理解练习知识题及参备考资料答案解析

1、第四章静态场的解练习题垃(120)1、设点电荷q位于金属直角劈上方，其坐标如右图所示,（1 ） 画出镜像电荷所在的位置（2） 直角劈内任意一点（X, y,z）处的电位表达式/q*;JZ* g ”冷(12Q)/ / HP丄丿(-1-2,0)(1-2,0)q* q图1卜1解：（1）镜像电荷所在的位置如图 1所示。（2）如图2所示任一点（X, y, z）处的电位为1V X1 2y2 22 z2J X12y222 z3J x12y222 z4J X12y222 z其中,2、两个点电荷 Q和 Q位于半径为a的接地导体球的直径延长线上，距球心均为2a3Qd2。d。证明镜像电荷构成一位于球心的电偶极子，且偶

2、极矩大小为证明：由点电荷的球面镜像法知，+ Q和一Q的镜像电荷Q,Q分别位于球内+ Q和一2aaQ连线上大小分别为Q，且分别距球心为 （分别位于球心两侧）。可见Q ,Q构DD成电偶极子，由电偶极距的定义式得偶极距的大小为:aa2 2a 3Qp ql Q 2。结论得证。DDD3、已知一个半径为 a的接地导体球，球外一个点电荷q位于距球心0为d处。利用镜像法求球外空间任意点的电位分布。解：由点电荷的球面镜像法可知，q的像电荷q必定位于球内，且在 q与球心0连线上,位置在距离球心设为 f处。建立直角坐标系，由边界条件（球）=0可取球面上两个特殊点A, B讨论。A, B是q与球心0连线所对应的直径与球

3、面的两个交点。由图示及点电荷的电位公式得:解此方程组得:所以任意场点(A)(B)a dq，fP（x, y）处的电位为:40(d a)q0(da)qo(a f)其中r,r分别是点电荷q和q 到场点q4 orOorP的距离。值分别为 r (X d)2y212,r (x f)2y2%。处有一点电荷q，用镜像法计算4、半径为a的不接地导体球附近距球心0为d（ d a）球外任一点的电位。解：由点电荷的球面镜像法可知,q的像电荷除了有 q（即导体球接地时对应的结果,2aaq -q，其位置为f ），还在球心处有另外一个镜像电荷q，以保证导体球面电dd势不为零的边界条件成立，且可知q所以任意场点P处的电位为:

4、其中r,r,r分别是点电荷q、q4 0rq4 0rq和q到场点P的距离（可在具体坐标系中表示出来）。5、接地无限大导体平面上半空间有一点电荷，电荷量为距导体平面为 h。（1 ）导出电位函数满足的方程并应用镜像法求出位函数的解。（2 ）求导体表面上感应面电荷密度，并证明总感应电荷为-解：（1 ）由题意知，导体平面上半空间无点电荷体分布，即0。故电位函数满足拉普拉斯方程 20。建立坐标系，令z 0为导体平面，已知点电荷位于z轴上，坐标为（0 ,0, h ）。边界条件为:（）0, （Z 0）0。则镜像电荷位于 z轴上（0, 0, h ）点，大小为-1.于是空间任意场点 P【坐标为（x,y,z）,】的

5、电位为已知点电荷1与镜像电荷-1共同产生的，其值为14 0r 4 /。其中r，r是场点分别到已知点电荷1与镜像电荷-1的距离，其值分别为r2x2 y2 (z h)2,rx2y2 (z h)2。（2）证明:由上题电位值可计算出P点的电场强度各分量的值份分别为-(+-),Ey-(40 r r40 r-(0由静电场的边界条件Dn s可得导体电荷面密度为：s0EZ2 (x2 y2h2)22所以导体表面上总感应电荷为:sdsdxdy(x2 y2 h2*2结论得证。6、如题图（a ）所示，在z 0的下半空间是介电常数为的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为h处有一点电荷q。求（1） z 0和z 0的两个

6、半空间内的电位;（2）介质表面的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷 q。0 tzqpo题 4.24图（a）1p n? R Rz 00 (EjzE2Z)z 0解：（1）在点电荷q的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷 替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题图 （b）、（c）所示）-q，0位于 z h0-q，0位于 z h上半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q共同产生，即q q14 0R 4 0R下半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q共同产生，即q q qR224R22 (0)Jr2(z h)2（2 ）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷

7、面密度为极化电荷总电量为0（z丄)z(0)hqz772 I 2 322 (0)(r h )3qppdSSp2 rdr(0)hq r dr z 2- 232 dr0 0(r h )(0)q7、如图示，一个半径为R的导体球带有电荷量为Q ,在球体外距离球心为D处有一个点Q（1）求点电荷q与导体球之间的静电力;电荷q。（2）证明当q与Q同号，且Q RD3 d (D2 R2)2成立时，F表现为吸引力。解：（1）导体球上除带有电荷量Q之外，点电荷q还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷。根据镜像法，像电荷q和q的大小和位置分别为（如题图所示）R ,Dq，d导体球自身所带的电荷Q则与位于球心的点电荷Q

8、等效。故点电荷q受到的静电力为F Fq q Fqqq4 0(D d)q FQ q_ q(D q)24 0D2q Q (RD)qRq4 0 DD D RDf(2)当q与Q同号，且F表现为吸引力，即F 0时，贝U应有Q (RD)qD2Rq2 02 2D D RD由此可得出Q RD3G (D2 R2)28、已知一点电荷q与无穷大导体平面相距为h，若把它移动到无穷远处需要作多少功?解：建立一维直角坐标系，坐标原点位于无穷大导体平面上。令已知点电荷q位于坐标轴上，距坐标原点为h。直接计算电场力做功为W qE ?dl其中电场是已知点电荷q所在空间的电场(由q以外的电荷所激发)，即镜像电荷q在此空间产生的电

9、场:；ey则要求的功为W qE?dl qEdy2q16 oh可见，电场力做负功，则外力克服电场力做功为q216 oh9、无限大导体平面上方有一电荷线密度为i的长直线电荷，电荷线与导体平面的距离为h，求此电荷线单位长度所受的力。l的镜像电荷为线解：由于连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理可知, 同样可以应用点电荷的平面镜像法求解。因此，长直线电荷密度为|，距离导体平面为h的电荷。已知线电荷|所受的力即镜像电荷i在此空间产生的电场E所施加。其电场为则长度为L的线电荷（总电荷QiL ）所受的电场力为F QE |L2 n 0（2h）|2L4 n oh故单位长度所受的力为:10、一导

10、体长槽两侧壁向y方向无限延伸且电位为零，槽底面电位为 U0，如图所示。求槽横截面内的电位分布。解：由于所求区域无源，且为二维场，电位函数x,y满足的拉普拉斯方程为:22x，y文边界条件为:U。利用分离变量法，令：x,y f x g y则得:U=Q0d2f dx2 d2g dy2 k；kifk/gk2根据边界条件0， x,y的通解可写为:x, yAnSinx any a再由边界条件,可得y 0AnSin nn 1x U0 a利用三角函数的正交归一性，求得An为:n 1,3,5则得槽内的电位分布为x,y叫nn 1,3,5. nx a11、如图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为 u。，求槽内的电位函数。解：根据题意，电位（xy）满足的边界条件为(0, y)(a, y) 01(x,0)(x, b)Uo根据条件和，电位(x,y)的通解应取为(x, y)AnSinh( n-y)sin( n-x)n 1aa由条件，有UoAnsinh( n-b)sin( n-x)n 1aa利用三角函数的正交归一性,两边同乘以sin(n x/a)，并