第四节基本不等式

1、基础相对薄弱，一轮复习更需疋视基础知识的强化和落实却即解析：选C当x>0时，x+x>2x = 2（当且仅当x= X时，等号成立）因为X, tI a + b1.基本不等式7abw2、基础知识批注一一理解深一点;在运用基本不等 I式及其变形时寸'*基本不等式成立的条件：定要验证等号是(2)等号业的条件：当且仅当a三b. * 2.算术平均数与几何平均数设a> 0, b>0，则a, b的算术平均数为 生尹，几何平均数为 便，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.3.利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0,则如果xy是定值P,那么

2、当且仅当x = y时，X+ y有最小值是2五简记：积定和最小).2如果X+ y是定值q,那么当且仅当x= y时，xy有最大值是 勺简记：租定积最大.和定积最大，积定和最小:两个正数的和为定值 时，则可求其积的最大 值；积为定值时，可求 其和的最小值.二、常用结论汇总一一规律多一点(1)a2 + b2>2ab(a, b R)，当且仅当a= b时取等号.（2）ab< 韵（a ,b R），当且仅当a= b时取等号. 苓匕> 弓b）（a，b R），当且仅当a= b时取等号.（4）b+ b>2（a, b R,且a, b同号），当且仅当a= b时取等号.三、基础小题强化一一功底牢一

3、点（一判一判（对的打“/,错的打“X”a U b（1）当 a>0, b>0 时，阿.（）两个不等式a2+ b2>2ab与成立的条件是相同的.（）（3）x> 0且y>0是y+ y> 2的充要条件.（）答案：（1）2（2）X （3） X（二）选一选1设a>0，则9a+a的最小值为（a解析：选C7因为a>0，所以9a + -2a111X- = 6，当且仅当9a="，即卩a=-时,aa319a + 1取得最小值a6.故选C.2.若 x>0，y>0，且2（x + y） = 36 ,则>/齐的最大值为（）B. 18C. 36D.

4、81解析：选A由2(x + y)= 36,得X+ y= 18，所以网w土|= 9,当且仅当x= y= 9时,等号成立.3.X>0 ”是1“ X+ - > 2”成立的(A .充分不必要条件B 必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件C.m2.时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m时面积取到最大值 25 m2.11 1同号，所以若x+ 2，则x>0，->0，所以x>0”是“x+ x>2”成立的充要条件，故选(三)填一填4.若实数x, y满足xy= 1，贝U x2 + 2y2的最小值为解析：X2+ 2y2= x2+ (寸2y)22xh/2y)= 2(

5、2,当且仅当x= y2y且xy= 1时等号成立.所以x2+ 2y2的最小值为2羽.答案：2(25.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10 x)m ,由题知 0VXV10，则面积 S= x(10 x)w f + 2_x= 25,当且仅当 x = 10 x，即 x = 5答案：25考点不宜整合太大，挖掘过深考点一利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的基本方法有拼凑法、常数代换法等3典例(1)已知a>2，则a + 一；的最小值是()a 2C . 23 + 2设0<x<3,则函数y= 4x(3 2x)的最大

6、值为(3)已知x>0,1 1y>0，且X+ 2y= 1,则"+ y的最小值为x y(4)已知x>0,y>0, x+2y+ 2xy= 8，贝U x + 2y 的最小值为解析(1)拼凑法2 2 + 2 =33因为 a>2,所以 a 2>0,所以 a+= (a 2) + 2 > 2a 2a 23+ 2,当且仅当a 2=，即a = 2+寸3时取等号.故选C.(2)拼凑法y= 4x(3 2x)= 22 x(3 2x) w 2(3 2xC卜9，当且仅当2x = 3 2x，即x = 3时,2 J 24等号成立.函数y= 4x(3 2x)(0<x<

7、;2勺最大值为2.(3)常数代换法/ x>0 , y>0,且 x + 2y= 1,-+ - = g + g = 1 + 2+ 2y+ 鈔 3+ 2 谓=3+ 2“ 当且仅当 爭=:且x + 2y= 1，即x=V2 1, y= 1 乎时，取得等号.1+1的最小值为3 + 2竝(4)拼凑法因为 x>0, y>0,所以 8 = X+ 2y+ x 2y< (x + 2y) +尹),令 x + 2y= t,则8W t+ 4,即卩 t2+ 4t 32>0,4解得t> 4或tw - 8,即 x + 2y> 4 或 x + 2y< - 8(舍去),当且仅当

