三角函数经典讲义全集

m+5m+5m+52细节决定成败，态度决定命运，勤奋改变未来，智慧缔造神话。第页共12页18.三角形中的有关公式：内角和定理：三角形三角和为“，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余•锐角三角形o三内角都是锐角o三内角的余弦值为正值o任两角和都是钝角o任意两边的平方和大于第三边的平方.正弦定理：斗二丿二仝二2R(R为三角形外接圆的半径)•注意：①正弦定理的一些变sinAsinBsinC式:(i)a式:(i)a:b:c=sinA:sinB:sinC；sinA=,sinB=2Rb2R,sinC=_L；(iii)a=2RsinA,b=2RsinB,b=2RsinC；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用2R正弦定理，则务必注意可能有两解.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,cosA=b2+/—a2等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.2bc(4)面积公式：S=1ah=1absinC=1r(a+b+c)(其中r为三角形内切圆半径)•如AABC中,TOC\o"1-5"\h\z2a22若sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2C，判断AABC的形状(答：直角三角形)。特别提醒：(1)求解三角形中的问题时，一定要注意A+B+C=“这个特殊性：A+BcA+B=兀-C,sin(A+B)=sinC,sin=cos—；(2)求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如AABC中，A、B的对边分别是a、b，且A=60,a=^6,b=4，那么满足条件的AABCA、有一个解B、有两个解C、无解D、不能确定(答：C);在AABC中，A>B是sinA>sinB成立的条件(答：充要);在AABC中，(1+tanA)(1+tanB)=2，则logsinC=(答：-1);2在AABC中，a,b,c分别是角A、B、C所对的边，若(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB，则ZC=(答:60)；在AABC中，若其面积S=a2+b二c2，则ZC=°4书(答:30)；在AABC中，A=60,b=1，这个三角形的面积为締，则AABC外接圆的直径是(答：仝色)；3_iB+c在厶ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，a=、3cosA=—,则cos2=，b2+c232—细节决定成败，态度决定命运，勤奋改变未来，智慧缔造神话。

的最大值为（答:的最大值为（答:（8）在厶ABC中AB=1,BC=2，则角C的取值范围是（答：0<C<-）；6（9）设0是锐角三角形ABC的外心，若ZC=75，且AAOB,ABOC,ACOA的面积满足关系式S+S=吊，求ZA（。AAOBABOCACOA答：45）.19•反三角函数：（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：arcsina表示一个角，这个角的正弦值为a，且这个角在内（―1<a<1）。（2）反正弦arcsinx、反余弦arccosx正弦值为a，且这个角在的取值范围分别是［—1,牛［0,冗］，（耳牛.2222在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、l到l的角、l与l的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？TOC\o"1-5"\h\z1212jIjIjI（0,丁］,［0,丁］,［0,兀］，［0,I），［0,兀）,［0,怎）,［0,兀］•22220、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。如（1）若a,卩w（0,1），且tana、tan0是方程x2—5x+6=0的两根，则求a+卩的值（答：31）（2）AABC中，3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1，则ZC=（答：-）3（3）若0