj0是有效的。l按照基于输出的ccr模型也有类似结论。iccrdl基于输入和基于输出的评价结论相同。l最优值 l最优值之间的关系：l最优解记为*1z1, 1*z),.,(*2*1*nl以基于输入的模型 为例。ldmuj0为弱dea有效(ccr)的充要条件是：ldmuj0为dea有效(ccr)的充要条件是：l 并且每组最优解中松弛变量和剩余变量的值都为0.l 1*1*iccrdl设 是基于输入 的最优解和最优值，则l 是基于输出 的最优值；l 是基于

9、输出 的最优解。*,*1z*iccrdoccrdoccrdl有4个dmu 的输入输出情况如下:ldmu 1 2 3 4l输入1 2 1 1 2.4l输入2 1 2 4 2.4l输出 1 1 1 1 l评价dmu1: l解得: ，所有松弛和剩余变量都为0,故dmu1有效. .4,3,2,1,014.24224.22min432143214321jfj1*. 4 , 3 , 2 , 1, 0124 . 2424 . 22min432143214321jfj. 4 , 3 , 2 , 1, 0144 . 2424 . 22min432143214321jfj. 4 , 3 , 2 , 1, 014

10、. 24 . 2424 . 24 . 22min432143214321jfjldmu1和dmu2为dea有效（当然也弱有效）.l对于dmu3,有 l第2个松弛变量最优值为2,故dmu3为弱dea有效且非dea有效.ldmu4的最优解为: l故dmu4为非弱dea有效.)0,0,1,0(,1*185),0,0,21,21(*ldea有效: 若新dmu要保持dmuj0的产出水平,则它的各项投入均不能减少,说明dmuj0是dea有效的.l弱dea有效:若新dmu要保持dmuj0的产出水平,则它的部分(不是全部)投入可以减少,说明dmuj0是弱dea有效.l因为 ，说明各项投入都可以减少，同时产出保

11、持不减少。例7.2中的dmu4，因为l l各项投入都可以减少为dmu4的投入的5/8，而产出保持不变。l注：可按照 的值对非弱dea有效的dmu排序。185*1*l退化情形下，判断是否有效在技术上有难度。于是引入下述模型 （基于输入）.0,0,.,2, 1,0)(min1010ssnjysyxsxsesefjnjjjjnjjjjttidl其中l 为非阿基米德无穷小量。l l l tstmtsssssssse),.,(),.,(,)1,.1 ,1(21210610., 0, 00一般取有对，是说：为非阿基米德无穷小量注：nana. 0,4 , 3 , 2 , 1, 0144 . 2424 . 2

12、2)(min121143212432114321121sssjssssssfjl设 为非阿基米德无穷小， 为最优解，则有l(1)若 则dmuj0不为弱dea有效;l(2)若 则dmuj0仅为弱dea有效; l (3)若 则dmuj0为dea有效;*,ss, 1*0, 1*sesett0, 1*sesett)0 , 0 , 1 , 0(, 1*0, 2, 0*1*2*1sssl满足平凡公理1，凸性公理2，无效性公理3，锥性公理4.1和最小性公理5的生产可能集由下式唯一确定：,.,1, 0,| ),(11njyyxxyxtjnjjjnjjjccrl有3个dmu 的输入输出情况如下:l dmu 1

13、2 3 l输入 1 3 4 l输出 2 3 1 l生产可能集 如下：ccrtxy(3,3)(1,2)(4,1)l有效生产活动构成的“平面”称为有效生产前沿面，也叫相对有效（前沿）面。l引入 的对偶模型 ：iccrdiccrpstmtttjtjtjtjtprrxnjyxyv,0,01,.2, 1,0max00l1 若对偶模型 最优解存在 ，且 l则dmuj0为弱dea有效。l2 若对偶模型 最优解存在l并且l l则dmuj0为dea有效。iccrp1max0*jtpyv1max0*jtpyv0,0*tticcrpl一般地，记 为dmuj的效率评价指数。 l当然 为dmuj0的效率评价指数。l实际

14、上是投入产出效率：每单位投入的产出数。jtjtjxyh0jtyl设dmuj0为dea有效（ccr），则称超平面l为 的有效生产前沿面，其中0*yxttccrt.0, 0*的最优解是模型iccrttpl有4个dmu 的输入输出情况如下:l dmu 1 2 3 4l输入1 1 3 3 4l输入2 3 1 3 2l输出 1 1 2 1l考虑dmu1，模型为：0,1302402330303max121211211211211211pvl最优解为：l l故 dmu1为dea有效，一个有效生产前沿面为ll1:l因为dmu2也有效，经计算可有另一个有效生产前沿面l2: l注：dmu1,3在l1上，dmu2,

