高三数学第一轮总复习 6.4 不等式的解法（1）

1、1第 六 章第 六 章不等式不等式26.4 不等式的解法不等式的解法考考点点搜搜索索一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法简单的一元高次不等式的解法简单的一元高次不等式的解法分式不等式的解法分式不等式的解法指数、对数不等式的解法指数、对数不等式的解法3高高考考猜猜想想 整式、分式不等式的解法是高考整式、分式不等式的解法是高考考查运算能力的重要途径，它们有时考查运算能力的重要途径，它们有时单独、直接地出现在选择、填空题中，单独、直接地出现在选择、填空题中，难度中、低档；有时与函数、三角函难度中、低档；有时与函数、三角函数、解析几何等知识综合，以解题工数、

2、解析几何等知识综合，以解题工具的面貌出现在一些大、小综合题中，具的面貌出现在一些大、小综合题中，需熟练掌握其解法需熟练掌握其解法.4 一、一元一次不等式的解法一、一元一次不等式的解法 基本形式：基本形式：axb. 当当a0时，时，x ;当当a0时，时，x ; 当当a=0时，若时，若b0，则，则_; 若若b0，则，则_. 二、一元二次不等式的解法二、一元二次不等式的解法 1.设不等式设不等式ax2+bx+c0(a0)对应的方程对应的方程ax2+bx+c=0有两个不等实根有两个不等实根x1和和x2，且，且x1x2，则此不等式的解集为则此不等式的解集为_.babaxxR(-,x1)(x2,+)5 2

3、.设不等式设不等式ax2+bx+c0(a0)对应的方程对应的方程ax2+bx+c=0有两个不等实根有两个不等实根x1和和x2，且，且x1x2，则此不等式的解集为则此不等式的解集为_. 注：注：(i)若不等式若不等式ax2+bx+c0(或或0)中，中，a0，可在不等式两边乘，可在不等式两边乘-1转化成二次项系数为转化成二次项系数为正的情况，然后再按上述正的情况，然后再按上述1，2进行求解进行求解. (ii)若方程若方程ax2+bx+c=0中，中，0时，可根据时，可根据函数函数y=ax2+bx+c的图象直接写出解集的图象直接写出解集. 三、简单的一元高次不等式的解法三、简单的一元高次不等式的解法(

4、x1，x2)6 一元高次不等式一元高次不等式f(x)0用根轴法用根轴法(或称或称区间法、穿根法区间法、穿根法)求解，其步骤是：求解，其步骤是： 1.将将f(x)的最高次项的系数化为正数；的最高次项的系数化为正数； 2.将将f(x)分解为若干个一次因式的积或分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；二次不可分因式之积； 3.将每一个一次因式的根标在数轴上，将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；从右上方依次通过每一点画曲线； 4.根据曲线显现出的根据曲线显现出的f(x)的值的符号变的值的符号变化规律，写出不等式的解集化规律，写出不等式的解集. 四、一般分式不等式的解法四

5、、一般分式不等式的解法7 1.整理成标准型整理成标准型 0(或或0)或或 0 (或或0)； 2.化成整式不等式来解：化成整式不等式来解： (1) 0 _; (2) 0 _; (3) 0 _; (4) 0 _.( )( )f xg x( )( )f xg x( )( )f xg x( )( )f xg x( )( )f xg x( )( )f xg xf(x)g(x)0f(x)g(x)0( ) ( )0( )0f x g xg x( ) ( )0( )0f x g xg x8 3.再讨论各因子的符号或按数轴标根再讨论各因子的符号或按数轴标根法写出解集法写出解集. 盘点指南：盘点指南：x;xR;(

6、-，x1)(x2，+);(x1，x2);f(x)g(x)0;f(x)g(x)0; ; .( ) ( )0( )0f x g xg x( ) ( )0( )0f x g xg x9c1011 不等式不等式ax2+bx+c0的解集为的解集为x|2x3，则不等式则不等式ax2-bx+c0的解集为的解集为( ) A. x|x-2 B. x|x3 C. x|x-2或或x3 D. x|-3x-2 解解:令令f(x)=ax2+bx+c,其图象如下图所示，其图象如下图所示， 再画出再画出f(-x)的图象即可的图象即可,故解集为故解集为x|-3x-2.12 3.已知已知 则不等式则不等式x+(x+2) f(x+

