线性代数期末考试试题汇总

1、线性代数复习题第一章排列-abbcbf111113151816132152182162133153183163246（2n ）135（2n 1的逆序数为-1-1ac-cdcf-1aede-ef4设四阶方阵A =4,计算排列X1-1-1-1A =(8, p1, p2, P3B| =1,则 IA + B =1 a?设A是n级方阵,若n级行列式Dn1+8113,A =d，中每一行的10 Dn =1+8212232.1.2n.3na -ba -b-1-1x-1-1a -bX1-1-1-1,B =（5严1川2川3）其中%, Pi均为四维列向量5设A是2005级矩阵，且= A，则A =，其中a1a2a0.

2、1 -an排列8584838281的逆序数为k为任意常数，则-kA =n个元素之和都等于零，则Dn =1 +an,其中 8182.8 0.11X -aX -aX a12 设 a 1三维列向量，已知行列式（1,«2 ,口3）=a ,则行列式(% +2ct2,«2 +2°3,«3 +2%)f0第二章0）1设矩阵A=10设A为三阶矩阵则矩阵A的秩R （A）=A为伴随矩阵贝y |A=(丄 A)4 8A* =4已知A=,A为伴随矩阵，则（AT"*I1设方阵A满足A2 + A 2E =0,证明A + E及A 3E都可逆,并求各自的逆矩阵.（2，求 A +

3、B。设三阶矩阵A, B满足AB = A + B，且A -已知距阵A=200，则：AL0-20 0 2贝 y： A 4 =L20 0.- 06l-1A*为A的伴随距阵,7设距阵A=8设A为3阶距阵,A =2.则 2A9已知距阵A满足等式： A2 + A-10E =0,证明（A-2E ）可逆，并且计算（A-2E）；1011设A是3级方阵， A为其伴随矩阵,求一A I 10A若n矩阵A,B,C满足ABC =E, E为n级单位矩阵，则 C-="001 '200、13已知矩阵 A =020，贝y A=14 .已知矩阵 A =0323k00075丿12，则A设方阵A满足 A2-3A-2E

4、=0,证明A可逆，并求出A-115.设A , B均为三阶方阵,A =3，B =-6，则 2AB16.设A为三阶方阵，A为A的伴随矩阵,A 一 1 川（4A宀3A217设n阶方阵满足A +2A+2E=0,试证：矩阵（A+3E ）可逆，并求（A + 3E）。18设A为三阶矩阵，A*为其伴随矩阵,11 “ *A=2 '则(A)-1 -10A319设方阵A满足A2 -A-2E = 0,证明A及A + 2E都可逆，并求各自的逆矩阵.220设n级距阵A满足：A +5A + 5E =0，证明A+3E可逆。21若n级距阵A可逆，证明 A*可逆,并求（A*）和A* 。22设A为三阶矩阵，A*为伴随矩阵,

5、A =1/8,则(1/3A)-8A*第三章1解矩阵方程（3'34、f2-rC1232）4丿*2问a, b为何值时,1 ax1线性方程组+ X2 + X3 = 3 X1 - bx2 +X3 =4 pa% +x2 +x3 =4（1 ）有唯一解，（2 ）无解，（3 ）有无穷多解，此时求出通解。13已知3阶矩阵A, B有A= 2L1 *-14设有线性方程组xi +X2 +ax3 =1xi + ax2 +X3 =a2axj + X2 + X3 = a（1 ）唯一解；（2）设A4渕矩阵，且-10,AB=A+2B,求矩阵 B;，请解答：a取什么值时，此方程组有无解；（3）有无限多个解，并在有无限多个

6、解时，计算方程组的通解;r（A）=2，又3级方阵-1，贝y r(AB)=<41-112-1非齐次线性方程组As>n= bs>1有唯一解的充要条件是1 设矩阵A, B满足A”BA = 2BA 8E，其中A = 00-22、，求矩阵B.1丿-1求矩阵A =的秩，并求A的一个最高级非零子式.<2=0：(1 + A)X1 +X2 +X310 A取何值时，线性方程组:Xj + (1 + A)X2 + X3 = 3，1X1 +X2 +(1 + 入)X3（1）有唯一解。（2）无解。（3）有无穷多解，并求通解。011已知矩阵A=0 A*为伴随矩阵，则（A* ）I56P 5x12已知矩阵

7、方程（13丿(2-313设矩阵A=1、1 ,且A大秩等于2,则a =3丿1/314设三阶矩阵A ,B满足关系式 ABA=6A+BA，且A=1/41/7丿,X 3 Z = 315确定k的值，使方程组42x+ky-z = -2 ,X +2y +kz =1(1 )有唯一解(2)无解 (3)有无穷解，在有无穷解的时候求出通解。16设三阶方阵A ,B满足关系式 ABA=8A + BA,其中A =17设方程组有无穷多解,第四章1设向量组X + 2y = 34x+7v + z=104 y问a,b为何值时，方程组：(1)无解;y - Z = b2x +3y +az = 4在有无穷多解时，求其通解.%(!)和向