15、3在l2上。, 1, 0)61,21(*1*ptv06121121yxx02161121yxxldmu3也有效，故还有有效生产前沿面：ll3(与l1相同):ldmu4非弱有效，解相应的 得：l有效生产前沿面是经济学中生产函数向多产出情况的推广。判断一个dmu是否有效，本质上是判断该dmu是否位于生产可能集的有效生产前沿面上。02112141121yxxiccrd,53),0,51,53,0(*l考虑模型 ，设其最优解为：l令l dmuj0在生产可能集 的有效生产前沿面的“投影”。id*,ss*00*0*0syysxxjjjj为称),(00jjyxccrtl1实际上l2 “投影”在有效生产前沿面

16、上，因而是有效的。l3 若dmuj0本身是有效的，则l4 若dmuj0是弱有效的，则njjjjjnjjjyyxx1*0*10,0000,jjjjyyxx*00*00,syysxxjjjjl例7.3 dmu4的“投影”在l2上。l对dmu4解 得：l故l于是 在l2上。 id, 0),0 ,51,53, 0(,53*1*2*1*sss, 1),56,512(44yx),(44yxl作业1：ldmu 1 2 3 4l x 4 6 10 5l y 4 6 8 4l求dmu3,4的“投影” 。l作业2：ldmu 1 2 3 4l x 1 1 3 5l y 2 1 4 4l求dmu2的“投影” 。l以上

17、的有效性概念是基于ccr模型的。类似地， 可由bcc模型建立有效性概念。lbcc模型是由banker, charnes和cooper 于1984年创立的。l与ccr模型相比，多了一个约束条件。l记为 ：obccdnjzyyxxzfjnjjnjjjjnjjjj,.,2 , 1, 01max11010l记为 ：ibccdnjyyxxfjnjjnjjjjnjjjj,.,2 , 1, 01min11010l记为 ：l这是满足平凡公理，凸性公理，无效性公理和最小性公理而唯一确定的。l注：这里缺少了锥性公理。生产可能集中多了参数之和为1的条件。bcct,.,1, 1, 0,| ),(111njyyxxyx

18、njjjnjjjnjjjlfg模型是由fare 和grosskopf于1985年创立的。基于输入的模型记为 ：ifgdnjyyxxfjnjjnjjjjnjjjj,.,2,1,01min11010l记为l这是满足平凡公理，凸性公理，无效性公理、压缩性公理和最小性公理而唯一确定的。,.,1, 1, 0,| ),(111njyyxxyxnjjjnjjjnjjjfgtlst模型是由seiford 和thrall于1990年创立的。基于输入的模型记为 ：istdnjyyxxfjnjjnjjjjnjjjj,.,2,1,01min11010l记为 ：l这是满足平凡公理，凸性公理，无效性公理、扩张性公理和最小

19、性公理而唯一确定的。stt,.,1, 1, 0,| ),(111njyyxxyxnjjjnjjjnjjjl基于这三个模型（弱）有效性概念与基于ccr的（弱）有效性概念类似。l l4个模型的基础-生产可能集不同。l l一个dmu，在不同的模型之下， （弱）有效性可能不同。l l例7.4 3个dmu的输入输出指标如下：ldmu 1 2 3l x 1 3 4l y 2 3 1l结论1：l(弱)dea有效性（ccr） (弱) dea有效性（fg）和 (弱) dea有效性（st） l结论2：l(弱) dea有效性（fg）或者(弱) dea有效性（st） (弱) dea有效性（bcc）l l例7.5 4个

20、dmu的相关数据如下：ldmu 1 2 3 4l x 1 1 3 5l y 2 1 4 4l弱dea有效(ccr)：dmu1linput-弱dea有效(bcc)：dmu1,2,3loutput-弱dea有效(bcc)： dmu1,3,4linput-弱dea有效(fg)：dmu1,3loutput-弱dea有效(fg)： dmu1,3,4linput-弱dea有效(st)：dmu1,2loutput-弱dea有效(st)： dmu1l l4个dmu：分别为普通医院、大学医院、乡村医院和州立医院。 l3个投入指标：x1专职医护人员的数量；x2物资投入量；x3可利用床位天数。l4个产出指标：y1病