7、2)5的解集是的解集是_. 解：解：当当x+20，即，即x-2时，时，x+(x+2)f(x+2)52x+25 x ，所以，所以-2x ; 当当x+20,即即x-2时，时，x+(x+2)f(x+2)5x+(x+2)(-1)5 -25，所以，所以x-2, 综上知综上知x .1(0)( ),-1(0)xf xx32323213 1. 解下列不等式：解下列不等式： (2)ax+23(a-x)(aR，为常数，为常数). 解：解：(1)不等式化为不等式化为 即即2x3，所以，所以x .题型题型1 一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法第一课时第一课时23(1)-1;43xx3(23)-4 12,xx32

8、14 故不等式的解集是故不等式的解集是x|x . (2)不等式化为不等式化为(a+3)x3a-2. 当当a+30，即，即a-3时，不等式的解集是时，不等式的解集是x|x ; 当当a+30，即，即a-3时，不等式的解集是时，不等式的解集是x|x ; 当当a+3=0，即，即a=-3时，不等式的解集是时，不等式的解集是R.323 -23aa3 -23aa15 点评：点评：解一元一次不等式的一般解一元一次不等式的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合步骤是：去分母、去括号、移项、合并、系数化为并、系数化为1.去分母、去括号时不去分母、去括号时不要漏乘；移项时注意要变号；系数化要漏乘；移项时注意要变号；系

9、数化为为1时，如果系数含参注意系数为负时，如果系数含参注意系数为负数或为零时的情况数或为零时的情况.16 解关于解关于x的不等式：的不等式：ax+a2bx+b2(a，bR). 解解:原不等式化为原不等式化为(a-b)xb2-a2=(b+a)(b-a). 当当ab时，则时，则x =-a-b，不等式的解，不等式的解集是集是-a-b，+)； 当当a=b时，则时，则0 x0，xR，即不等式，即不等式的解集为的解集为R. 当当ab时，则时，则x =-a-b，不等式的，不等式的解集是解集是(-，-a-b.22-baa b22-baa b17 题型题型2 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法1819 设

10、设a为实常数为实常数,解不等式解不等式ax2+1ax. 解解:不等式化为不等式化为ax2-ax+10,=a2-4a=a(a-4). (1)当当a=0时，不等式恒成立，所以时，不等式恒成立，所以xR. (2)当当a 0时，时，0，不等式的解集为，不等式的解集为 (3)当当0a4时，时，0时，不等式恒成立，时，不等式恒成立，所以所以xR. (4)当当a4时，时，0，不等式的解集为，不等式的解集为( -4)-( -4)(,).22aa aaa aaa-( -4)( -4)(- ,)(,).22aa aaa aaa20 3. 解下列不等式：解下列不等式： (1)2x3-x2-15x0; (2)(x+4

11、)(x+5)2(2-x)30. 解：解：(1)原不等式可化为原不等式可化为x(2x+5)(x-3)0. 把方程把方程x(2x+5)(x-3)=0 的三个根的三个根x1=0，x2=- ， x3=3顺次标在数轴上顺次标在数轴上. 题型题型3 高次不等式的解法高次不等式的解法5221 然后从右上方开始画曲线顺次经过三个根，然后从右上方开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图的阴影部分其解集如图的阴影部分. 所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为x|- x0或或x3. (2)原不等式等价于原不等式等价于 其解集如图的阴影部分其解集如图的阴影部分. 所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为x|x-5或或-

12、5x-4或或x2.522-550(4)(5) ( -2) 0.(4)( -2) 0-42xxxxxxxxx或22 点评：点评：解高次不等式的思路是降解高次不等式的思路是降次，降次一般有两种方法，一是因式次，降次一般有两种方法，一是因式分解，二是换元法分解，二是换元法.用因式分解法解高用因式分解法解高次不等式时，先把高次不等式化为几次不等式时，先把高次不等式化为几个一次或二次不等式的积，然后可求个一次或二次不等式的积，然后可求得其对应方程的根，再通过得其对应方程的根，再通过“数轴标数轴标根法根法”写出解集写出解集.2324 1. 高次不等式与分式不等式的解法通常高次不等式与分式不等式的解法通常是：使不等式一边为零，另一边分解为一次是：使不等式一边为零，另一边分解为一次因式因式(一次项系数为正一次项系数为正)或二次不完全平方式的或二次不完全平方式的积与商的形式积与商的形式(注意二次因式恒正恒负的情况注意二次因式恒正恒负的情况)，然后用数轴标根法写出解集然后用数轴标根法写出解集(尤其要注意不等尤其要注意不等号中带等号的情形号中带等号的情形). 2. 掌握一元二次方程的根，一元二次不掌握一元二次方程的根，一元二次不等式的解