8、量组氏邛2,，Pt( II)的秩分别是，求矩阵B。(2)有唯一解；(3)1和r2,且(I)中每个向量都可由(II)线性表示，则r1和r2的关系是2 一个n维向量组Ct2,，as(s>1)线性相关的充分必要条件是( (A).含有零向量；(B) .有两个向量的对应分量成比例(C) .有一个向量是其余向量的线性组合(D) .每一个向量是其余向量的线性组合3讨论向量组口1 =(1,1,0)T,a2 =(131)丁妙3 =(53t)T的线性相关性为 + X2 + X3 + X4 + Xs = 13x4+ 2xo+ x3+ x4-3x5=c4当c,d取何值时，线性方程组12345 有解？有解时，求出

9、它的通解.X2 +2x3 +2x4 +6X5 =35x1 + 4X2 + 3x3 + 3x4 - X5 = d5设ai2是某个齐次线性方程组的基础解系，问tti + jai-j 是否也构成该方程组的 基础解系？证明所得结论.6 设 bi =ai,b2 = ai +a2,，br =ai +a2 +ar，且向量组 ai ,a2,ar 线性无关，证 明：向量组bi,b2,，br线性无关。7 已知向量组 旳=(i2i,3)T,a2 =(4,i,5,6)T,a3 =(i,3,4,7)T，求出向量组的秩,并求出向量组的一个最大无关组，并把其余向量用这个最大无关组线性表示。8 已知向量 ai=(i,a,a

10、),a2=(1,b,b ),口3=(1,。, c ),a,b,c 互不相等，则行列式9 向量组 Pi =(1a a2,1 T,P2 =(1,b,b2,1匚 6 =(1,C,C2.,1T 必线性 关，无关)；io设Vi,V2,.,Vr是AX=0的基础解系，a i,%,.,J为A的n个列向量，若P+an,则方程组AX= P的通解为 11 计算向量 =(1,3,0,5，口2 =(1,2,1,4仁口3 =(1,1,2,3,口4 =(1,3,6,1的秩与一个极大无关组;12 已知向量组 仏 1S,小Pi,P2,P3 ,满足 Pi =1 +5 P2 =5 -ai,52 ,2,P3 =% +«2

11、+203；证明：仏1,«2,«3线性无关的充分必要条件为Pi,P2,P3线性无关;13已知矩阵An涌，满足直2 = E，证明：R(A+E)+R(A-E)=n ;V1、14 设 =12113113丿1It丿求t为何值的时，向量组(i)求t为何值的时，向量组 iJg 线性无关；«i523线性相关；(3)向量组a 1卫2,5线性相关时，将 业表示为a 1和a2的线性组合;15设a 0, a 1, a 2。a n丄为非齐次线性方程组 AX = b的n-r+1个线性无关的解向量，A的秩为r,证明：a 1 a 0 , a 2 - a 0 ,。，ot n_r a 0是对应的齐次

12、线性方程组的基础解系16 已知 Ct二0,1,2) , Ct 2 (0,1,1, ) , a 3=(1,1,0，a3) , ot4=(1,2,a,6),«5 =(1,1,2,3)T，问a为何值时，向量OmSJS 的秩等于3,并求出此时它的一个极 大无关组.17设 2,.n线形无关，试讨论向量组 +(/2,口2中03,.口 nJ n,an +0的线形相关性。18 设 A 为 n 阶矩阵，且 A2 + A = 0，证明：R ( A) + R(A+E)=n第五章1.已知f (x)= X2 -2x -1，方阵A的特征植为1 ,0,- 1,则f (A)的特征值为() (A)2,l,2;(B)-

13、2,-1,-2;(C)2,1,-2 ;(D)2,0,-2;2 二次型 f (X1,X2,X3,)=(k1)X12 +Ax2+(k+ 1)x2,当满足()时,是正定二次型.(A) A > -1；(B)A >0；(C) k>1；(D)扎二 1；0、3已知矩阵A= 0P与B= 0相似，求x与y.求一个正交变换x=Cy,将二次型f(X )=4皆+3x2 +3x3 + 2x2x3化为标准型1设三阶方阵A的特征值为-1,2,-4,则一A邛勺特征值为2时,f是负已知二次型 f(X1 ,X2,X3 )= -2x12 -2x：2 -x3 +2tX1X2 -2X2X3，则 t 满足7试求一个正交的相似变换矩阵，将矩阵 A =-2-2对角化。108已知A=1-176是正定矩阵，则x=9.6阶距阵A有特征值762, -1 , 3,则A2的特征值为,2A-3E10试求一个正交变换，化下列二次型为标准形f(X1, X2, X3 )= 2xj - 4x1X2 - 4x2X3 + x|11若矩阵A有特征值 人则f (A) =a0E+a1A+arA r有特征值12已知矩阵Aj-11、K00"24-2,B =020-3-35 >02>相似于B,且A=则 Z =13设三阶矩阵的特征值为 打=1,為二。，几3= -1对应的特征向量依