8、x= 2y,即x= 2, y= 1时等号成立.答案(1)C(2)2 (3)3 + 22 (4)4解题技法基本不等式求最值的2种常用方法拼凑法拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值.利用基本不等式求解最值时,要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件常数代常数代换法解题的关键是通过代数式的变形,构造和式或积式为定值换法的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时,应把“ 1 '的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商题组训练1.（常数代换法 若a>0, b>0且2a + b= 4，则的

9、最小值为（）B.1Ovabw 2,解析：选B 因为a>0, b>0,故2a+ b> 2ab（当且仅当2a= b时取等号）. 又因为 2a+ b= 4, /2ab< 4?-ab2，故ab的最小值为2故选B.2.（两次基本不等式设x>0, y>0,且x+ 4y= 40,贝U Ig x+ Ig y的最大值是（）A. 40B. 10解析：选D 因为x+ 4y= 40,且x>0 , y>0,所以所以x + 4y> x 4y= 4xy.(当且仅当 x= 4y 时取 4&yw 40.所以 xyw 100.所以Ig x+ Ig y= Ig xyw

10、Ig 100= 2.所以Ig x+ Ig y的最大值为2.3.（拼凑法 设a> b> 0,则a2+ab+亦？）的最小值是（）解析：选 D a2 + at+ a(a- b)1 2 1 1 2 1=(a ab) +L)+ ab+ 曲a - ab)L)+2寸ax ab = 4，当且仅当a2 ab= a2抽且命二ab,即a=2, b=¥时取等号，故选 D.4.（常数代换法 已知x>0, y>0，且x+ 2y= xy,则x + y的最小值为 解析：由 E, y>0,x+2y=xy，得 x+y=1，所以 x + y= (x + y)£ +=3+ 2y+ x

11、> 3+ 2返 x y当且仅当x=/2y时取等号.答案：3+ 2迄考点二基本不等式的实际应用典例某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x),当年产量不足 80千件时，C(x) = 1x2+ 10x(万元)当年产量不小于 80千件时,3C(x)= 51x + 10000 1 450(万元).每件商品售价为 0.05万元.通过市场分析，该厂生产的X商品能全部售完.写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式.(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?解 因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为 0.05X

12、1 000X万元,依题意得:当 0VXV80 时，L(x)= (0.05 X 1 000x) gx2 + 10x J- 250 = x2 + 40x 250.当 x> 80 时，L(x) = (0.05 X 1 000x) (51x+ 讐1 450 250= 1 200 (x+營) 1x2 + 40x-250, 0VXV80, r 3所以L(x)= 1 ( 10 000、1 200 卜+X丿，X > 80.1 2当 0VXV80 时，L(x) = - 3(x 60) + 950.此时，当x= 60时，L(x)取得最大值 L(60) = 950万元.当 x> 80 时，L(x)

13、 = 1 200 (+ 10：00十 1 200 2 寸x 10 ：00= 1 200 200 = 1 000.即x = 100时，L (x)取得最大值1 000万元.由于 950V1 000,1 000所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为 万元.解题技法有关函数最值的实际问题的解题技巧(1) 根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2) 解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.题组训练1. (2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购

14、买 x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4X万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是解析：由题意，一年购买罟次，则总运费与总存储费用之和为6+ 4x=卜x 1 丿x= 240，当且仅当x = 30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.2. 某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为 1米,答案：30100X 型x+ 60 X 200= 800 X (+ 譽” 12 000 > 1225x + 12 000 = 36 000(元),当且仅当 x225x=x池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池

