专题2 倍数与因数（数与代数）-2023-2024学年五年级上册数学寒假专项提升（北师大版）

专题2倍数与因数（数与代数）1、倍数与因数的意义。（1）假如a×b=c（a、b、c都是不为0的自然数），那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数，倍数与因数是乘法算式中积和乘数的关系，是相互依存的，没有倍数就不存在因数，没有因数也不存在倍数，不能单独说一个数是倍数或因数。（2）一个数的倍数大于或等于这个数的因数，一个数的因数小于或等于这个数的倍数。（3）只在自然数（0除外）的范围内争辩倍数和因数。2、求一个数的倍数的方法。用这个数分别乘1，2，3，4，…所得的积都是这个数的倍数。3、推断两个数成倍数关系的方法。（1）列乘法算式，用积推断。（2）列除法算式，假如商是整数且没有余数就是倍数关系，反之不是。4、2、5的倍数的特征。（1）个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。（2）个位上是0或5的数，都是5的倍数。推断一个数是不是5的倍数，就看这个数的个位上是不是0或5。（3）个位上是0的数，同时是2，5的倍数。5、偶数和奇数。像2，4，6，8，…这样的数，是2的倍数，叫作偶数。像1，3，5，7，…这样的数，不是2的倍数，叫作奇数。6、3的倍数的特征一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。7、同时是2、3的倍数的特征。个位上的数必需是0，2，4，6，8且各个数位上数字之和是3的倍数。8、同时是3和5的倍数的特征。个位上必需是0或5，且各个数位上数字之和是3的倍数。9、同时是2、3、5的倍数的特征。各个数位上数字之和是3的倍数，且个位上是0。10、找因数。（1）找一个数的全部因数，看哪两个数相乘等于这个数，这两个数就是这个数的因数。

（2）最小因数都是1。

（3）最大因数是这个数本身。（4）写出一个数的全部因数要按挨次从小到大写出，做到不重复，不遗漏。11、找质数（1）质数。一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。最小的质数是2。（2）一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。最小的合数是4。（3）推断一个数是质数还是合数的方法：看这个数的因数的个数，只有2个因数的数是质数，有3个或3个以上因数的数是合数。（4）100以内的质数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共25个。一、选择题1．（2023上·广东茂名·五班级统考期中）除0和1以外的自然数至少有（

）个因数。A．4 B．3 C．2 D．12．（2023上·广东深圳·五班级校考期中）a和b都是自然数，若a＋b＝c，下列说法正确的是（

）。A．假如a和b都是奇数，那么c也是奇数 B．假如a和b都是偶数，那么c也是偶数C．假如a和b都是质数，那么c也是质数 D．假如a和b都是偶数，那么c不是偶数3．（2023上·广东深圳·五班级统考期中）菜地里有几行蔬菜，每行棵数相等，萌萌数有83棵，每天数有87棵，乐乐数有89棵，数对的小伴侣可能是（

）。A．萌萌 B．每天 C．乐乐 D．都有可能4．（2023上·广东深圳·五班级校考期中）一个两位数，个位上的数既是偶数又是质数，十位上的数既不是质数也不是合数，这个数是（

）。A．21 B．42 C．12 D．145．（2022上·安徽阜阳·五班级校联考期中）《水浒传》是我国四大名著之一，在这部古典名著中，描写了108位梁山英雄。下面各数中，（

）不是108的因数。A．4 B．6 C．15 D．186．（2023上·辽宁·五班级期中）下面的说法中，正确的有（

）个。①2÷3≈②一个图形向右平移后，数一数它与原图形之间有几个空格，它就向右平移了几格。③循环小数3.243243…的循环节是243。④非0自然数除了质数，就是合数。⑤同时是2和3的倍数的数肯定是6的倍数。A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题7．（2023上·广东深圳·五班级统考期中）乐乐今年9岁，爷爷今年56岁，乐乐的爸爸今年的年龄是一个两位数的偶数，且十位数字与个位数字的积是12，爸爸今年（

