阿波罗尼斯圆问题

1、阿波罗尼斯圆问题一【问题背景】苏教版数学必修2第 12 题：已知点 M (x, y) 与两个定点 O(0,0), A(3,0) 的距离之比为1 ，那么点 M 的坐标应满足2什么关系画出满足条件的点M 所构成的曲线二、【阿波罗尼斯圆】公元前 3 世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius ）在平面轨迹一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆如图，点 A, B 为两定点，动点P满足 PAPB ，则1P的轨迹为直线；当1时，动点P的轨迹为圆，时，动点后世称之为 阿波罗尼斯圆 证：设 AB2m（ m 0）,PAPB 以 AB 中点为原点

2、，直线AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，则A（m，0），B（m，0）又设 C（ x， y），则由 PAPB 得( xm)2y 2( xm) 2y2，两边平方并化简整理得 （2）2（2）（2）222（）1 x 2m1 x1 ym 1，当1时， x0 ，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当1时， ( x21m)2y24 2 m22 ，轨迹为以点 (221(21)2长为半径的圆上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理三、【范例】12 mm,0)为圆心，211例 1满足条件 AB2, AC2BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是解： 以 AB 中点为原点，直线AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，则A

3、（1，0），设，由 AC2BC 得222（x2y2，B（1，0）C（ x， y）（ x 1） y1）平方化简整理得y2x2288 ， y2 2，则6x 1 （ x 3）S ABC12 y22 ， S ABC 的最大值是 22 2变式 在ABC 中，边 BC 的中点为 D ，若 AB2, BC2AD ，则ABC 的面积的最大值是解：以 AB 中点为原点， 直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，则 A（1，0），B（1，0），由 BDCD,BC2AD 知， AD2BD ， D 的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为x 32y28C (x, y)BCDx1 y，所以点C的轨迹方程为（，设，的中点为得D (

4、, )）22x1y 2（2，即52232）()8y，232（ x）1SABC2yy324 2 ，故 S ABC 的最大值是 42 2例 2在平面直角坐标系xOy 中，设点 A(1,0), B(3,0), C (0, a), D (0, a2) ，若存在点P ，使得 PA2PB, PCPD ，则实数 a 的取值范围是解： 设 P( x, y) ，则( x1)2y22(x3)2y2 ，整理得 (x5)2y28，即动点 P 在以 (5,0)为圆心， 22 为半径的圆上运动另一方面，由PCPD 知动点 P 在线段 CD 的垂直平分线ya1上运动，因而问题就转化为直线ya1与圆 ( x5)2y28 有交

5、点，所以 a122 ，故实数 a 的取值范围是 221,221例 3在平面直角坐标系xOy 中，点 A 0,3，直线 l：y2x4. 设圆的半径为 1，圆心在 l上.若圆 C 上存在点 M ，使 MA2MO ，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围 .解：设Ca,2 a4xa2y 2a21，则圆方程为4又设 M ( x0 , y0 )， Q MA2MOx02y024x0 24 y02 ， 即3x02y0124这说明 M 既在圆xa2y2a421上，又在圆 x2y24 上，因而这1两个圆必有交点，即两圆相交或相切，2 122a 4 ( 1)2a 02 1，解得 01212a，即 a 的取值范围是

6、0,55例 4已知 O : x2y 21和点 M (4,2) .（1）过点 M 向 O 引切线 l ，求直线 l 的方程；（2）求以点 M 为圆心，且被直线y 2x1截得的弦长为4 的 M 的方程；（3）设 P 为（ 2）中 M 上任一点，过点P向 O 引切线，切点为Q. 试探究：平面内是否存在一定点R ，使得 PQ 为定值若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，PR请说明理由 .解：（ 1）设切线 l 方程为 y2k(x4) ，易得 | 4k2 |1 ，解得 k819 ，k 2115切线 l方程为 y2819 ( x4) 15（ 2）圆心到直线 y 2x1 的距离为5 ，设圆的半径为

7、r ，则 r 22 2(5 )29 M 的方程为 ( x4) 2( y2) 29（ 3）假设存在这样的点R(a,b) ，点 P 的坐标为 ( x, y) ，相应的定值为，根据题意可得 PQx 2y 21 ，x 2y 21b) 2，( xa) 2( y即 x 2y212 ( x2y 22ax2by a 2b 2 )（*），又点 P 在圆上 (x4) 2( y2) 29 ，即 x2y 28x 4 y11，代入（ * ）式得：8x 4 y122(82a)x(4 2b) y (a 2b211)2 (82a)8若系数对应相等，则等式恒成立，2 (42b)4，2 (a2b 211)12解得 a2,b1,2

8、或 a2 , b1 ,10，553可以找到这样的定点 R ，使得 PQ 为定值 .如点 R 的坐标为 (2,1) 时，比值为2 ；PR点 R的坐标为 (2,1) 时，比值为10 553四、【练习】1如图，在等腰ABC 中，已知ABAC ， B( 1,0) ，AC 边的中点为D (2,0) ，点C 的轨迹所包围的图形的面积等于解： AB2AD ，所以点A 的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其方程为( x3)2y 24 ，设 C ( x, y) ，由AC 边的中点为D (2,0)知A(4x,y) ，所以C 的轨迹方程为(4x3) 2(y)24，即( x1)2y 24 ，面积为42如图，已知平面平面， A、

9、B是平面与平面的交线上的两个定点，DA,CB，且DA，CB， AD4，BC8， AB6 ，在平面上有一个动点 P，使得APDBPC ，求PAB 的面积的最大值解： 将空间几何体中的线、面、角的关系转化为平面内点 P 所满足的几何条件DADA PA,在 Rt PAD 中, tan APDAD4AP，BC8AP同理 tanBPCBP，BPAPDBPCBP 2AP ，这样就转化为题3 的题型在平面上 , 以线段 AB 的中点为原点 ,AB 所在的直线为x 轴 , 建立平面直角坐标系，则A( 3,0), B(3,0) ，设 P(x, y) 则有( x3)2y22 (x3)2y2 ( y0)化简得 :

10、( x5) 2y 216 ，y216( x5)216 ， | y |4 ，PAB 的面积为 S PAB1 | y | | AB | 3| y |12 ，当且仅当 x5, y4 等号取得，则2PAB 的面积的最大值是12 3 圆 O1 与圆 O2 的半径都是1， O1O24 ，过动点 P 分别作圆 O1 、圆 O2 的切线PM , PN （ M , N 分别为切点） ，使得 PM2PN 试建立适当的坐标系， 并求动点 P 的轨迹方程 .解：以 O1 ， O2 的中点 O为原点， O1 ， O2 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，yPMNO1xOO2则 O1 ( 2,0) ， O2 ( 2,0) ，由已知 PM2PN 得 PM22PN2，因为两圆的半径都为 1, 所以有： PO1212( PO 221) ，设 P（ x,y ），则 (x 2)2y 212( x 2)2y 21 ， 即 (x6)2y 233 ，此即 P 的轨迹方程 .4已知定点 O (0,0) ，点 M 是圆 ( x1) 2y 24 上任意一点，请问是否存在不同于O 的定点 A 使都为 MO 常数若存在，试求出所有满足条件的点A 的坐标 , 若不存在，请说MA明理由解： 假设存在满足条