15、底建造单米时，可使总造价最低.价每平方米60元（池壁厚忽略不计）.则泳池的长设计为解析：设泳池的长为x米，则宽为200米，总造价f（x）= 400X + 2X（x>0），即x = 15时等号成立.即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低.答案：15课时跟踪检测1. （2019 长春调研）“ a>0, b>0 ”是“”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选D 当a>0, b>0时，号何，即卩abw ，当a = b时，abvf）不成立，故“a>0, b>0”不是“ abv件的充分条件.当 abvf严）时，

16、a, b可以异号，故a>0, b>0不一定成立，故 “a>0, b>0”不是“abvf）”的必要条件.故 “a>0,b>0 ”是“ abv件的既不充分也不必要条件，故选D.2.已知 x>0, y>0 ,且 x+ 2y= 2,则 xyA .有最大值为 1B .有最小值为1C .有最大值为2D .有最小值为解析：选 C 因为 x>0, y>0, x+ 2y= 2,所以x + 2y> 2仮知，即卩2 > 22xy, xy<寸,当且仅当x= 2y,即卩x= 1, y=舟时，等号成立.1所以xy有最大值，且最大值为ab的最小值

17、为（）1 23.若实数a, b满足1 + b=Uab，则A.V2C . 2迄解析：选c因为1+2=Qab，所以a ba>0, b>0,由何=a+討2眾=2唱 所以ab> 2/2（当且仅当b= 2a时取等号 所以ab的最小值为2亚),4.已知a>0, b>0 , a, b的等比中项是1 11且m= b+ a, n = a + b,则m + n的最小值11 解析：选 B 由题意知 ab= 1, m= b+ = 2b, n = a+?= 2a, / m+ n= 2(a + b)>/ab ab=4,当且仅当a = b= 1时取等号，故 m+ n的最小值为4.5 .

18、（2019长春质量监测）已知x>0, y>0，且4x+ y= xy,则x+ y的最小值为（）C. 12D . 16解析：选B 由4x+y=xy得4+1=1则 x+y=（x+y）（y+x卜节+x+1+4>曲+5= 9，当且仅当=y，即x= 3, y= 6时取“=”，故选B.y xy满足4x2 + 9y2 + 3xy= 30,则xy的最大值为（）6 .若正数x,4A-35B.5C.5解析：选D即 3015xy,30= 4x2 + 9y2 + 3xy> 2p36x2y2 + 3xy,所以xyw 2,当且仅当4x2= 9y ,即x =西，y=号成立.故xy的最大值为2.7.设2

19、x>0，则函数 y= x+ 2XR3的最小值为（）解析:y= X +丄3 =2x+1232= 0，当且仅X +0.故选A.x=2时等号成立.所以函数的最小值为&已知x>1,1y>1，且log2X, 4， log2y成等比数列，则xy 有（）A .最小值yJ2C 最大值迈B .最小值2D 最大值21 1解析：选 A x>1, y>1,. log2x>0, log2y>0.又/ log2X, 4, log2y成等比数列，二 一, 1=log2X Iog2y,.由基本不等式， 得log2X + log2y>log2X log2y= 2，当且仅当

20、 log2X= logzy1时取等号，故log2（xy）>1，即xy/2选A.9.当3< XV 12时，函数 y=3(12 X 的最大值为X2解析:yUX(L- X + 15X - 36X=(X+36+15<215=3,当且仅当X= 36,1卩X= 6时，ymax = 3.X答案：310. （2018南昌摸底调研）已知函数y= X + 先（>2）的最小值为6，则正数 m的值为X 2解析：/ x>2, m>0 , y= x 2 + -+ 2 > 2X 22+ 2= 2/m+2X = 2 #x 2+ 畅时取等号，又函数 y= X + -m-（x>2）的最小值为6,.2歸+ 2= 6，解得m= 4.X 2答案：4a 111. (2018天津高考)已知a, b R且a 3b+ 6 = 0,贝U 2a+ 8的最小值为解析：T a 3b+ 6 = 0,.a 3b= 6.2a+ 吉=2a+ 23b> 272a 2 3b=2羽= 2 X 2 3= 1.当且仅当a= 3b,la 3b+ 6= 0,即 =3,时等号成立.Lb= 112. (2018聊城一模)已知a>0, b>0,3a + b= 2ab，则 a+ b 的最小值为31解析：由 a&