）岁。8．（2023上·广东深圳·五班级校考期中）唐代诗人韦应物在《滁州西涧》中写道“春潮带雨晚来急，野渡无人舟自横”，渡口是以船渡的方式连接两岸交通。一名船工以摆渡为生，每日先从南岸驶向北岸，再从北岸驶向南岸，不断来回，摆渡51次后，小船在江()。（填“南岸”或“北岸”）9．（2023上·广东揭阳·五班级统考期中）爸爸给顽皮设置了4位的电脑开机密码。从最高位起，第一位是最小的质数，其次位是最小的奇数，第三位既是奇数又是合数，且这个四位数是9的倍数。这个开机密码是()。10．（2023上·山西吕梁·五班级统考期中）中国女篮在2023年大运会决赛中战胜日本队夺冠。队员韩旭得18分，10篮板9助攻。竞赛期间她穿的球衣号是比50小的两位数，是7的倍数。个位上的数字既不是质数也不是合数，她的球衣号码是()。11．（2023上·安徽阜阳·五班级统考期中）选出两个数字组成一个两位数，分别满足下面的条件。(1)质数：；(2)合数：；(3)同时是2和3的倍数：；(4)同时是2和5的倍数：；(5)同时是2，3和5的倍数：。12．（2023上·安徽阜阳·五班级校联考期中）爸爸买了一块手表送给茜茜，送之前想考考她。爸爸说：“手表的价格是一个以元为单位的三位数，这个三位数同时是3和5的倍数。”这块手表的价格至少是()元。三、作图题13．（2022上·陕西汉中·五班级统考期末）把下面的数按要求填入框内。1

2

17

29

36

37

41

57

61

78

84

100四、连线题14．（2022上·广东湛江·五班级统考期中）想一想，连一连。五、解答题15．（2023上·广东深圳·五班级校考期中）一只小船每天在河东岸、西岸运送乘客，从东岸到西岸或从西岸到东岸算一次。（1）一天，这只小船从东岸开头运送乘客。第5次是从东岸动身还是从西岸动身？第10次和第119次呢？（2）你发觉了什么规律？16．（2023上·广西桂林·五班级统考期中）在学校进行的队列表演中，五班级有56人参与。（1）假如排成长方形队列，那么有几种排法？（不能排成1行或1列）（2）假如要求排成的行数和列数相同，那么至少需要去掉多少人或者至少需要增加多少人？17．进行校际运会，运动员方阵进场，每个方阵有50人，假如每2人站成一排，能正好站成整排吗？每3人呢？每5人呢？18．（2023上·陕西咸阳·五班级统考期中）水果超市要将51千克葡萄装盒销售，有下面3种包装盒，选择哪种包装盒能正好装完？为什么？2千克/盒