21、人接受医疗服务的天数；y2 病人接受非医疗服务的天数； y3护士培训天数；y4实习医师培训天数。 dmu输入项 1 2 3 4l x1 285.2 162.3 275.7 210.4l x2 123.8 128.7 348.5 154.1l x3 106.72 64.21 104.1 104.04l dmul输出项 1 2 3 4l y1 48.14 34.62 36.72 33.16l y2 43.10 27.11 45.98 56.46l y3 253 148 175 160l y4 41 27 23 84l njyyxxfjnjjnjjjjnjjjj,.,2,1,01min110107

22、.2754 .2107 .2753 .1622 .28543215 .3481 .1545 .3487 .1288 .12343211 .10404.1041 .10421.6472.106432172.3616.3372.3662.3414.48432198.4546.5698.4511.271 .43432117516017514825343212384232741432114321. 4 , 3 , 2 , 1, 0jjl l10.2123 l2 0.2604 l3 0 l4 0.5273 l5 0.9052 l *1*2*3*4*l1c1 35.5525 l2c2 174.2643 l

23、3c3 0 l4c4 0 l5c5 0 l6c6 1.6154 l7c7 37.0271 l8c8 0 l1 0 l2 0.6280 l3 0 l4 0.5128 l5 0.8999 *1*2*3*4*l 1 对于ccr模型来说，一个决策单元是否有效，按基于输入和基于输出得到的结论相同。l l 2 对于bcc模型来说，一个决策单元是否(弱)有效，按基于输入和基于输出得到的结论不一定相同 。fg，st模型情况与bcc模型类似。l西方经济学的生产理论研究的是生产者的行为，其中一个重要的规律就是规模经济。l 规模：指的是要素投入的数量的大小。l规模经济：在技术水平不变的情况下，要素投入扩大对产量的影

24、响：规模收益递增、不变和递减，甚至产量绝对减少“拥挤”现象。l西方经济学中，要素的投入数量是生产函数中的自变量，而所能达到的最大产量是其因变量：l一般地，可假设有m种投入，则生产函数记为：l或者记为：),(enklfq ),.,(21mxxxfy tmxxxxxfy),.,(),(21其中l以原投入 的 倍进行投入：l产出为：l产出是否同倍数增长呢？要比较l结论：) 1( kk),.,(21mkxkxkxkx ),.,()(21mkxkxkxfkxf)()(xkfkxf与x；，则规模收益是递增的若)()(xkfkxf；，则规模收益是不变的若)()(xkfkxf；，则规模收益是递减的若)()(x

25、kfkxfl例7.6 三个决策单元，根据定义研究规模收益。ldmu 1 2 3l x 1 3l y 2 4l由单产出向多产出过渡需要做许多工作，是一个复杂的过程。l生产函数 有效生产前沿面l拓展规模收益递增、递减或不变的概念l给出明确的判别条件l与生产函数的表述相似，我们这部分的研究全部用基于输出的模型。l设dmuj0为弱dea有效(bcc)，则l（1） dmuj0为规模收益递增的充要条件是： dmuj0为弱dea有效(st)， 但不为弱dea有效(fg)；l （2） dmuj0为规模收益递减的充要条件是： dmuj0不为弱dea有效(st)， 但为弱dea有效(fg)；l （3） dmuj0

26、为规模收益不变的充要条件是： dmuj0既为弱dea有效(st)， 又为弱dea有效(fg)，即为弱dea有效(ccr)。l设dmuj0为弱dea有效(bcc)，且l为 的最优解，则l（1） dmuj0为规模收益递增的充要条件是l（2）dmuj0为规模收益递减的充要条件是*,zoccrd;1,11*njjz且;1,11*njjz且l（3）dmuj0为规模收益不变的充要条件是： l即dmuj0为弱dea有效（ccr）;1*zl如果只用bcc模型判定，需要引入 ：obccp100000, 0, 01,.,2 , 1, 0)min(eynjyxxttjtjtjtjtl设dmuj0为弱dea有效(bcc)，则l（1）dmuj0为规模收益递增的充要条件是 的所有最优解中都有 ；l（2）dmuj0为规模收益递减的充要条件是 的所有最优解中都有 ；l（3） dmuj0为规模收益不变的充要条件是