3千克/盒

5千克/盒19．（2023上·广东深圳·五班级统考期中）明明、乐乐、每天三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是36岁，他们三人中最小的是多少岁？最大的是多少岁？20．（2023上·安徽阜阳·五班级统考期中）大熊猫是我国一级爱护动物，被誉为“活化石”和“中国国宝”。截至2022年底中国野生大熊猫的数量就藏在下面的提示中。中国野生大熊猎有多少只？①它是一个四位数。②它最高位上的数字是全部非零自然数的因数。③它百位上的数字比10以内最大的奇数少1。④它十位上的数字同时是2和3的倍数。⑤它个位上的数字是最小的合数。参考答案1．C【分析】自然数中，除了0和1之外不是质数就是合数，质数是只有1和它本身两个因数的数，合数是除了1和它本身外还有其他因数的数，所以除1以外的自然数至少有2个因数。【详解】依据分析可得：除0和1以外的自然数至少有2个因数。故答案为：C【点睛】解答本题要结合因数的特点及求法去分析问题。2．B【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。一个数，假如只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，假如除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。奇偶性：奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。【详解】A．如：1＋3＝4，4是偶数，所以假如a和b都是奇数，那么c是偶数，原题说法错误；B．如：2＋4＝6，6是偶数，所以假如a和b都是偶数，那么c也是偶数，原题说法正确；C．如：2＋3＝5，5是质数；3＋7＝10，10是合数；所以假如a和b都是质数，那么c可能是质数，原题说法错误；D．如：2＋8＝10，10是偶数，所以假如a和b都是偶数，那么c也是偶数，原题说法错误。故答案为：B3．B【分析】由题意可知，菜地里有几行蔬菜，且每行蔬菜的棵数相等，则蔬菜种植的行数是总棵数的因数，蔬菜的总棵数除了1和它本身至少还有一个因数，一个自然数假如只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；一个自然数假如除了1和它本身还有其它的因数，那么这个自然数叫做合数，据此解答。【详解】由分析可知：83和89是质数，87是合数，则数对的小伴侣可能是每天。故答案为：B4．C【分析】能整除2的数是偶数，只有1和自身两个因数的数是质数，据此确定个位上的数；1只有一个因数1，既不是质数也不是合数，据此确定十位上的数，即可解题。【详解】这个两位数十位上是1，个位上是2，因此这个两位数是12。故答案为：C5．C【分析】只在自然数（零除外）范围内争辩倍数和因数。假如a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。【详解】A．4×27＝108，4是108的因数；B．6×18＝108，6是108的因数；C．108÷15＝7……3，15不是108的因数；D．18×6＝108，18是108的因数。故答案为：C【点睛】关键是理解因数和倍数的含义，因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。6．A【分析】①依据除数是整数的小数除法的计算法则，先计算出2÷3的商，商是循环小数；循环小数是精确     数，商用循环小数表示时，要用等号“＝”连接算式；而“≈”是约等于，计算结果是近似数。②在平面内，将一个图形沿着某个方向移动肯定的距离，这样的运动叫做图形的平移。③一个循环小数的小数部分，依次不断重复消灭的数字，就是这个循环小数的循环节。④一个数，假如只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，假如除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。⑤2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除。【详解】①2÷3＝，原题错误；②推断图形平移的格数，要数对应点之间有几格，不是数平移后的图形与原图形有之间的格数，原题说法错误。③循环小数3.243243…的循环节是243，原题说法正确；④非0自然数除了质数和1以外，就是合数，原题说法错误；⑤同时是2和3的倍数的数肯定是6的倍数，原题说法正确。综上所述，说法正确的有2个。故答案为：A【点睛】本题考查循环小数的生疏、平移的意义、质数与合数的意义、2、3的倍数特征及应用。7．34【分析】依据题意，爸爸的年龄在9～56岁之间，且十位数字与个位数字的积是12，由于12＝2×6＝3×4，依据偶数的意义可知，26、62和34都是两位数的偶数，接受排解法，排解不符合题意和生活实际的年龄，确定爸爸今年的年龄。整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。【详解】12＝2×6＝3×426、62和34都是两位数的偶数；乐乐今年9岁，排解爸爸今年26岁，由于不行能17岁生孩子；爷爷今年56岁，62＞56，排解爸爸今年62岁；所以，爸爸今年34岁。8．北岸【分析】每日先从南岸驶向北岸，再从北岸驶向南岸，摆渡1次在北岸，摆渡2次在南岸，即摆渡次数为奇数时在北岸，摆渡次数为偶数时在南岸，据此填空。【详解】51是奇数，摆渡次数为奇数时在北岸，摆渡51次后，小船在江北岸。9．2196【分析】质数：一个数除了1和它本身，没有其它因数的数是质数；合数：一个数除了1和它本身，还有其它因数的数是合数；奇数：末尾是1、3、5、7、9的数是奇数，一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数，据此即可填空。【详解】由分析可得：第一位是最小的质数，最小的质数是2，所以第一位是2；其次位是最小的奇数，最小的奇数是1，所以其次位是1；第三位既是奇数又是合数，1、3、5、7都是质数，9是合数，所以第三位是9；且这个四位数是9的倍数；2191÷9＝243……42192÷9＝243……52193÷9＝243……62194÷9＝243……72195÷9＝243……82196÷9＝2442197÷9＝244……12198÷9＝244……22199÷9＝244……3所以这个开机密码是2196。10．21【分析】依据题意，先列举出50以内7的倍数，再结合“个位上的数字既不是质数也不是合数”，那么这个两位数的个位上是1，由此确定她的球衣号码。【详解】50以内7的倍数：7，14，21，28，35，42，49；且个位上的数字既不是质数也不是合数，那么这个两位数的个位是1；50以内7的倍数中只有21的个位是1，所以她的球衣号码是21。11．(1)61(2)80，86，81，68，60，18，10，16(3)60，18(4)80，60，10(5)60【分析】一个数，只要1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除以1和它本身还有其它因数的数，这样的数叫做合数；2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8；3的倍数特征：各个数位上的数的和是3的倍数；5的倍数特征：个位上是0或5；既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数；既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。同时是2、3、5的倍数特征：个位是0且每一位上数字之和能被3整除，据此解答。【详解】（1）质数有：61（2）合数有：80，86，81，68，60，18，10，16（3）同时是2和3的倍数：60，18（4）同时是2和5的倍数：80，60，10（5）同时是2，3和5的倍数：6012．105【分析】既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。【详解】既是3的倍数又是5的倍数的最小三位数是105，这块手表的价格至少是105元。13．见详解【分析】整数中能被2整除的数为偶数，不能被2整除的数为奇数；一个数，假如只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，假如除以1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，据此解答。【详解】由分析得：【点睛】解答本题关键是娴熟把握奇数、偶数、质数以及合数的意义。14．见详解【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了l和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。【详解】连线如下：关键是理解奇数、偶数、质数、合数的分类标准。15．（1）东岸；西岸；东岸（2）奇数次，从东岸动身，偶数次，从西岸动身【分析】第1次，从东岸到西岸；第2次，从西岸到东岸；第3次，从东岸到西岸；第4次，从西岸到东岸……，由此可知，当次数是奇数时，从东岸到西岸；当次数是偶数时，从西岸到东岸，据此分析。【详解】（1）5和119是奇数，10是偶数。答：第5次是从东岸动身，第10次是从西岸动身，第119次是从东岸动身。（2）当次数是奇数时，从东岸到西岸；当次数是偶数时，从西岸到东岸。16．（1）6种（2）去掉7人；增加8人【分析】（1）56人排成长方形队列，不能排成1行或1列，找出除了1和56以外的56全部的因数，写成乘法形式，即可得出不同的排法。（2）要求56人排成的行数和列数相同，最接近的排法有7×7或8×8，即49＜56＜64，由此得出至少需要去掉（56－49）人，或者至少增加（64－56）人。【详解】（1）56＝1×56＝2×28＝4×14＝7×8由于不能排成1行或1列，所以舍去1×56的排法。可以排成：①每行2人，排28行；②每行28人，排2行；③每行4人，排14行；④每行14人，排4行；⑤每行7人，排8行；⑥每行8人，排7行；答：有6种排法。（2）7×7＝49（人）至少去掉：56－49＝7（人）8×8＝64（人）至少增加：64－56＝8（人）答：至少需要去掉7人或者至少需要增加8人。17．能；不能；能【分析】个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数，各数位相加的和是3的倍数的数是3的倍数，个位是0或5的数是5的倍数；想正好站成整排，需要总人数是每排人数的倍数，则解决此题只需要验证50是否是2、3、5的倍数即可，用总人数除以每排的人数即可求出能站多少排，假如有余数就不能站成整排。【详解】50÷2＝25（排）50÷3＝16